有限觀測絕對加速度響應下剪切框架在未知地震作用下損傷診斷

雷 鷹，倪萍禾，劉 朝

(廈門大學 建筑與土木工程學院，廈門 361005)

地震作用下建筑結構的損傷診斷是一項重要且具有挑戰性的任務。迄今為止，國內外學者提出了不少地震作用下的損傷識別診斷的方法，其中通過識別建筑結構動力參數，以捕捉結構動力參數(如結構單元剛度)的改變，進行結構損傷診斷是一種有效的途徑［1-3］。由于作用在建筑結構的地震作用力不易準確測量，國內外學者也致力研究對在未知地震荷載下，結構動力參數與地震荷載的復合識別(反演)［2，4-7］。Zhao等［8-9］提出了未知地震荷載作用下，對多層剪切框架結構的混合識別方法。證明了僅通過直接用結構絕對加速度響應無法唯一識別結構動力參數和未知地震作用力。在結構絕對加速度、速度和位移全部觀測的情況下，通過對觀測信號采用最小二乘法和利用模態識別結果的混合識別，可以識別多層框架結構動力參數和作用的地震荷載。由于實際中不可能在結構上安置大量的各種傳感器對結構上的全部加速度、速度和位移都進行測量，往往只能安置有限的加速度傳感器，得到結構局部自由度的絕對加速度響應［3］。因此，本文研究在結構絕對加速度響應部分觀測、地震作用未觀測的情況下，框架結構動力參數與未知地震作用力的識別。而且通過結構剛度參數的變化，可以對地震作用下結構局部損傷進行有效地診斷。本文通過采用四層剪切框架在未知地震激勵下的結構識別和結構損傷診斷，驗證了提出方法的有效性。

1 損傷識別的方法

多層剪切框架結構，在地震作用下其絕對運動方程可以表示為:

假設結構的阻尼為瑞利阻尼，即:

其中α，β為阻尼系數。方程(1)可以改寫為:

由于僅通過直接用結構絕對加速度響應無法唯一同時識別結構動力參數k1和未知地震作用力［8-9］，故將方程(3)中包含k1項右移。此時運動學方程可以改寫為:

其中K'，C'不含k1，c1，Bu=［1，0，…，0］T:

引入擴展狀態向量:

其中:

考慮到方程(5)右端第一項作用較第一層未知外荷載要小許多，可以忽略。這樣關于結構擴展狀態向量的方程可以寫為:

C'表示阻尼矩陣，C'=αM+βK';K'表示剛度矩陣。

方程(8)可以寫成如下擴展狀態向量的非線性方程:

通常結構上只安置了有限的加速度傳感器，因此離散形式的結構觀測方程為:

離散的觀測向量可用以下非線性方程表示:

根據擴展的卡爾曼預測估計，有狀態預測:

而狀態估計為:

其中K為最優增益矩陣［10］。

有了k+1時刻擴展狀態向量的估計值，可由k+1時刻觀測方程(11)，利用最小二乘，對k+1時刻的未知激勵fu［k+1］進行如下估計:

這樣就實現了分別對擴展狀態向量X和未知力fu進行識別。

對觀測的結構絕對加速度響應通過FFT變換，進行頻域分析。采用峰值拾取法可以很好估計識別結構若干固有頻率。利用結構頻率特征方程:

可以基于行列式余子式，在已知k2，…，km的情況下，計算得到k1。

2 數值算例

采用4層剪切框架(如圖1)來證明提出方法的可行性。框架結構各樓層的質量分別為:m1=60 kg，m2=50 kg，m3=40 kg，m4=30 kg，。各樓層的真實剛度為k1=k2=k3=k4=120 kN/m，瑞利阻尼系數為α=0.841 4，β =8.500 0 ×10-4。數值模擬中初始位移與速度取為零;剛度和初始瑞利阻尼系數均取與相應真實值有25%的偏差，關于剛度誤差協方差為1.0×1012，關于瑞利阻尼系數誤差協方差分別為1.0×10-2和1.0×10-5。框架結構受到未觀測的地震激勵。在數值模擬中采用PGA=2.0 g的El-Centro波作為底部加速度激勵。僅對框架結構的第1、3、4層的絕對加速度響應進行觀測。

