一種新型并聯(lián)XYY微定位平臺動力學(xué)建模及控制仿真

舒 強，施寧平，饒學(xué)軍，郭友明

（1.中國科學(xué)院 光電技術(shù)研究所，成都 610209 2.中科院研究生院，北京 100049）

國內(nèi)外學(xué)者對基于壓電陶瓷驅(qū)動的微定位平臺作了廣泛研究。從結(jié)構(gòu)上，主要分為串聯(lián)和并聯(lián)兩種類型。由于加工和裝配誤差產(chǎn)生的不對稱性，串聯(lián)結(jié)構(gòu)的微定位平臺運動并不能保證嚴(yán)格的直線性。在光纖焊接，光刻掩膜對準(zhǔn)等應(yīng)用中，對運動直線度的要求非常高，采用串聯(lián)結(jié)構(gòu)的微定位平臺難以保證運動的直線性［1］。而并聯(lián)結(jié)構(gòu)的微定位平臺，所有的驅(qū)動器同時作用在動平臺上，因而能夠校正運動偏差，有效提高運動精度。然而，并聯(lián)結(jié)構(gòu)的微定位平臺的各自由度上存在運動耦合，其控制要比串聯(lián)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，采用單一的PI控制技術(shù)難以奏效。LQG控制是現(xiàn)代控制理論和最優(yōu)控制技術(shù)發(fā)展過程中的重要成果，尤其適合多輸入多輸出的控制對象，在航空航天領(lǐng)域，飛行器控制，過程控制和社會學(xué)等領(lǐng)域都有很多成功的應(yīng)用案例［2-3］。

在很多應(yīng)用場合，外界振動降低了微定位平臺的定位精度。在激光長距通信技術(shù)中，地基極其輕微的振動都有可能導(dǎo)致激光束產(chǎn)生偏轉(zhuǎn)［4］。為了減小地基振動的影響，通常采用的方法是隔離振源，提高結(jié)構(gòu)的固有頻率，或者采用更昂貴復(fù)雜的主動控制技術(shù)。這些方法通常需要提高部件的強度導(dǎo)致質(zhì)量變大或者額外的設(shè)備，在某些應(yīng)用場合受到限制。本文在LQG控制基礎(chǔ)上引入噪聲模型，通過仿真發(fā)現(xiàn)能夠很好的抑制確定頻率分布的窄帶隨機擾動。首先介紹了新型XYY并聯(lián)微動臺，推導(dǎo)了平臺的動力學(xué)方程。然后通過仿真分析確定出LQG控制權(quán)矩陣，分析了過程噪聲協(xié)方差對擾動抑制能力的影響規(guī)律。仿真結(jié)果表明，采用噪聲模型增廣的LQG控制要比直接使用LQG控制具有更好的噪聲抑制能力。

1 機械結(jié)構(gòu)介紹

圖1為平行多桿機構(gòu)，X向壓電驅(qū)動器3和Y向壓電驅(qū)動器1，2共同作用在動平臺上，X向安裝了一個電容傳感器，位于X向驅(qū)動器的軸線上，Y向的兩個電容傳感器分別與兩個驅(qū)動器對齊。X向驅(qū)動器在電壓作用下產(chǎn)生伸長通過柔性連接作用在動平臺上，使動平臺產(chǎn)生位移。Y向的兩個壓電驅(qū)動器同時伸長可以使動平臺產(chǎn)生Y向位移和轉(zhuǎn)動，當(dāng)Y向的兩個驅(qū)動器伸長量不同時，動平臺將同時產(chǎn)生Y向和XY平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動。當(dāng)動平臺產(chǎn)生平動時，Y向分布的兩個傳感器可以實時檢測動平臺因不對稱產(chǎn)生的偏角，并由Y向兩個壓電驅(qū)動器實時校正運動偏差，因此這種結(jié)構(gòu)可以校正轉(zhuǎn)動偏差，實現(xiàn)理想的平動。

圖1 XYY微定位平臺結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of XYY micro positioning stage

