杠桿法在復(fù)合輪系教學(xué)上的應(yīng)用

李明圣

（湛江師范學(xué)院物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，廣東 湛江 524048）

在機(jī)械中，常用到由幾個(gè)基本周轉(zhuǎn)輪系或定軸輪系和周轉(zhuǎn)輪系組合而成的復(fù)合輪系。由于整個(gè)復(fù)合輪系不可能轉(zhuǎn)化成一個(gè)定軸輪系，所以不能只用一個(gè)公式來(lái)求解。計(jì)算復(fù)合輪系時(shí)，首先必須將各個(gè)基本周轉(zhuǎn)輪系和定軸輪系區(qū)分開來(lái)，然后分別列出方程式，最后聯(lián)立解出所要求的傳動(dòng)比[1]。但是對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)，不易區(qū)分周轉(zhuǎn)輪系和定軸輪系，計(jì)算傳動(dòng)比過(guò)程也比較繁瑣。因此，本文從行星齒輪機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性方程式出發(fā)，介紹了一種對(duì)行星齒輪機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析的圖解方法-杠桿法，并應(yīng)用杠桿法對(duì)汽車自動(dòng)變速器中的典型行星齒輪機(jī)構(gòu)進(jìn)行傳動(dòng)比的分析。

1 行星齒輪機(jī)構(gòu)傳動(dòng)的一般規(guī)律

單級(jí)行星齒輪系的傳動(dòng)比計(jì)算可通過(guò)轉(zhuǎn)換將周轉(zhuǎn)輪系轉(zhuǎn)換成定軸輪系，然后按求解定軸輪系傳動(dòng)比的方法來(lái)計(jì)算，如公式（1）。并可得出單級(jí)行星齒輪系的傳動(dòng)比通用計(jì)算公式

根據(jù)能量守恒定律，三個(gè)元件（太陽(yáng)輪、齒圈、行星架）上輸入和輸出的功率的代數(shù)和應(yīng)等于零。得出單級(jí)行星齒輪機(jī)構(gòu)一般運(yùn)動(dòng)規(guī)律的特性方程式[2]：

其中：n1、n2、nH、κ1分別為太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)速、齒圈轉(zhuǎn)速、行星架轉(zhuǎn)速和齒圈與太陽(yáng)輪的齒數(shù)比。

由于雙級(jí)行星齒輪機(jī)構(gòu)多一對(duì)行星輪外嚙合，因此公式（1）的負(fù)號(hào)變正號(hào)，傳動(dòng)比的計(jì)算公式

雙級(jí)行星齒輪機(jī)構(gòu)一般運(yùn)動(dòng)規(guī)律的特性方程式：

有級(jí)變速的自動(dòng)變速器采用的行星齒輪傳動(dòng)是一種常嚙合傳動(dòng)，其傳動(dòng)比變換可通過(guò)分離與接合離合器或制動(dòng)器而方便的實(shí)現(xiàn)，而且通過(guò)增減行星排內(nèi)行星齒輪的數(shù)目、行星排的數(shù)目，改變排與排之間的排列組合以及構(gòu)件間的連接和控制方式，可以得到較為理想的傳動(dòng)比。傳動(dòng)比計(jì)算方法通常采用解方程法，即根據(jù)式（2）或式（4）列出各行星排三元一次聯(lián)立方程，確定方程中各轉(zhuǎn)速的關(guān)系，輸入、輸出元件以及各排中的共體元件。具體為：先解出轉(zhuǎn)速為0的(有制動(dòng))單排方程，解出以共體元件為主函數(shù)的方程；再以此方程代入另一方程中的共體元件，就可將雙聯(lián)方程變?yōu)橹挥休斎搿⑤敵鲛D(zhuǎn)速的單列方程；將輸入轉(zhuǎn)速放在等號(hào)左邊，輸出轉(zhuǎn)速放在等號(hào)右邊，解出輸入軸轉(zhuǎn)速和輸出軸轉(zhuǎn)速關(guān)系的方程，再除去轉(zhuǎn)速，即得到輸入軸與輸出軸的速比。這種算法對(duì)單排和雙排行星齒輪傳動(dòng)分析還比較簡(jiǎn)單，但分析多排行星齒輪傳動(dòng)時(shí)就比較困難了，特別是在判斷機(jī)構(gòu)可能實(shí)現(xiàn)的傳動(dòng)比數(shù)目、各基本構(gòu)件、行星輪的相對(duì)轉(zhuǎn)速及力學(xué)和動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，非常困難。如果采用杠桿法進(jìn)行分析，上述問(wèn)題就變得容易，學(xué)生理解起來(lái)很輕松。

