連續批加工過程中嵌套自相關數據的控制圖設計

陳昌華，李敬敏，姚 進,

（四川大學a.工商管理學院；b.制造科學與工程學院，成都610064）

1 問題的提出

在批加工過程中，工藝參數往往呈現嵌套性的特點。例如，對于晶片涂膠這類逐片批加工工藝，每片晶片上的膠膜厚度服從一定的分布，一般為正態分布。設其均值為μd，標準偏差為σd。而連續加工的若干片晶片之間，每片晶片上的均值μd又遵從另一個正態分布，這是最簡單的一階嵌套的情況。

采用控制圖分析膠膜厚度的起伏變化情況時，一般從一片晶片上的中間以及上下左右共5個位置測試5個膠膜厚度數據，作為控制圖中的一批數據，采用均值-標準偏差控制圖或者均值-極差控制圖分析膜厚度的變化是否處于統計受控狀態。顯然，由于這5個膠膜厚度數據是同一片晶片上的數據，而同一片晶片上的膠膜是同時生成的。盡管該片晶片上的膠膜厚度不可能完全相等，而是服從一定的分布（一般為正態分布），但是如果該晶片膠膜厚度偏大，則這5個數據同時偏大。因此，就一般情況而言，如果控制圖上同一批數據是同時生成的，例如上述半導體器件生產中的膠膜厚度，以及電鍍工藝中的鍍層厚度等，均具有嵌套特點。

另一方面，若干片晶片之間屬于連續加工過程，由于對于大多數連續生產過程或已實現數據自動采集的過程都存在自相關性，因此，從總體考慮，每片晶片上的均值μd又存在自相關的特點。

由此可見，對于逐片批加工的過程（如：半導體貼膠工序）一般都既具有嵌套性又具有自相關性的特點，本文稱具有這類特點的過程為“嵌套自相關過程”。關于該過程的質量控制，由于完全違背了獨立同分布的假設，采用常規休哈特控制圖或者嵌套控制圖都有可能導致錯誤的結論，需要開發一種新的控制圖解決該類過程的質量控制問題。

2 常規休哈特控制圖與嵌套控制圖比較

其中B3和B4為與樣本含量n有關的常數，其值可從許多質量手冊中查到。

則常規均值控制圖的控制限為：

如果第i組樣本服從均值為(μd)i、標準偏差為σd的正態分布，其中(μd)i之間不全相等；由各樣本均值組成的隨機變量{(μd)i}又服從另一個均值為μw、標準偏差為σw的正態分布，即“一階嵌套過程”。其中，Xi稱為嵌套隨機變量，而不同批次的Xi構成的矢量｛Xi｝(i=1,2,…)稱為一階嵌套隨機矢量，簡稱嵌套隨機矢量。

上述為一階嵌套分布的控制模型，對于二階嵌套等更復雜的情況，也可推得類似的數學模型。

式中Sw為每個嵌套隨機變量均值的標準方差σw的估計值。

則一階嵌套過程的所有測量值的樣本總體標準偏差為

則嵌套過程的均值控制圖的控制限為：

按照數理統計的原理，樣本標準偏差組成的數列一般都是獨立的，故樣本數據相互獨立情況下的嵌套過程的標準偏差控制圖與常規標準偏差控制圖一樣。

3 嵌套自相關數據的控制圖設計

當每批測量值的均值之間存在自相關時，此時均值的方差發生變化，為：

比較式（22）和式（18），顯然批均值自相關嵌套控制圖的控制限小于嵌套控制圖的控制限，原因是當過程存在自相關性時，均值會發生漂移，方差的計算應根據均值的漂移進行動態的計算，而動態的均值更接近局部數據測量值，使得方差減小，可以用自相關函數值對均值的方差的影響來表達。

4 實例分析

以半導體晶片涂膠工序為例，從某晶圓生產線上連續加工的25個晶片上各抽取5個數據，數據見表1。

表1 具有“嵌套”和“批均值自相關”特點的工藝參數數據（例）

（1）常規均值-標準偏差控制圖的建立（不考慮“嵌套”和“批均值自相關”的情況）。

利用SPSS軟件，畫出該實例數據的常規均值-標準偏差控制圖，見圖1。

圖1 常規均值-標準偏差控制圖

均值控制圖上均出現了多個數據點嚴重超出控制限的情況，而標準偏差控制圖完全處于受控狀態。對照表1可見，該組數據的特點是，同一批5個數據來自于同一晶片，片內分散性很小，因此每批的5個數據差別很小，即每批的標準偏差很小。而這組數據中不同批次之間數據分散性相對較大，即各批次之間平均值差別較大。