定位臺結(jié)構(gòu)可以等效為圖2的多桿機構(gòu)。該機構(gòu)的自由度為：f=3×（10-1）-12 ×2=3。在三個驅(qū)動器的作用下該機構(gòu)的屬于靜定結(jié)構(gòu)。

圖2 微動臺的機構(gòu)簡圖Fig.2 Mechanism sketch of XYY micro positioning stage

2 動力學(xué)建模

為了為控制提供精確的模型，首先必須建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程。本文利用拉格郎日方程建立微動臺機械結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程。設(shè)定廣義坐標(biāo)的原點為動平臺平衡位置的對稱中心，沿兩個驅(qū)動器的方向為Y向，沿一個驅(qū)動器方向為X向，通過原點垂直于紙面的方向為θ，如圖2所示。將微定位系統(tǒng)分為4個子系統(tǒng)，分別為帶有柔性鉸鏈的動平臺和3個帶有柔性頭的壓電驅(qū)動器。設(shè)動平臺發(fā)生了微小位移量為（x0，y0，θ），如圖3所示。設(shè)連桿O1E和連桿BE產(chǎn)生的角位移分別為γ1，β1，連桿O2F，AF的角位移分別為γ2，β2，連桿O3G，GC的角位移分別為 γ3，β3，連桿O4H，DH的角位移分別為 γ4，β4。發(fā)生移動后，B點運動到B'（xB'，yB'）：

同理可得：

以上角位移規(guī)定逆時針方向為正。

連桿BE、FA、GC、HD質(zhì)心G1、G2、G3、G4的速度矢量分別為：

圖3 微動臺運動示意圖Fig.3 Sketch of small displacement of micro positioning stage from origin O to O’

系統(tǒng)動能：

彈性勢能：

其中m1，m2分別為動平臺和連桿BE的質(zhì)量，J1，J2分別為動平臺、連桿BE對其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量，J3為連桿EO1對O1的轉(zhuǎn)動慣量。k1為柔性鉸鏈的旋轉(zhuǎn)剛度。

式中：右邊第一項為驅(qū)動器3作用在動平臺上的驅(qū)動力，第二項考慮系統(tǒng)在X向的結(jié)構(gòu)阻尼作用，第三項為外界干擾以及系統(tǒng)未建模特性的等效擾動。

式中：右邊前兩項為壓電驅(qū)動器2、3通過彈性連接作用在動平臺上的驅(qū)動力，第三項考慮系統(tǒng)在Y向的結(jié)構(gòu)阻尼作用。最后一項為外界干擾以及系統(tǒng)未建模特性的等效擾動。

式中：右邊第一項為壓電驅(qū)動器2、3通過彈性連接作用在動平臺上的驅(qū)動力對O點的等效力矩，第二項考慮系統(tǒng)在轉(zhuǎn)動時的結(jié)構(gòu)阻尼作用，最后一項為外界干擾以及系統(tǒng)未建模特性的等效力矩。

與動平臺相比，壓電驅(qū)動器及連接元件的質(zhì)量很小，為簡化問題的建模，可認(rèn)為其為無質(zhì)量的彈簧，其動力學(xué)模型如圖4所示。圖中y1，y2，x為連接元件與動平臺連接處的位移，xp，yp1，yp2為x向，y向兩個壓電驅(qū)動器在施加電壓下的自然伸長量。Kc，Kp分別為連接元件和壓電驅(qū)動器軸向剛度。易得：

其中Ke=KcKp/（Kc+Kp）。

圖4 壓電驅(qū)動器1 2 3的力學(xué)模型Fig.4 Simplified dynamic model of piezo-electric actuaors

由微小變形下的幾何關(guān)系易得：

綜合式（8）、（9）、（10）得：

為了減小壓電驅(qū)動器遲滯非線性對控制性能的影響，應(yīng)盡量使驅(qū)動器工作在線性度較好的電壓區(qū)間，同時在滿足微動臺行程條件下使工作電壓區(qū)間盡可能小，因此驅(qū)動器遲滯非線性的影響基本可以忽略，而由地基傳入微定位平臺的外界擾動成為需要關(guān)注的焦點。此時，ε1和ε2分別為X和Y方向地基加速度擾動。而在XY平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動自由度上，考慮到加工和安裝誤差引起的非對稱性，可以用階越擾動來代替外界干擾ε3。可見，設(shè)計控制系統(tǒng)的難點之一在于克服上述各種干擾的影響。

