水中聲波非線性相互作用的聲吸收聲研究

楊德森，蘭朝鳳，時勝國，江 薇

(哈爾濱工程大學 水聲技術國防科技重點實驗室，哈爾濱 150001)

單列小振幅聲波在線性介質中傳播，除相位變化和振幅衰減之外，波形并不發生變化，但當聲雷諾數增大，聲波的傳播規律會偏離線性聲學規律，不滿足疊加原理，此時介質中除基波頻率成分外，還會產生各階諧波和其它頻率成分的聲波，結果是波形逐漸畸變，基波部分轉移到諧波或其它頻率成分上去，導致基波能量減小。近年來多列聲波的相互作用引起了很多學者的關注。黎曼-厄恩［1-2］針對流體中的一維非線性波給出了嚴格聲波解，之后貝塞爾進行修改，給出了聲波傳播基波的幅度顯式解，Fenlon［3-4］對此解引入多頻聲波相互作用，指出如果適當控制兩列聲波的初始位相和振幅，就可能在某些接收點上抑制有限振幅聲波產生的多階諧波，從而使其傳播畸變有明顯的降低。文獻［5-6］討論了大振幅的低頻聲波與高頻弱聲的相互作用問題，給出了低頻強聲抑制高頻弱聲的研究成果。文獻［7-9］研究了大振幅波對弱波的放大問題。文獻［10］研究了聲波的聲吸收聲問題。文獻［10］中利用譜分解方法研究水介質中兩波的非線性相互作用理論，討論了超聲中低頻波能量的變化問題。聲波之間的相互作用導致聲波能量的變化規律可借用聲學名詞聲吸收聲解釋，即聲波在傳播過程中聲波之間發生非線性相互作的結果，導致聲波能量(幅度)發生不可逆轉的減小。本文以伯格斯方程為基礎，以文獻［10］的譜分解理論為指導推導了兩列聲波相互作用的數學解析式，討論了整倍頻聲波之間信號波與泵波發生非線性變參數相互作用后聲波在間斷距離內的傳播特性。選取不同的參數進行計算機仿真，給出了兩列聲波相位關系、泵源幅度大小、泵源頻率、傳播距離對聲吸收聲效果的影響。

1 聲波非線性傳播的諧波分析

頻率為ω的聲波在非線性介質中傳播時，如果聲雷諾數(Re=ρ0c0v/bω)較大，波形會發生畸變，與此同時滋生高次諧波，最終形成沖擊波。假設在x=0處聲源的質點振速為:

黎曼-厄恩肖給出t時刻x點的擾動通解為［1］:

Bessel-Fubini經過進一步推導，將此隱函數解寫成顯函數形式為:

式中:σ =M0βkx，M0=u0/c為聲馬赫數;u0、c、β、k分別為質點振速、聲速、非線性系數和聲波波數。式(3)僅在0≤σ＜1范圍內適用。根據式(3)對單列聲波產生的諧波傳播規律進行仿真分析。仿真參數:聲源級為203 dB，頻率為10 kHz，非線性參數為3.6。圖1中橫坐標z為聲波傳播的歸一化距離，縱坐標為諧波歸一化幅值，n為諧波階數。

圖1 諧波曲線Fig.1 Harmonic curve

圖1表明:隨傳播距離的增加，諧波幅度加大，基波幅度減小，說明，聲波在非線性傳播過程中，基波能量由非線性效應不斷向高次諧波轉移，階數越高轉移的能量越少，在間斷距離處轉移的能量最大，非線性累積效果達到最強。

2 兩列聲波的非線性相互作用

2.1 兩列聲波相互作用累積效果分析

在理想的非線性介質中，當聲雷諾數Re?1時，可只考慮介質的非線性效應，忽略耗散效應，在間斷形成前，聲波解滿足Burgers方程:

假設在x=0處有頻率為ω1、ω2兩列聲波，質點振速為us=u1sin(ω1τ+φ1)，up=u2sin(ω2τ+φ2)，則x=0處振動疊加形式為［11］:

式中，u1，u2和φ1，φ2分別為弱信號波和泵波的初始幅度和相位。

下面討論兩列整倍頻聲波在聲場中的相互作用情況。為研究方便，使頻率關系滿足ω2=Nω1，N≥2;幅度關系滿足u1/u2?1。由此式(5)變為:

為簡化計算，引入無量綱參數［12］得:

式中:U=u/u2，D=u1/u2，φ0= φ2-Nφ1，z=x(βω2u2)=x/x0，x0為有限振幅聲波傳播的間斷距離。

在式(7)條件下，式(5)的振速隱函數解為［12］:

為簡化計算引入新變量ξ=ω1τ+Uz，則式(8)簡化為:

式(9)又可改寫為以下形式:

對(10)式求導數有:

間斷點的位置是描述聲波非線性累積效應的重要聲學參量?？捎脽o量綱距離z0來表示有限振幅聲波非線性畸變的累積速度，在此距離上波段面發生間斷。本文僅討論兩列聲波頻率比為2，初始相位差φ0=0和φ0=π時聲波非線性傳播過程間斷面的位置(聲波累積速度)，據式(11)計算得［7］:

利用式(12)分析聲波隨傳播距離的非線性累積效應。仿真參數:max(u2/u1)=100，min(u2/u1)=1。圖2中橫坐標為信號波與泵源幅度比值，縱軸為非線性累積速度。

由圖2知:當二者Δφ0=0時，隨著u1/u2的增大，非線性累積速度逐漸減小，表明二階諧波幅度的增大與有限幅度聲波時間斷面的非線性畸變放大之間存在著直接關系。當 Δφ0=π 時，幅度比u1/u2∈(0.01，0.18)時二階諧波畸變增大(隨著二者幅度比的增大非線性的累積效果增強)，在(0.18，1.414)達到最大，隨后單調減小，與Δφ=0時變化趨勢相同。從圖中看出，無論相位差 Δφ=0，還是 Δφ=π，幅度比u1/u2=0.1時，非線性的累積效應值都很大，由此，下面討論兩列聲波相互作用時取幅度比為10。

圖2 非線性累積速度與幅度比的關系曲線Fig.2 The relationship between the cum ulative rate of non-linear and the ratio of magnitude

2.2 兩列聲波相互作用后的幅值解

式(9)中，由于U(ξ)是一個周期為2π的函數，所以可對其進行傅里葉變換［10］:

把式(10)代入式(13)得:

式(14)經運算后變為:

對式(15)的積分表達式進行指數分解:

分解后式(15)變為:

式(16)的積分部分:

為了Ak(z)≠0，需要滿足l+qN-k=0，所以泵波間斷形成前，信號空間譜分量的動力學特性可寫為關于q級數和的形式:

因此非線性相互作用后信號各階諧波幅值U(τ，z)可表達為［7］:

式中:k為非線性效應產生的諧波階數:

取k=1，則一階諧波幅度的表現形式為:

考慮到0≤z＜1，D≤1，N≥2的限制，因此只考慮s=0，1時的擴展項，為討論信號的相位關關系對幅值的影響，分兩部分寫為:

式中，第一項是兩列聲波的相位無關表示，第二項是相位相關表示。為討論方便，將式(20)表示為:

式中，Ux，Uw項分別代表泵波與信號波相互作用后其幅值與初始相位的相關項和相位無關項。

3 仿真分析

為研究聲波之間非線性相互作用后各參數對聲波能量變化影響，進行了以下仿真分析。以下參數在各個仿真中都相同，不同的參數在仿真圖中說明。信號波為183 dB，頻率為10 kHz;N為泵源與信號波頻率比，比值在圖中標出;z為歸一化距離，水介質非線性參數為3.6。圖中縱坐標BEs代表波相互作用后能量減去作用前能量的差值。

3.1 仿真一

研究相位對兩列聲波相互作用后聲波能量的影響。仿真參數:泵源為203 dB，頻率為N;圖3(a)考慮Ux和Uw兩項，圖3(b)僅考慮Uw項，給出了他們在間斷距離之內信號波能量變化曲線;圖3(c)給出Ux引起聲波幅值的變化曲線。

圖3 信號能量變化曲線Fig.3 The curve of signal energy variations

圖3的三幅仿真結果表明，隨著頻率比N的增大，信號波能量變化量減小，當N=2時，信號波能量變化最大，間斷距離處為3.15 dB，此處考慮相位關系與否波能量有2.8 dB落差;當N≥3時，從圖3(c)中得出，計算誤差小于0.014%，由此可忽略相位關系對信號波能量變化的影響。