由于每批的標準偏差很小，根據式（6），由各批標準偏差的平均值0.016計算的均值控制圖上下控制限分別為2.079和2.033，范圍很窄，只有0.046。但是各組之間平均值的分散性較大，這就導致均值控制圖上多個數據點嚴重偏離控制限。

（2）自相關性分析。

利用SPSS軟件，畫出批均值的自相關函數和偏相關函數，如圖2所示，可見批均值之間存在自相關性，一階自相關系數為0.702。

圖2 批均值的自相關性分析

（3）嵌套控制圖的建立（只考慮“嵌套”的情況）。

在樣本數據相互獨立的前提下，嵌套過程的標準偏差控制圖與常規標準偏差控制圖一樣。根據式（18），嵌套過程的均值控制圖的控制限為：

圖3是利用上面計算結果繪制的控制圖。由于考慮了過程的嵌套性，均值控制圖上下控制限分別為2.150和1.962，控制圖范圍達到0.188，遠遠大于常規控制圖的控制范圍，均值控制圖上未出現數據點超出控制限的情況。但是該嵌套控制圖沒有考慮過程存在批均值自相關的情況，由批均值的趨勢圖可以看出前12個數據屬于漸進式均值漂移的情況，在第12個數據點遠遠高于所有測量值的均值2.056，屬于失控點。因此，該控制圖存在漏報警。

圖3 嵌套控制圖

（4）嵌套自相關控制圖的建立（同時考慮“嵌套”和“批均值自相關”的情況）。

當嵌套過程存在自相關時，若仍使用常規嵌套控制圖方法進行估算，往往導致控制限設置錯誤從而對質量的波動不能作出正確判斷，可能導致漏報警。因此，為了提高控制圖對特殊性原因的檢測能力，當過程自相關時設計控制圖，必須考慮過程的自相關結構。利用第3節提出的方法，存在批均值自相關的嵌套控制圖（即嵌套自相關控制圖）的控制限的計算結果為：

圖4是利用上面計算結果繪制的控制圖。該控制圖由于同時考慮過程存在的嵌套性和批均值自相關性，控制圖的控制限分別為2.111和2.002，控制圖范圍為0.109，小于常規嵌套控制圖。嵌套自相關控制圖顯示第12個數據點偏離控制圖，表明過程失控，由表1可以看出，該組數據遠遠大于其他各組數據，說明過程出現了異常情況。

圖4 嵌套自相關控制圖

綜上所述，當過程存在嵌套性和批均值自相關性時，采用常規休哈特控制圖，由于控制范圍較窄會出現大量誤報警；采用嵌套控制圖，由于控制范圍較大容易出現漏報警；采用嵌套自相關控制圖，相比常規控制圖和嵌套控制圖具有更高的檢測能力，能夠可靠的檢測出過程的失控點。

5 結論

對于一些連續逐片批加工的生產過程，如：半導體晶圓生產、電鍍工藝等，工藝參數數據往往存在“嵌套”和“批均值自相關”的特性，簡稱該類過程為“嵌套自相關過程”。本文引入自協方差函數和自相關函數，修正了傳統嵌套控制圖的控制界限，提出了一種嵌套自相關過程質量控制的新方法，即嵌套自相關控制圖。以半導體晶片涂膠工序為例，對工藝數據的常規休哈特控制圖、常規嵌套控制圖和嵌套自相關控制圖進行了比較分析，結果表明：存在嵌套性和自相關性的情況下，若繼續采用常規休哈特控制圖，則容易虛發警報；采用常規嵌套控制圖，則容易漏報警；本文提出的嵌套自相關控制圖具有更高的檢測能力。因此，對于在生產過程中的嵌套自相關數據，建議使用嵌套自相關控制圖來代替常規控制圖。未來將進一步探討自相關函數值對嵌套自相關控制圖的影響，以及其它新的質量控制方法及其在實際生產中的應用。

[1]賈新章,李京苑.統計過程控制與評價——Cpk、SPC和PPM技術[M].北京：電子工業出版社,2004.

[2]高彩云.嵌套控制圖在微波件腔體生產中的應用[J].電子質量,2008,(12).

[3]Vasilopoulos A V,Stamboulis A P.Modification of Chart Limits in the Presence of Data Correlation[J].Journal of Quality Technology,1978,10(l).

[4]Alwan L C，Roberts H V.Time-series Modeling for Statistical Process Control[J].Journal of Business and Economic Statistics,1988,6(1).

[5]Wardell D G,Moskowitz H,Plantz R D.Control Charts in Presence of Data Correlation[J].Management Science,1992,(38).

[6]Runger G C,Willemain T R.Model-based and Model-free Control of Autocorrelated Processes[J].Journal of Quality Technology,1995,(27).

[7]Jiang wei,Tsui K L.A New SPC Monitoring Method：The ARMA Chart[J].Technometrics,2000,42(4).