標準正交基應用于通信原理課程的教學研究

和 亮，魏西媛

（西安外事學院 陜西 西安 710077）

2009年1月，教育部高教司設立了“利用信息技術工具改造課程”項目，“用MATLAB和建模實踐改造工科線性代數課程”是其中一個子項目。 而“需求牽引”和“技術推動”正是此項目改革的動力[1-2]。是的，后續課程的需求是什么？采用MATLAB軟件如何增強教學？這是當前線性代數課程教育者必須思考的。

我校作為參與此項目院校之一，教改也取得了顯著成果，得到了專家、教師和學生的支持，給予很高的評價，但是如何將線性代數在工科教育中的重要作用進一步發揮出來呢？工科線性代數改革的主要目的不是在于課程自身，而是對后續課程產生輻射，推動各種有關的后續課乃至整個教學計劃的改革和現代化。

基于此，本文針對通信原理課程內容雜而多，難教難學的特點，以此課程中調制內容為例，探討了現有教學中存在的問題，提出了將線性代數中向量空間及標準正交基的知識與調制內容進行深度結合，并將MATLAB運用于教學的解決方案。

1 通信原理課程教學現狀

通信原理課程是通信工程、電子信息工程等本科專業的專業基礎課。在實際教學中，本科院校一般都是選用國內一些優秀教材，這些教材內容選取大同小異。一般由隨機過程、信道與噪聲、模擬調制系統、數字基帶傳輸系統、數字頻帶傳輸系統、模擬信號的數字傳輸系統、數字信號的最佳接收、同步原理、差錯控制編碼這些內容組成。由于其具有很強的理論性、系統性和物理性，內容雜而多，很多學生反映“亂”，而就每一章來說，能聽懂，會做題，但沒有課程的整體思路。現以調制部分的教學為例，討論難教難學的原因。原因一，調制方式多、數學表達式多。在大多數通信原理教材中將調制分為兩部分，一部分是模擬調制，包括有AM、DSB、SSB、VSB等；另一部分是數字調制，包括有二進制或多進制的ASK、FSK、PSK以及QAM、MSK、GMSK等。不同的調制方式有著不同的數學表達式。盡管在教學中不斷強調，不論是模擬調制還是數字調制都是圍繞幅度調制、頻率調制、相位調制3類基本調制展開的，本質是一樣的。但是在理論學習過程中，眾多的調制方式、數學表達式仍然讓學生感到混亂、難理解。原因二，知識抽象，有很強的物理性。調制在實際中有廣泛的應用，但是學生學習這部分常常會感到，即使能將每個調制方式的表達式記住，卻不知如何用；題目中已知條件給了不少，卻弄不清楚是什么意思；面對實際問題，不知如何分析，如何實現。這些都是由于知識抽象，不理解公式和物理量的物理意義所造成的。如何解決或改善上述兩個問題呢？首先，如果能將紛雜的調制方式統一為一個數學模型，換句話說，就是可以用一個通用的數學模型分析所有模擬和數字調制方式，那么可以改善甚至解決第一個問題。其次，如果能將MATLAB用于教學，通過仿真將抽象知識直觀化、具體化，那么可以解決上述第二個問題。以下討論具體解決問題的方案。首先介紹調制方式的數學模型如何統一。

2 調制數學模型的統一

為解決調制方式多，數學表達式繁雜給教學帶來的困難，現將線性代數中向量空間和標準正交基概念引入，通過闡述向量空間和信號空間的關系，將標準正交基和通信原理課程中的調制內容結合起來，實現調制方式數學模型的統一。

2.1 向量空間與信號空間的聯系

向量空間就是線性代數中一個核心概念。掌握有限維向量空間，將其擴展到信號空間，這一點對于應用數學研究者是非常重要的。

2.1.1 向量空間

根據向量空間定義[3]，可以獲知以下信息：1）向量空間是滿足某種運算關系的向量的集合；2）在n維向量空間中線性無關的n個向量構成的向量集合就是向量空間的一個基；3）基是生成向量空間的最基本的向量集合，空間中的任意一個向量都可以由基線性組合得到；4）在Euclid空間引入標準正交基對于揭示空間結構、簡化表述非常有利。

此概念具有非常直觀的幾何意義。例如在二維向量空間中的體現如圖 1所示。 其中向量 e1=[1，0]T，e2=[0，1]T。 根據標準正交基的定義可知，e1、e2是二維向量空間的一個標準正交基。那么，二維向量空間中的任意一個向量都可以由e1、e2線性組合得到。如x=k1e1+k2e2，其中是實常數。

圖1 標準正交基的幾何意義Fig.1 Geometric meaning of standard orthogonal basis

2.1.2 信號空間

根據信號空間定義[4]可知，信號空間是由信號構成的Hilbert空間或線性空間。也就是說，信號空間也是滿足一定條件[4]的集合，其元素是信號。如前所述，向量空間是由向量構成的線性空間。由此可以看出：信號空間與向量空間本質相同，均是滿足一定條件的集合，只是集合中的元素不同。若將向量空間中的元素向量換成信號，便是信號空間。那么，向量空間中基的概念可以推廣到信號空間：1）兩兩正交且能量均為1的信號集合是信號空間的標準正交基或歸一化正交基。2）由基組合而成的信號組成的集合便是信號空間[5]。換言之，信號空間中的任意一個信號都可以由基組合得到。當信號空間中的基給定時，空間中信號的位置完全由組合系數構成的向量決定。