圖1 四層剪切框架Fig.1 A four-story shear building under earthquake excitation

基于本文方法，先從關于框架結構的絕對運動方程(3)出發，對框架第2～4層的結構參數、結構狀態向量，以及作用的外部激勵fu(t)進行識別。圖2～圖3分別是識別的框架第1層絕對位移和速度與實際位移和速度的比較，圖中實線為識別結果，而點線是實際響應。可以看出，提出的方法能很好識別用于方程(6)中fu(t)表述式的結構響應狀態向量。然后通過對觀測的第1、3、4層的絕對加速度響應進行快速傅里葉變換(FFT)，將這些時域信號變換到頻域中進行分析。利用峰值拾取法(peak-picking)，可以對結構固有頻率進行估計。本文算例中，基頻峰值較顯著，圖4是第3層絕對加速度響應經FFT后的第1階頻率附近的頻譜圖。利用峰值拾取法，可以估計基頻。通過對第1、3、4層的絕對加速度響應的FFT采用峰值拾取法，并對所得基頻估計值進行平均，確定結構基頻f1。最后根據方程(15)，在已識別k2，k3，k4基礎上，計算底層剛度k1。識別的剛度結果與真實值的比較見表1。可看出該方法能很好識別出結構的剛度參數。

圖2 第1層絕對位移響應的比較Fig.2 The comparisons of absolute displacement responses

圖3 第1層絕對速度響應的比較Fig.3 The comparisons of absolute velocity responses

圖4 第三層絕對加速度響應經FFT獲得第一階頻率Fig.4 The 1st frequency amplitude by FFT from the 3rd story absolute acceleration response

表1 四層框架剛度識別Tab.1 Identified story stiffness of the building

根據一階微分方程(6)，采用Newmark法可離散求解未知的地震加速度(t)，識別得到的結果與實際的地震作用的比較結果如圖5所示。圖中實線為識別地震激勵，黑點為真實地震激勵，由圖可以看出，黑點和實線基本重合，證明本方法能準確識別出未知的地震激勵作用。

圖5 地震激勵對比圖Fig.5 The comparisons of earthquake excitation

考慮結構在第三層發生損傷，損傷后剛度k3=110 kN/m。基于損傷結構在未知地震加速度作用下的絕對加速度響應觀測，可以對損傷后的結構參數進行識別。在損傷識別中考慮的結構參數初始值跟未損傷一致，其識別結果與損傷結構后真實剛度對比見表2。提出的方法能很好識別結構損傷后的結構參數。

表2 四層框架剛度損傷識別Tab.2 Identified story stiffness of the damaged building

綜上表明，本文所提出的方法能夠識別出結構的剛度等動力參數，并具有良好的精度。同時識別出的未知激勵也有很好的精確度。通過結構局部損傷前后剛度的退化，可以較準確對損傷的位置和損傷的程度進行診斷。

3 結論

本文提出一種在僅部分觀測結構絕對加速度響應情況下，進行多層剪切框架結構診斷的新方法。數值算例表明，該方法能很好識別出結構參數和地震輸入，通過結構剛度參數的變化，可以對地震作用下結構局部損傷進行診斷。與其他方法相比，提出的新方法僅需部分觀測結構絕對加速度響應，且計算簡易，更適合工程中框架結構的損傷診斷。

能否將本文提出的方法推廣到高層框架結構，以及其他復雜類型結構值得進一步研究。

［1］ Wu Z S，Xu B，Harada T.Review on structural health monitoring forinfrastructures［J］. JournalofApplied Mechanics，JSCE，2003，6:1043-1054.

［2］李國強，李 杰.工程結構動力檢測理論與應用［M］.北京:科學出版社.2002.

［3］ Lei Y，Liu L J，Ni P H，Distributed detection of local damage in large-size structures under earthquake excitation［R］.Proceedings of the 14th World Conference on Earthquake Engineering， in CD - ROM， 14 -0018. Beijing，China，2008.

［4］Yang J N，Huang H W.An adaptive extended Kalman filter for structural damage identifications II:unknown input［J］.Structural Control and Health Monitoring.2007，14:497-521.

［5］ Kathuda H，Martinez R，Hladar A.Health assessment at local levelwith unknown input excitation［J］. Structural Engineering，2005，131(6):956-965.

［6］陳健云，王建有.部分輸入未知條件下結構參數識別法研究［J］.計算力學學報，2005，22(2)，149-154.

［7］ Ling X L，Haldar A.Element level system identification with unknown input with Rayleigh damping［J］.Journal of Engineering Mechanics，2004，130(8):877-885.

［8］Zhao X，Xu Y L，Li J，et al.Hybrid identification method for shear buildings with unknown seismic input:theory［J］.Sound and Vibration Control，2006，291，215-239.

［9］Zhao X，Xu Y L，Li J，et al.Hybrid identification method for shear buildings with unknown seismic input:Experimental investigation［J］.Engineering Structures，2005，(27):1234-1247.

［10］ Lei Y，Lei J Y，Song Y.Element level structural damage detection with limited observations and with unknown inputs［R］.Proceedings of SPIE's Conference on Health Monitoring of Structural and Biological Systems，San Diego，CA，USA.2007，6532，65321X1-X9.