電子信息學科中線性代數的教學方法探討

藍 洋，吳香艷

（1.西安外事學院 陜西 西安 710077；2.新港中學 山東 蓬萊 265600）

在工程學科的高等教育體系中，數學教育是基礎，我國著名橋梁專家茅以升曾說過：“數學是一切工程學科的靈魂”。可以說，數學課程的教學質量直接決定了專業人才是否具有運用理論知識獨立解決工程問題的能力。目前，在工程類專業的本科教學中，較為普遍的存在著數學課與專業課教學相脫節的現象，這直接影響了高等人才專業素質的培養。本文主要針對電子信息學科，分析了線性代數課程教學上存在不足，通過舉例闡述了線性代數中的數學概念同電子信息類學科本科課程的聯系，從而進一步說明授課教師應該如何改進現有的教學模式來促進學生對數學知識的深刻理解及靈活應用。

1 線性代數在電子信息學科中的地位

隨著計算機科學的快速發展，線性代數在應用中的重要性隨之迅速增加。隨著科學家與工程師所面對的工程問題的復雜性逐步增加，線性代數已經成為很多工程學科不可或缺的課程，其對許多工程類課程的重要性已超過了大學中其它數學課程。線性代數的廣泛應用決定了它必然與許多專業課程息息相關，例如，在電子信息學科中，它為電路、信號與系統、通信原理、通信網、數字信號處理、信息論與編碼和控制理論等課程中的問題描述與求解提供了有力工具。因此，對線性代數的深刻理解能夠幫助學生對很多課程建立統一的認識，從而進一步促進其專業素質的培養。所以，線性代數的教學內容、教學方向與教學方法應該成為數學教育工作者當前思考的問題。

2 線性代數教學中存在的問題

在我國，線性代數的傳統教學偏重自身的理論體系，強調線性代數的基本定義、定理及其證明，對線性代數的方法和應用重視不夠，幾乎不涉及數值計算。在電子信息學科的本科教學體系中，線性代數課程與后續專業課程未能有效銜接，其主要表現為線性代數教師在授課時不提專業背景，大多數線性代數課本基本沒有提及實際應用，甚至沒有應用類的課后習題，這導致大部分學生不了解線性代數對后續專業課學習有什么用處，所以到學習專業課的相關知識時，無法與學習過的數學知識相聯系，從而影響專業課的學習質量。而更加令人擔憂的是，學生往往不知道這是由于數學欠缺所導致的問題，從而無法從根本上解決在專業課學習中遇到的困惑。如果不解決這個問題，必定會影響到工程技術人才的培養。

3 線性代數教學的基本理念

為了有效完成理論教學，首先需要審視學習過程的本質。不難理解，我們需要學習的對象是自身經驗之外的事物，如果我們在自己的經驗體系中找到了一個的位置，使得此未知事物同經驗體系中的已有事實建立了一種被自己認可的和諧關系，則說明這個未知的事物不僅僅被我們知道了而且被我們理解了。進一步的，如果我們在需要的時候，隨時能夠不經推理直接喚起關于這個事物的記憶，那么可以說是記住了。教學的過程就是教師啟發或者幫助學生將未知事物融入各自經驗體系的過程。

理論教學的目的就是幫助學生將未知事物融入自身經驗體系，并進一步引導學生進行主動推理，這種推理是從熟悉的具體事物出發，抽象出其本質，形成自身的理論體系，再將此理論還原到現實中新的事物中去，如此循序漸進。數學的形成和應用體現了這一規律，在數學教學中也應該遵循這一規律。

4 改進線性代數教學的方法

在高等教育階段，如何幫助學生完成這個過程呢？ 對于如何進行理論的學習，數學家William Feller曾指出“對每一門學科，我們都必須仔細地區分理論的3個方面：1）形式邏輯的內容；2）直觀的背景；3）應用”[1]。 簡單講，除了學科本身的內容之外，決不可忽視它的來龍去脈，即其直觀背景和應用。對于工程學科的學生而言，理解其直觀背景有助于學生在未來的現實環境中發現問題，熟悉其應用可以直接提高學生理論聯系實際解決問題的能力。所以，對于線性代數這樣一門直觀背景極清晰，工程應用很廣泛的數學課，它的教學應該注重線性代數與其他數學課程、專業課程、生活經驗以及工程應用的聯系。