3 控制對象數(shù)學(xué)模型

由平臺動力學(xué)模型（12）、（13）、（14）可以看出微定位平臺的X向不存在耦合，可以單獨設(shè)計控制器。選擇X向、Y向、θ向位移，和對應(yīng)方向的一階導(dǎo)數(shù)作為狀態(tài)變量。X方向微定位平臺的狀態(tài)空間描述為：

其中X=［xvx］T，Y=x，u=xp，

d、v分別為地基振動和傳感器測量噪聲。Y和θ向動平臺輸入輸出的狀態(tài)空間描述為：

其中X=［y vyθ ω］T，Y=［yθ］T，u=［yp1yp2］T，ω 為平臺轉(zhuǎn)動角速度。

d，v分別為地基振動和傳感器測量噪聲。其中：

相關(guān)數(shù)據(jù)見附錄。

圖5 帶有積分器的LQG控制器g.5 Block diagram of LQG controller augmented by integrators

4 控制器設(shè)計

4.1 LQR控制器設(shè)計

根據(jù)分離原理，首先設(shè)計LQR控制器。為了消除穩(wěn)態(tài)誤差，需在每一個控制通道上加入積分器。此時控制系統(tǒng)的框圖變?yōu)閳D（5）。為了消除輸出穩(wěn)態(tài)誤差，引入誤差的積分ei作為狀態(tài)變量對原控制對象狀態(tài)方程增廣［8］。設(shè)增廣后的狀態(tài)方程表示為：

A+PAa+Q-PBaR-1B=0的解。下邊以微定位平臺X方向為例，通過仿真確定出合適的Q，ρ。

為實現(xiàn)跟蹤，應(yīng)盡可能提高積分誤差權(quán)重系數(shù)，初選Q=diag［100 0 1］，然后改變 ρ，仿真得到圖（6）。從圖可看出，隨著ρ沿箭頭方向增大，系統(tǒng)閉環(huán)帶寬逐漸變小，諧振峰逐漸增大，這表明能量權(quán)重越小，控制能量越大，系統(tǒng)響應(yīng)速度越快，諧振峰抑制效果也越好。對于壓電驅(qū)動器驅(qū)動的微定位平臺可以采用廉價控制方案，在驅(qū)動電源功率許可情況下盡可能降低能量權(quán)重ρ，以獲得較快的響應(yīng)速度。

圖6 不同ρ下的X向閉環(huán)傳遞函數(shù)（箭頭方向代表 ρ增大的方向，ρ依次取值 10-6，10-4，10-2，1）Fig.6 Closed loop transfer function of the control system under different energy weight ρ.（Along direction of the arrow，ρ equals 10-6，10-4，10-2，1，respectively）

上邊權(quán)重Q中對速度狀態(tài)變量施加了限制作用，通過仿真發(fā)現(xiàn)在其他條件不變，只改變速度狀態(tài)變量的權(quán)重下系統(tǒng)的閉環(huán)帶寬明顯不同。由圖（7）看出，當(dāng)速度狀態(tài)變量權(quán)重沿箭頭方向提高，閉環(huán)帶寬變小。為了獲得合適的閉環(huán)帶寬，最后選擇Q=diag［100 0 1 ×10-8］。

圖7 速度狀態(tài)變量權(quán)重變化對閉環(huán)帶寬系統(tǒng)的影響（箭頭方向代表權(quán)重增大，依次為 10-8，10-6，10-4，10-2）Fig.7 Influence of the weight of positioning stage’s velocity on bandwidth of closed transfer function.（Along direction of the arrow，ρ equals 10-8，10-6，10-4，10-2，respectively）

