電磁軌道發射狀態下導軌的動態響應

田振國，白象忠，楊 陽

（燕山大學 建筑工程與力學學院，河北 秦皇島 066004）

電磁軌道發射裝置在軍事和工業領域中有巨大的應用潛力，但是，一些難以克服的問題卻阻礙了它從實驗室走向實際應用的進程［1］。例如，為達到高速重復發射的要求，該如何克服導軌發射過程中導軌內側燒蝕的問題?從而達到高速重復發射的要求；如何實現小體積大能量的發射要求?等等。目前國內外學者一方面著眼于改善導軌或導軌內側的材料，或者通過采用新的導軌與電樞間的導電方式來避免導軌燒蝕；另一方面，通過計算導軌發射過程中導軌的動態響應及導軌的應力應變狀態，來分析導軌發射狀態下的受力及變形規律［2］。文獻［3］將導軌簡化為彈性地基梁，并假設電樞勻速通過導軌的情況下，討論了導軌長度等參量對共振速度的影響。文獻［4］研究了發射狀態下導軌的彈性波，并討論了電樞臨界速度與接觸壓力之間的關系。文獻［5］通過數值模擬的方法，研究了等離子體的粘滯阻力和惰性阻力對電樞運動的影響。但是，這些研究都沒有考慮電樞對導軌作用力和電樞的變加速運動的特征。到目前為止，對電樞加速運動狀態的導軌響應的研究，仍然十分少見。

電磁軌道發射器在發射過程中，當電流通入導軌后，電樞受到強大的推力作用，將沿導軌作變加速運動。由導軌間電磁場分布及通入電樞的電流強度值，可以得到電樞在發射過程中所受到的推力，進而得到電樞的運動方程；再通過計算導軌間相互作用的斥力與在焦耳熱作用下電樞的膨脹量，則可得到導軌上的移動荷載值及其變化規律。考慮導軌發射裝置的實際結構，將簡化為彈性地基梁的導軌控制方程進行Fourier變換，便可導出發射過程中導軌的動態響應方程及其解。通過算例，分析了導軌幾何參數、通入電流的強度及外包層的彈性特征等量對導軌動態響應的影響，從而可為發射軌道的設計提供理論計算的依據。

1 導軌的動力學控制方程及其求解

電磁導軌發射裝置結構如圖1所示。電流由一側導軌流入，流經電樞，然后由另一側導軌返回；電樞在兩導軌間產生的強磁場受到電場力與洛侖茲力作用后，沿導軌滑動。在此過程中，導軌受到導軌間相互作用的斥力、電樞作用在導軌上的壓力和導軌周圍固定裝置的彈性支撐反力的作用，因此，可將導軌看作如圖2所示的彈性地基梁，其動力學控制方程為［6］：

式中：w（x，t）為導軌撓度，q（x，t）=q1（t）［1－H（xl（t））］+q2（t）H［a2－（x－l（t））2］為作用在導軌上的移動荷載，EI為導軌的抗彎剛度，k為地基彈性系數，ρ為導軌材料的質量密度，h、d分別為導軌的厚度和高度。q1（t）為導軌間相互作用的斥力集度，q2（t）為電樞作用在導軌上壓力的集度，2a為電樞沿導軌方向的長度，l（t）為t時刻電樞沿導軌移動的距離，H（xl（t））、H［a2－（x－l（t））2］均為 Heaviside階躍函數。

圖1 導軌發射裝置簡圖Fig.1 Schematic of rail launcher

將式（1）進行關于x、t的二維 Fourier變換，得［7］：

其中，α，β為二維Fourier變換中的積分變量。則：

將式（3）進行 Fourier逆變換即可得到導軌撓度，即：

式（4）即為導軌發射過程中導軌撓度w（x，t）的表達式。

圖2 導軌發射狀態的受力簡圖Fig.2 Schematic of loading at launching state

2 發射過程中導軌及電樞的受力分析

2.1 導軌發射過程的機電模型

將導軌發射器看成是電源的一個負載，導軌為沿其長度分布的電阻和電感。在正常發射狀態下，發射器后堂電壓為［8］：

其中：L'r為導軌電感梯度，i（t）為流經導軌的電流強度，v（x）為電樞速度，R（x）為系統電阻。

考慮到導軌的趨膚效應及系統電感，在平頂脈沖電流激勵下，導軌發射裝置的負載電阻和電感分別為：

根據系統能量，可計算出電樞沿導軌移動距離為［8］：

采用迭代法，把放電電壓作為初始量，由式（6）～式（8）可計算出系統電流強度、電感、電阻、電樞移動距離以及趨膚深度等量，根據這些參量得到新的后堂電壓。如此反復，就可以計算出發射過程中實時的電流強度、系統電阻、電感、電樞的移動距離。

