組合表面定位誤差的微分法計算

梁國高

（四川機電職業技術學院機械工程系，四川 攀枝花 617000）

機床夾具是機械制造業當中非常重要的裝備，其裝夾精度是影響機械零件加工精度的重要指標。所以，在專用夾具設計當中，必須對定位誤差進行分析計算。一般說來，由夾具定位所產生的定位誤差，應不大于零件精度的1/3～1/5。

定位誤差主要由基準位移誤差△y和基準不重合誤差△B組成。前者主要是由于定位元件的制造誤差、工作定位面的制造公差等造成；后者主要是由于工件定位時定位基準、工序基準、設計基準之間不重合而造成，兩者之綜合形成定位誤差。

對單一表面定位的定位誤差，已在文獻[2]、[3]等多有描述，本處不再重復。但組合表面的定位誤差，卻較少討論。

組合表面的定位，在機械加工中應用較為廣泛，如一面兩孔定位、雙V塊定位、雙頂尖定位等等。這一類的定位，除會產生單一表面定位所產生的線性誤差外，更重要的是，因多個定位表面之間的定位誤差，會產生轉角誤差。而轉角誤差在計算時較為麻煩。為解決此類問題，下面以一面兩孔和雙V塊定位為例，介紹利用微分運算來直接求出定位誤差的方法。

1 微分法基本原理

定位誤差的微分計算法，是利用微分近似計算的原理。設函數

當各組成要求尺寸出現一個微小的增量ΔXn，則Y的變動可近似地用全微分表達

2 工件以一面兩孔定位時轉角誤差計算

圖1 托架

如圖2所示，設定位副1由直徑為D1的孔和直徑為d1的銷構成，定位副2由直徑為D2的孔和直徑為d2的銷組構成，兩銷之間的間距為L。

圖2 一面兩孔定位的轉角誤差

由于兩定位副的孔和銷之間有間隙，因此會造成兩孔中心連線與兩銷中心連線之間形成一個偏角β，這便是轉角誤差。由幾何關系，可得

傳遞函數分別為

令X1=D1-d1，即X1為定位副1的間隙；

令X2=D2-d2，即X2為定位副2的間隙；

則式（1）變化為

由式（2）即可解算出一面兩銷組合定位的轉角誤差Δβ。在實際應用過程中，對于定位誤差，一般我們應考慮較大值對加工尺寸的影響，即最大轉角誤差 Δβmax，根據 Δβ與D1，d1，D2，d2之間的幾何關系可以知道，當孔和銷間的間隙達到最大時，銷間距離最短時，轉角誤差Δβ取最大值，即

孔D1=D1max，D2=D2max，dD1=ES1，dD2=ES2；

銷d1=d1min，d2=d2min，dd1=ei1，dd2=ei2；

銷間距離L=Lmin，dL=EIL。

由此：實例1的最大轉角誤差Δβmax如圖3所示。

圖3 一面兩孔定位誤差計算

定位副1最大間隙：

定位副2最大間隙：

因此可以計算出加工尺寸（5±0.2）mm時，其定位誤差為

孔、銷中心線的交點至左端面的距離為

孔、銷中心線的交點至右端面的距離為

3 工件以雙V塊定位時轉角誤差計算

雙V塊定位，在軸類零件加工中很常見。由于受兩V塊在制造、安裝以及軸的兩定位面制造誤差等因素的影響，使得軸會產生一個轉角誤差。

實例2如圖4所示，階梯軸在兩個V塊上定位，已知

現需鉆Φ10 mm孔，加工尺寸為A1，試計算定位誤差。

圖4 雙V塊定位誤差計算

對于單個V塊來說（如圖5所示），在直角△OO'A中，設OO'長為H，

圖5 單V塊定位誤差

則

對H(d,α)取全微分，得

傳遞函數為

則

若忽略V塊夾角制造誤差，并用誤差或公差替代微元，可得

對于雙V塊定位（圖4所示），則

代入已知參數，得

由相似三角形對應邊成比例可求得

化簡得

所以，加工孔Φ10 mm時，按雙V塊定位，其定位誤差為

4 結束語

準確而有效地計算機床夾具的定位誤差，對機床夾具的設計來說，是非常關鍵的一個步驟。通過對定位誤差計算方法的探討，能有效地提高夾具設計效率。微分法是解決較復雜定位誤差分析計算問題的有效而簡捷的方法，特別是若將全微分法應用于現代計算機輔助夾具設計技術當中，更可大大提高夾具設計的效率。

[1]王光斗.機床夾具設計手冊(第二版)[M]．上海：上海科學技術出版社，1990．

[2]申曉龍，陳根余．夾具設計中定位誤差的微分計算[J].工具技術，2006，（11）：99-100.

[3]馬成習．微分法在定位誤差計算中的應用[J]．制造技術與機床，2008，（4）：76-77.

[4]薛源順．機床夾具設計[M]．北京：機械工業出版社，2003.