綜合以上分析，最終確定Q=diag［100 0 1×10-8］，ρ=1 ×10-6，微定位平臺X向的 0.1 單位階躍響應(yīng)圖如圖（8）所示。

圖8 X向LQR控制0.1單位階躍響應(yīng)Fig.8 Response of 0.1 unit step input along X

為了使每個自由度具有相近的響應(yīng)速度，Y和θ向LQR控制器權(quán)重的選擇與X向類似，Q=diag［100 100 0 1 ×10-80 1 ×10-8］，ρ=1 ×10-6，圖（9）為Y和θ參考輸入分別為0.1和0.05單位時的階躍響應(yīng)曲線，可見，在每個通道加入積分器的LQR控制器具有很好的解耦和跟蹤能力。

圖9 Y和θ向LQR控制階躍響應(yīng)Fig.9 Response of step input along Y and θ

4.2 噪聲成型濾波器設(shè)計

在微定位平臺工作過程中，不可避免的受到各種自然和人為因素引起的擾動，比如樓層的振動，地震，冷卻空調(diào)的轉(zhuǎn)動，驅(qū)動電機的擾動等。這些擾動的功率譜往往在某一頻率范圍內(nèi)高度集中，可以近似的看作窄帶隨機噪聲。本文中，假定地基振動主要來自驅(qū)動電機的周期性擾動，這種情況下可以預(yù)先設(shè)定成型濾波器的結(jié)構(gòu)為：

驅(qū)動電機因轉(zhuǎn)子偏心產(chǎn)生的擾動可近似視為窄帶隨機噪聲，電機的頻率為100 Hz左右。通過仿真確定：

成型濾波器輸入白噪聲的方差為1×10-7。圖（10）為噪聲成型濾波器的輸出曲線。最大峰值加速度可達(dá) 0.07 m/s2。

圖10 噪聲成型濾波器的輸出曲線Fig.10 Output of noise shaping filter

4.3 引入噪聲模型的Kalman濾波器設(shè)計

LQG控制器要求過程噪聲和傳感器測量噪聲為零均值的高斯白噪聲，在現(xiàn)實世界中多為有色噪聲。如果將有色噪聲當(dāng)作白噪聲處理，Kalman濾波器對狀態(tài)的估計不是最優(yōu)，設(shè)計出的控制器是次優(yōu)的。根據(jù)內(nèi)模原理，為了抑制擾動，控制系統(tǒng)必須引入擾動模型［9］。因此，通過引入擾動數(shù)學(xué)模型，將擾動的狀態(tài)增廣到系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程不僅可以獲得狀態(tài)的最優(yōu)估計，還能夠起到抑制擾動的作用。

將擾動傳遞函數(shù)（18）寫成狀態(tài)空間形式：

式中，Xn為d維的列向量。w為高斯白噪聲，輸出為擾動。由式（15）和式（20）可得對噪聲模型增廣后的狀態(tài)空間方程

以X向為例，由于w，v的協(xié)方差矩陣實際上很難準(zhǔn)確獲得，假定電容傳感器測量噪聲v的方差Θ為1×104，使擾動模型（19）輸入白噪聲w的協(xié)方差Ξ取不同值，通過仿真可以得到不同Ξ下的噪聲傳遞函數(shù)，圖（11）顯示當(dāng)Ξ沿箭頭方向逐漸增大的過程中，過程噪聲從輸入到輸出的傳遞函數(shù)。可見，當(dāng)Ξ增大，系統(tǒng)對噪聲的抑制能力越強，噪聲傳遞函數(shù)的諧振峰也得到大大削弱，當(dāng)Ξ增大到一定程度，Kalman濾波器不僅對100Hz左右的窄帶噪聲得到了很好的抑制而且對100 Hz以上的高頻噪聲也具有相當(dāng)?shù)囊种颇芰Α８鶕?jù)以上分析，最終確定Ξ=1×108，Θ=1×10-4。

求得X方向最優(yōu)濾波增益為：

Y和θ自由度LQG控制器的設(shè)計與X方向類似，最優(yōu)濾波增益：

圖11 噪聲輸入到微定位臺輸出X的傳遞曲線隨Ξ的變化趨勢（沿箭頭方向 Ξ 分別等于1×102，1 ×104，1 ×106，1×108，1×1010）Fig.11 Transfer functions from noise input to positioning stage’s output x under different Ξs.（Along the arrow，Ξ equals 1 × 102，1×104，1 ×106，1 ×108，1 ×1010respectively）