2 杠桿法的工作原理

2.1 單行星排齒輪傳動(dòng)時(shí)杠桿圖

由于一個(gè)行星排由太陽(yáng)輪、行星輪、齒圈及行星架構(gòu)成。根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)將一個(gè)行星排等效為一個(gè)垂直杠桿和三個(gè)支點(diǎn)，三個(gè)支點(diǎn)分別代表太陽(yáng)輪S、行星架PC和齒圈R。對(duì)于單行星行星排，由公式（3）和能量守恒定理可得出中間支點(diǎn)為行星架PC，兩端支點(diǎn)分別為S和R；對(duì)于雙行星行星排，由公式（5）和能量守恒定理可得出中間支點(diǎn)為齒圈R，兩端支點(diǎn)分別為PC和S。支點(diǎn)S和R距支點(diǎn)PC的長(zhǎng)度分別與太陽(yáng)輪齒數(shù)和齒圈齒數(shù)成反比，如圖1（a）、（b）所示為單行星行星排和雙行星行星排的杠桿圖，圖中為齒圈與太陽(yáng)輪的齒數(shù)比。可以用杠桿圖進(jìn)行行星齒輪的轉(zhuǎn)速分析，建立xoy坐標(biāo)系，三個(gè)支點(diǎn)按比例畫在y軸，x軸表示支點(diǎn)的轉(zhuǎn)速大小和方向，在這里假設(shè)輸入支點(diǎn)的轉(zhuǎn)速為1，方向朝x軸方向?yàn)檎喾礊樨?fù)，被固定支點(diǎn)的轉(zhuǎn)速為 0。如圖 2（a）、（b）所示，圖(a)為單行星行星排轉(zhuǎn)速分析圖，齒圈R輸入、太陽(yáng)輪S被固定，行星架PC輸出，利用相似三角形定理，行星架的轉(zhuǎn)速nPC=κnR/（κ+1），屬于減速同向，與公式（3）計(jì)算結(jié)果一樣；圖(b)為雙行星行星排轉(zhuǎn)速分析圖，行星架PC輸入、太陽(yáng)輪S被固定，齒圈R輸出，利用相似三角形定理，齒圈的轉(zhuǎn)速nR=（κ-1）nPC/κ，屬于減速同向，與公式（5）計(jì)算結(jié)果一樣，但杠桿法更簡(jiǎn)單、直觀。

圖1 星排杠桿圖

圖2 星排轉(zhuǎn)速圖

2.2 多行星排行星齒輪傳動(dòng)時(shí)杠桿圖

當(dāng)多行星排并聯(lián)時(shí)，每個(gè)行星排視為一個(gè)垂直的杠桿和三個(gè)支點(diǎn)，行星排之間的構(gòu)件相互連接，在杠桿圖上視為各支點(diǎn)之間的連接。在處理時(shí)，根據(jù)需要，既可以將杠桿重疊，又可以將杠桿分開：重疊時(shí)，將相互連接的部分合并為一個(gè)點(diǎn)；將杠桿分開時(shí)，連接點(diǎn)用一水平線來(lái)表示。兩種情況都要對(duì)杠桿的力臂進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整時(shí)要保證連接部分合并點(diǎn)之間的力臂長(zhǎng)度相等，并且各杠桿力臂長(zhǎng)度比不變，這樣將多個(gè)行星排的杠桿圖合并為一個(gè)總杠桿圖，并在圖上標(biāo)上離合器C、制動(dòng)器B、單向離合器F以及輸入構(gòu)件i，輸出構(gòu)件o，即得多行星排并聯(lián)機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)速杠桿圖[3]。如圖3所示為辛普森式行星齒輪機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)速圖，其中，（a）圖為行星齒輪機(jī)構(gòu)的示意圖；（b）圖為行星齒輪機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)速圖，C2B2（或F）接合得到1檔，連C2B2與PC1R2相交，交線段長(zhǎng)度為輸出轉(zhuǎn)速的大小，方向與輸入同向。同樣方法，C2B1接合得到2檔，C2C1接合得到3檔，C1B2接合得到R檔。

圖3 辛普森式行星齒輪機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)速圖

圖4 拉威娜式行星齒輪機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)速圖

如圖4所示為拉威娜式行星齒輪機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)速圖。其中，（a）圖為拉威娜式行星齒輪機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)的示意圖；（b）圖為拉威娜式行星齒輪機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)速圖，C2B2接合得到1檔，連C2B2與R相交，交線段長(zhǎng)度為輸出轉(zhuǎn)速的大小，方向與輸入同向。同樣方法，C2B1接合得到2檔，C2C3接合得到3檔，C3B1接合得到4檔，C1B2接合得到R檔。各檔位傳動(dòng)比的大小可通過(guò)相似三角形的方法求解。