表1 等間隔距離z的信號能量值Tab.1 Signal energy of equal distance z

表2 表1中數據的相對衰減量Tab.2 The relative attenuation of data

表2 中 Δz1，Δz2，Δz3為相鄰歸一化距離 0，0.3，0.6，0.9兩兩之間的距離差，表1中的數據表明隨著傳播距離的增加，信號衰減量值逐漸增大，但是隨著頻率比的增大，信號能量衰減量減小;表2表明，隨著距離的增加聲能量衰減不是線性的，距離越遠相對衰減量越大，非線性累積效應充分展現。

3.2 仿真二

由聲波之間非線性相互作用引起的聲吸收，可理解為能量轉移到組合頻率ω2±ω1或者是諧頻中去了，從而信號波幅度減少，能量降低?？捎梅蔷€性吸收系數大小來描述這種聲吸收聲現象:

仿真分析非線性吸收系數α隨z的變化規律。仿真參數:泵源的聲源級為203 dB，頻率為N。縱軸為吸收系數，alpha_x和alpha_w代表與相位相關聲吸收和無關聲吸收。

圖4 非線性吸收系數隨傳播距離變化曲線Fig.4 Nonlinear absorption coefficient varies with the propagation distance

由圖4知:當N=2時，非線性吸收系數最大，隨著N的增加，非線性吸收系數不斷減小，可以認為波與波之間吸收變小，能量轉換減弱。

3.3 仿真三

研究聲源級對聲吸收聲的影響。仿真參數:泵波聲源級為143.5 dB到243.5 dB，取等幅變化，頻率為N，測量距離取在泵源的間斷距離上。

圖5 信號能量隨高頻聲源級變化曲線Fig.5 Wave energy varies with the pump signal source level

圖5仿真結果表明:當高頻聲波聲源級大于163.5 dB時，兩者非線性相互作用后低頻聲波能量變化值均隨著頻率比的增大減小，且隨頻率比的增大，減小量降低;隨著高頻聲源級的增大，信號波能量降低量逐漸減小，當高頻聲波聲源級達到一定值時，出現了聲飽和現象，信號波能量變化值幾乎不變;當高頻聲源級小于163.5 dB時，不論頻率比N為多少，低頻信號在相互作用后能量降低量值均低于16.75 dB，頻率比為2時最大值可達到53.54 dB。分析表明，高頻弱聲與低頻強聲相互作用后低頻聲能量變化值比高頻強聲與低頻弱聲相互作用后低頻聲能量變化值大，說明高頻弱聲吸收低頻強聲的效果很好，可在某些點上達到了幾十個dB的效果。

圖6 信號能量隨N變化曲線Fig.6 Signal energy varies with N

圖7 信號能量隨N變化曲線Fig.7 Signal energy varies with N

3.4 仿真四

研究N不同時聲吸收聲的效果。仿真參數:泵源聲源級為203 dB，224 dB，229 dB，233 dB，頻率為N。

為了清晰觀測圖6中N不同時聲波能量變化值，把箭頭部分放大，獲得圖7。

圖6及圖7的小圖仿真結果表明:隨著頻率比N的增大，聲吸收聲的量值減小;泵源聲源級越大，聲吸收聲量值越小，且當高頻泵波與低頻弱信號波聲源級相差20 dB以上時，泵波聲源級對信號能量變化值影響不大。

4 結論

對聲波之間變參相互作用后的低頻聲能量轉移規律進行分析，結果表明:當高頻泵源聲源級大于低頻弱信號波時，弱信號波能量降低與高頻泵源聲源級的增大成反比，與高頻泵源的頻率成反比，在泵源間斷距離處且N=2時，弱聲波能量下降達到最大3.15 dB;當高頻聲源級取定值，N≥3時兩列聲波相互作用的初始相位對聲吸收聲的影響可忽略不計;當低頻強聲波與高頻弱聲波非線性相互作用，低頻聲波能量下降最大值為53.54 dB，說明高頻弱聲與低頻強聲相互作用效果強于高頻強聲與低頻弱聲效果;非線性隨著傳播距離的增加具有累積效應，間斷距離處達到最強。

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