圖（12）為從噪聲輸入到輸出Y和θ的傳遞函數(shù)曲線。從圖中看出，當(dāng)過程噪聲的協(xié)方差沿著箭頭方向逐漸增大，系統(tǒng)對噪聲的抑制能力也逐漸增強。

圖12 噪聲到輸出Y傳遞函數(shù)曲線（上圖）噪聲輸入到輸出θ的傳遞函數(shù)曲線（下圖），（沿箭頭方向Ξ分別等于1×104，1 ×106，1 ×108，1 ×1010）Fig.12 Transfer functions from noise input to positioning stage’s output Y and θ under different Ξs.（Along the arrow，Ξ equals 1×104，1 ×106，1 ×108，1 ×1010respectively）

4.4 仿真結(jié)果及分析

圖（13）顯示了微定位平臺在受到地基加速度擾動的情況下，分別采用沒有考慮噪聲增廣的次優(yōu)LQG控制器和考慮了噪聲增廣的LQG控制器的微定位平臺X向0.1單位階躍響應(yīng)曲線。圖13（a）表明，地基加速度擾動沒有得到抑制，微動臺在閉環(huán)過程中始終受到地基擾動而振動，圖13（b）表明，地基擾動被很好的抑制，定位精度得到提高。

圖（14）顯示了微定位平臺在受到地基加速度擾動的情況下，分別采用沒有考慮噪聲增廣的次優(yōu)LQG控制器和考慮了噪聲增廣的LQG控制器的微定位平臺Y向0.1單位階躍、θ向保持為0的響應(yīng)曲線。圖14（a）表明，地基加速度擾動沒有得到抑制，微動臺在閉環(huán)過程中始終受到地基擾動而振動，圖14（b）表明，地基擾動被很好的抑制，定位精度得到提高，Y向運動過程中動平臺沒有偏轉(zhuǎn)。

圖13 X向次優(yōu)LQG控制器和噪聲增廣的LQG控制階躍響應(yīng)對比圖（a）（b）Fig.13 Response of step input along X direction before and after implementing LQG controller augmented by noise model

圖14 Y、θ向次優(yōu)LQG控制器和噪聲增廣的LQG控制階躍響應(yīng)對比圖Fig.14 Response of step input along Y and θ direction before and after implementing LQG controller augmented by noise model

圖15 次優(yōu)LQG控制器和噪聲增廣的LQG控制圓形軌跡跟蹤對比圖，左為次優(yōu)LQG控制，右為噪聲增廣的LQG控制Fig.15 Performance comparison before and after implementing LQG controller augmented by noise model when tracing circular reference input

圖（15）為使θ=0情況下，分別采用次優(yōu)LQG控制和噪聲模型增廣的LQG控制器下，微定位平臺對圓形軌跡的跟蹤效果，平臺初始位置為（0，0）。可見后者對地基擾動抑制效果顯著優(yōu)于前者。

5 結(jié)論

本文設(shè)計了一種新型的壓電陶瓷驅(qū)動的并聯(lián)XYY結(jié)構(gòu)微定位平臺。該結(jié)構(gòu)通過Y方向兩個壓電驅(qū)動器的實時校正，能夠避免因加工裝配誤差引起的結(jié)構(gòu)非對稱性對平臺運動直線度的影響。通過結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析推導(dǎo)了微定位平臺的動力學(xué)模型。然后采用LQG控制實現(xiàn)了微定位平臺Y向和θ向的解耦，并通過引入過程噪聲成型濾波器對LQG控制器增廣，通過仿真發(fā)現(xiàn)這種方法能夠有效的抑制窄帶隨機擾動，提高定位精度。同時分析了LQG控制器權(quán)重矩陣的選取及過程噪聲協(xié)方差對控制效果的影響。仿真表明采用引入噪聲模型的LQG控制器不僅具有良好的解耦和跟蹤能力而且對給定帶寬的窄帶隨機擾動有很好的抑制效果。

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附本文中用到的相關(guān)數(shù)據(jù)：