線性代數本身具有高度的抽象性與概括性，故其課程教學的最大挑戰體現在：1）引導學生深刻理解理論知識；2）啟發學生發現問題、描述問題、思考問題乃至靈活應用理論解決問題。顯然，僅就課本講授定義、定理和例題傳統教學方式無法達到上述教學目標。因此，授課教師應在完成傳統授課要求的基礎上，注意以下幾點：

首先，在授課過程中，教師應該在講述理論知識之前描述該理論知識的發展背景，使學生能夠理解問題的來源，聯系已經學習過的內容進行類比，幫助學生發現新老課程之間、并行課程之間的內在聯系，從而將新知識同自己的已有知識體系聯系起來。

其次，在授課中，教師需要經常聯系實例來說明數學原理，引導學生鍛煉用數學原理概括實際問題的能力。

再者，為了使學生在專業課程學習中具有數學思維，教師還需要在授課過程中向學生滲透專業概念與數學的聯系，使學生逐步認識到數學的實用性和學習的必要性。

另外，為了加強學生運用科學計算工具解決數學問題與實際問題的能力，授課教師在授課時還可以引導學生學習一些相關的計算機軟件（如MATLAB軟件），鼓勵學生學習數學建模，并同時布置一些與需要編程計算的應用題作為課后作業[2]。

5 線性代數教學范例

在電子信息類學科中，線性代數的概念幾乎無處不在，例如向量空間、基和線性變換等概念，在許多課程中都是透徹理解主要內容的關鍵以及成為探究知識本質的線索。接下來，本文將以向量空間中基的概念為例，探討如何在教學中將線性代數與相關科目知識進行聯系。

5.1 理解向量空間基的概念

在教學中，教師需要將新的概念同學生熟悉的知識相聯系，使學生在知識擴展的過程中消除莫名其妙的感覺與恐懼的心理。例如，用向量空間的一組基來線性表示一個向量與力學中受力分解便具有很好的對應。

5.2 線性代數與其他數學課的聯系

在一個專業中，任何一門課程都是相互聯系、相互支撐的，但對于許多學生而言，許多課程難以產生關聯。如果授課教師能時時注意為學生打通課程間的隔閡，在相互并行的課程間建立橋梁，將有助于學生領悟到不同課程的概念在本質上的一致性。數學分析、復變函數與線性代數之間便具備這樣的聯系。

從數學角度看，一個工程學系統的輸入和輸出信號都是函數，函數的線性運算（加法和標量乘法）完全類似向量空間中向量線性運算（加法和數乘）的代數性質，將向量張成向量空間的概念推廣到函數組成的信號空間[7]對于工程應用是極為重要的。因此，用線性代數的向量空間和基的概念來理解級數，使得它們與線性代數的向量空間統一起來，對于未來信號與系統等專業課程的學習是非常有益的。

5.3 線性代數服務于專業基礎課教學

在信號與系統課程的學習中，第一個讓學生感到困難的知識就是Fourier變換，緊接著還有Laplace變換與Z變換更是讓人摸不到頭腦，甚至有學生提出“信號與系統這門課是數學課嗎？”。如果將前述向量空間推廣到函數空間，找到線性代數和Fourier變換的內在聯系，那么這個困難的概念將會變得簡單。

設有函數f（t）是以 T為周期的周期函數，且在[-T/2，T/2]可以表示為基 1，ejωt，ej2ωt，…的線性組合，然后通過令 T→+∞可以推導出Fourier變換的形式。這說明Fourier變換本質是在信號所在的線性空間中找到能夠反映各個頻率分量的一組基，然后用這組基在頻率域分析信號結構的一種方法。由于需要微積分的支撐，這個概念顯得十分復雜，但其實質卻如力的分解一樣簡單。如果在線性代數課程中解決了向量空間和基的問題、在復變函數課中解決了級數問題，Fourier變換就不再困難了，隨后在頻譜、功率譜和濾波器等內容的學習中就不會“迷失在數學計算中而忘記了原本的目的”了。

5.4 數學原理在專業知識中的應用

不難看出，線性代數的基本概念能夠清晰的反映各種變量之間的關系。當給這些變量賦予實際的物理意義時，線性代數同樣能夠使得看似復雜的技術變得簡單明晰，現實生活中第三代移動通信系統（通常被稱為3G）的核心技術CDMA（碼分多址）技術就是一個對應的例子。