根據函數正交和正交函數集[1]定義可知，sin（ωct）和cos（ωct）互為正交函數，由上述討論顯然可以看出，sin（ωct）和cos（ωct）可以看作二維信號空間的一組標準正交基，那么二維信號空間中的任意一個信號s（t）均可以由基線性組合得到。

2.2 正交調制原理

在通信中，基帶信號不能直接送入實際信道進行傳輸，為了更好地適應信號傳輸通道的頻率特性，必須用基帶信號對載波進行調制來完成信號傳輸[6]。在通信發展的過程中，隨著技術的不斷進步，衍生出很多種調制解調方式，它們之間的不同之處在于用待傳輸信號去控制載波的不同參數，例如載波的幅度、頻率、相位或者它們的組合。已知已調信號的一般數學表達式為：

根據上面討論可知，sin（ωct）和 cos（ωct）是二維信號空間的一組標準正交基，那么（2）式顯然可以理解為：已調信號 s（t）是 sin（ωct）和 cos（ωct）線性組合。 另外，在（3）式中可以看到，I（t）、Q（t）包含了調制信號的幅度信息和相位信息。這就意味著，只要確定了 I（t）、Q（t），便可以實現各種調制方式。 因此，調制過程，等價于根據待傳輸的基帶信號獲得同相分量 I（t）和正交分量 Q（t）后，對基函數 cos（ωct）、sin（ωct）進行線性組合的過程。進一步，解調的過程即為從已調信號中提取 I（t）、Q（t）并由其生成基帶信號的過程。

2.3 常見調制方式的同相分量和正交分量

表 1 給出常見調制方式的同相分量 I（t）和正交分量Q（t）[7]。其中 AM、DSB、SSB和 FM所對應的 m（t）為模擬基帶信號，2ASK、2FSK、2PSK、MSK 和 QAM 所對應的 m（t）為數字基帶信為碼元寬度。

通過表中討論可以看出，通過標準正交基的概念將正交調制模型引入通信原理課程教學中，不僅將線性代數知識和專業課深度結合，而且可以將模擬調制和數字調制內容進行整合，降低了教與學的難度，使得通信原理課程知識結構更加簡單明了，在深化線性代數教學改革的同時也推動了通信原理課程改革。

表1 幾種常見調制方式的同相分量和正交分量Tab.1 Several common modulation of the in-phase and quadrature components

3 MATLAB用于調制內容教學

為了解決上述第二個問題給教學帶來的困難，可以利用MATLAB軟件的特點將其用于教與學，增強教學效果。

3.1 MATLAB用于“教”

通過上述討論可知，紛雜的調制方式可以統一成一個正交數學模型，不同的調制方式僅僅對應著不同 I（t）、Q（t）。 那么，在課堂上教師可以用MATLAB為學生演示正交調制原理下各種調制方式所對應參量。帶來的好處就是將抽象知識具體化、直觀化，使得學生更容易接受這部分內容，同時激發了學生學習興趣。圖2就是用MATLAB軟件仿真實現QPSK調制方式時獲得的時域波形圖、頻譜圖及各參量波形示意圖。

3.2 MATLAB用于“學”

為了加強教的效果，教師可以以課程設計等形式要求學生通過正交調制數學模型編寫MATLAB程序，來實現多種調制方式。這樣做有什么好處呢？1）學生先經過理論分析，然后再仿真實現，在這個過程中會遇到問題多種問題，那么分析問題、解決問題是學生必然要經歷的過程。當學生通過理論指導完成仿真實現時，不僅加深了他們對調制概念的理解，更好的掌握調制理論，了解調制解調的本質，而且反過來又幫助學生驗證了理論的正確性，在激發學生學習興趣的同時提高學生學習效率。2）結合實際問題，學生完成了調制理論向工程化的轉變。例如，在一個通用的硬件平臺上，用軟件實現不同調制，這正是調制解調在軟件無線電領域的一個工程應用。培養了學生提出問題、分析問題、解決問題以及工程應用的能力。3）為學生本科畢業設計積累了素材。

圖2 QPSK波形圖、頻譜圖及各參量示意圖Fig.2 QPSK waveform，spectrogram and the parameter diagram

4 結束語

本文在完成了“用信息工具改造線性代數課程”的教學改革基礎上，針對通信原理課程教學中存在的問題，以調制內容為例提出了將線性代數中的標準正交基概念引入和將MATLAB用于教學的解決方案。需要說明的是，此方案通過在我校本科電子信息工程專業進行了試行，根據教學效果及后續畢業設計結果來看，文中提到兩個問題均有顯著的改善，但是要取得更好的教學效果，我們還有大量的工作要做。技術推動、需求牽引是一切科學技術發展的動力。教育教學也只有如此，才能面向未來，通信原理課程也不例外。

[1]陳懷琛，高淑萍，楊威.工程線性代數（MATLAB版）[M].北京:電子工業出版社，2007.

[2]程鈴.基于Matlab的多進制數字調制仿真 [J].現代電子技術，2009（22）：60-62.CHENGLing.Simulation of multi-decimal digitial modulation based on Matlab[J].Modern Electronic Technique，2009（22）：60-62.

[3]David C.Lay.Linear Algebra and Its Applications（Third Edition）[M].北京:電子工業出版社，2004.

[4]鄭君里，應啟珩，楊為理.信號與系統引論[M].北京:高等教育出版社，2009.

[5]汪學剛，張明友.現代信號理論[M].2版.北京:電子工業出版社，2005.

[6]張輝，曹麗娜.現代通信原理與技術[M].2版.西安:西安電子科技大學出版社，2008.

[7]張賢達，保錚.通信信號處理[M].北京:國防工業出版社，2000.