2.3 各檔位下傳動(dòng)比

參見圖 3（b）、圖 4（b），假設(shè)輸入件構(gòu)件的轉(zhuǎn)速為1，制動(dòng)件構(gòu)件轉(zhuǎn)速為0，輸出構(gòu)件轉(zhuǎn)速為該檔位的轉(zhuǎn)速線的長(zhǎng)度，方向與x軸向同為正，相反為負(fù)，利用相似三角形的關(guān)系，很快可以得出此時(shí)的傳動(dòng)比。辛普森式自動(dòng)變速器和拉威娜式自動(dòng)變速器各檔傳動(dòng)比的大小，如表1和表2所列。

表1 辛普森式自動(dòng)變速器各檔傳動(dòng)比

表2 拉威娜式自動(dòng)變速器各檔傳動(dòng)比

3 杠桿法的具體應(yīng)用

現(xiàn)以ZF公司生產(chǎn)的5速電子控制自動(dòng)變速器5HP-24為例，應(yīng)用杠桿法來(lái)分析它的傳動(dòng)路線及傳動(dòng)比。

5HP-24自動(dòng)變速器動(dòng)力傳遞路線示意圖如圖5（a）所示。由圖可知，行星齒輪組由三個(gè)單級(jí)行星齒輪機(jī)構(gòu)組成。行星排1的行星架與行星排2的內(nèi)齒圈相連；行星排1的內(nèi)齒圈與行星排2的行星架及行星排3的內(nèi)齒圈相連；行星排2和行星排3的太陽(yáng)輪相連。行星排3的行星架是動(dòng)力輸出端。變速器內(nèi)部共有7個(gè)換擋執(zhí)行元件，包括3個(gè)離合器、3個(gè)制動(dòng)器和1個(gè)單向離合器。

圖5 5HP-24自動(dòng)變速器杠桿圖

3.1 建立5HP-24傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的杠桿圖

在三行星排并聯(lián)時(shí)，每個(gè)行星排視為一個(gè)垂直的杠桿和三個(gè)支點(diǎn)，行星排之間的構(gòu)件相互連接，在杠桿圖上視為各支點(diǎn)之間的連接。三行星排并聯(lián)時(shí)，在杠桿圖上有五個(gè)個(gè)支點(diǎn)，如圖5（b）所示，各支點(diǎn)的距離由行星輪的特性系數(shù)κ決定。

3.2 計(jì)算5HP-24傳動(dòng)機(jī)構(gòu)各檔位下傳動(dòng)比

合并圖 5（b）的杠桿圖，建立圖 5（c）所示的杠桿轉(zhuǎn)速圖。假設(shè)輸入件構(gòu)件的轉(zhuǎn)速為1，制動(dòng)件構(gòu)件轉(zhuǎn)速為0，輸出構(gòu)件轉(zhuǎn)速為該檔位的轉(zhuǎn)速線的長(zhǎng)度，方向與x軸向同為正，相反為負(fù)，利用相似三角形的關(guān)系，求各檔的傳動(dòng)比。設(shè) AC= α、CE=b、ED=1、DB=c，其中，各檔的傳動(dòng)比見表3。從轉(zhuǎn)速圖可知，三行星排這種并聯(lián)布置形式可實(shí)現(xiàn)六個(gè)前進(jìn)檔，但這款變速器只采用前五檔。

表3 5HP-24自動(dòng)變速器各檔傳動(dòng)比

4 結(jié)束語(yǔ)

（1）在教學(xué)中，首先讓學(xué)生掌握杠桿法的工作原理，單行星齒輪排轉(zhuǎn)速分析圖的畫法，這點(diǎn)很重要，是應(yīng)用杠桿法的關(guān)鍵。

（2）畫多行星排行星齒輪傳動(dòng)時(shí)杠桿圖時(shí)，相互連接的部分重疊時(shí)合并為一個(gè)點(diǎn)，將杠桿分開時(shí)，連接點(diǎn)用一水平線來(lái)表示；保證連接部分合并點(diǎn)之間的力臂長(zhǎng)度相等，并且各杠桿力臂長(zhǎng)度比不變。

（3）杠桿法不但可以計(jì)算并聯(lián)行星齒輪排的傳動(dòng)比，各構(gòu)件的相對(duì)轉(zhuǎn)速也可通過(guò)杠桿法轉(zhuǎn)速圖進(jìn)行分析。

[1]楊可禎，程光蘊(yùn)，李仲生.機(jī)械設(shè)計(jì)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2006．

[2]陳家瑞，馬天飛.汽車構(gòu)造[M].北京：人民交通出版社，2006.

[3]李興華，何國(guó)旗，等.效杠桿法分析行星齒輪傳動(dòng)[J].機(jī)械傳動(dòng)，2004，(1):44-45．