CDMA技術[8]能夠實現在一個天線上允許多用戶同時同地同頻段通信，令多數學生很難理解的是：多個用戶的信號混合為一個信號，如何利用不同的碼字區分戶信息呢。利用向量空間和基的概念，解決這個問題就如同物理學中的受力分解一樣容易。

設一個CDMA通信系統，向用戶A和用戶B發送信息m1和m2，信息分別用碼字 P1，P2來攜帶，發送信號分別記為S1=m1P1和S2=m2P2。如果用戶A和用戶B同一地點、同一時間接收信息，那么兩個用戶收到的信號均為混合信號S=S1+S2=每個用戶需要從混合信號S中分別提取發給自己的信號。保證用戶能夠提取信號的關鍵是攜帶用戶信息的碼字P1，P2，它們通常是具有準正交特性的偽隨機碼，可以被看作是信號空間的一組基。用戶A只需要將混合信號S向空間中的基P1進行投影，即可得到消息m1。同理，用戶B將信號S向空間中的基P2進行投影，可以得到信息m2。

5.5 線性代數與數值計算相結合解決工程問題

線性代數在應用中的重要性隨著計算機的發展而迅速增加。在線性代數的教學中，僅僅局限于手工計算求解方程組是遠遠不夠的，在教學中應該說明工程問題如何對應成線性代數問題（即為數學建模）與如何借助計算機結合數值計算進行問題求解。計算方法課程中的插值問題可以作為一個很好的工程應用和計算機求解的例子。

針對一個系統未知y=f（x），由實驗或者測量得到一組數據（xi，yi），i=0，1，2，…n 希望構造一個簡單函數 p（x）作為函數y=f（x）的近似表達，使得 yi=p（xi），i=1，2，…n，這類問題即為插值問題[9]。假設使用n階多項式求解出 ai，i=0，1，2，…，n，即可得到插值多項式 p（x）。 求解這個多項式一個可行的方法是拉格朗日插值，求解公式為該表達式形式允許工程師通過編程方便實現插值多項式的求解。問題是，表達式Ln（x）是筆者要的多項式嗎？與希望得到的插值多項式是p（x）是一致的嗎？結論是完全一致，之所以形式不同，是因為在n階多項式空間中，選取不同形式的基函數，因而具有不同的線性組合形式。表1對比計算方法的插值問題、線性代數的向量空間中的基，通過對比，拉格朗日插值多項式的本質一目了然。

表1 向量空間中的向量與多項式空間中的插值多項式Tab.1 Vector in vector space and interpolation polynomials in polynomial space

6 結 論

由以上范例可以看到，在描述具體的工程問題時，線性代數理論與方法具有很強的適用性[10]。在授課過程中，如果教師能在數學課堂上說明這個概念的來源及應用，不僅能激發學生的學習興趣，能夠為未來的學習做鋪墊，也能令學生們認識到數學的重要作用，引導他們理解抽象的數學概念，構建自己關于科學技術的認知體系。經過近5年教學改革實踐，本文所提出的教學改革理念和方案，不僅提高了線性代數課程教學質量，而且也促進了數學建模、復變函數、計算方法、信號與系統、通信原理、信息論與編碼、隨機信號分析、移動通信等課程的教學質量的提高。

[1]威廉·費勒.概率論及其應用[M].3版.北京：人民郵電出版社，2006.

[2]陳懷琛，高淑萍，楊威.工程線性代數[M].MATLAB版.北京：電子工業出版社，2007.

[3]Hoffman K，Kunze R.Linear Algebra[M].2版.北京：世界圖書出版社，2008.

[4]Halliday，Resnick，Walker.基礎物理學[M].6版.北京：機械工業出版社，2001.

[5]張筑生.數學分析新講[M].北京:北京大學出版社，1991.

[6]西安交通大學高等數學教研室.復變函數與積分變換[M].北京：高等教育出版社，1996.

[7]吳大正.信號與線性系統分析[M].4版.北京：高等教育出版社，2005.

[8]郭梯云，鄔國楊，李建東.移動通信[M].3版.西安：西安電子科技大學出版社，2005.

[9]王世儒，王金金，馮有前.計算方法[M].2版.西安：西安電子科技大學出版社，2006.

[10]David C.Lay，Linear Algebra and Its Applications[M].3版.北京：電子工業出版社，2010.