2.2 電樞推力的計算

如圖3所示，根據通入導軌的電流強度i（t）可以得到導軌間任一點A（xA，yA，zA）的磁感應強度，再考慮到電樞的電流密度，則可計算出電樞上任一點受到的洛侖茲力［9］。由此，對其沿整個電樞體積進行積分，便可得到電樞受到電磁驅動力沿軌道方向的合力。隨著電樞的移動，整個電流通路的電阻也將發生變化。如果外加的是穩恒電源，那么通入軌道的電流強度、導軌間的磁場、流經電樞的電流密度、電樞受到的推力都將是時間的變量。在圖3所建立的坐標系中，電樞受到的推力經推導為：

其中：b為兩導軌間距離，μ0為真空磁導率。

圖3 坐標系的建立Fig.3 Establishment of coordinate

2.3 兩導軌間相互作用斥力的計算

導軌通入電流后，導軌間產生磁感應強度為B的電磁場，由安培力計算公式 dF=i（t）dl×B［9］，經推導可得電樞經過的導軌部分導軌間的斥力的集度為：

2.4 電樞與軌道間接觸力計算

當電流流經電樞時，由于焦耳熱效應，電樞內勢必產生熱量。因電磁軌道發射裝置通常采用電容單次放電的形式，可近似地認為電流在電樞內均勻分布。如果僅僅考慮電樞表面與外部的熱交換——即電樞所發出的熱量：一部分用于增加電樞的焓，另一部分則損失于外界——電樞溫度就會沿電樞y方向分布為［10］：

假設兩側軌道限制了電樞的熱膨脹，且沿y方向取平均溫度作為電樞應變的計算依據，由于作用時間非常短暫，可忽略溫度隨時間的變化，則得電樞的熱應變為［11］：

式中αT為電樞材料的線膨脹系數。電樞作用在軌道上荷載的集度為：

其中Ed為電樞材料的彈性模量。

3 發射過程中導軌的動態響應

當導軌通入強電流后，電樞將沿導軌變加速向前滑動，電樞滑動過的導軌部分受到相互作用的斥力和電樞對導軌的作用力。考慮式（1）、和式（2）經Fourier變換有：

可得電樞沿軌道滑動時導軌撓度表達式為：

再考慮到式（10）、式（13）則可得導軌發射過程中導軌的動態響應，應用Matlab軟件編制程序即可得到導軌撓度的數值解。

4 算例分析

如圖1所示，取導軌的長度為2 m，高度d=20 mm，厚度h=20 mm，兩導軌間距離b=20 mm；銅質導軌的質量密度為ρ=8 900 kg/m3，彈性模量E=100 GPa，泊松比 ν=0.3，電導率 σ =5.88 ×107（Ω·m）－1；導軌電感梯度L'r=0.451 24 μH/m。系統初始電阻R0=0.001 5 Ω，初始負載電感L0=0。鋁質電樞沿導軌方向長度2a=20 mm，厚度為20 mm，高度為20 mm，電導率為 σD=3.6 ×107（Ω·m）－1，質量密度為 ρd=2 700 kg/m3，線膨脹系數 αT=2.35 ×10－5（℃）－1，熱傳導系數 λT=237 W/（m·℃），彈性模量Ed=100 GPa，表面放熱系數αF=500 W/（m2·℃）。系統放電電壓U0=800 V，真空磁導率 μ0=1.256 ×10－6H/m，地基彈性系數k=10 GPa，導軌兩端自由。

圖4 導軌撓度隨時間變化規律Fig.4 Variation of rail’s deflection with time

圖5 電樞移動距離隨時間變化曲線Fig.5 Curves of armature moving distance with time

圖4為電磁軌道發射過程中導軌撓度的變化規律。從圖中可以看出導軌不同位置的撓度隨著電樞移動的動態響應。圖5為在不同放電電壓情況下，電樞在導軌中的移動情況，可見通入電壓越高，發射時間越短。當放電電壓U0=1 000 V時，電樞移動至發射端口只需 1.06 ms。

圖6為在不同放電電壓情況下電樞沿導軌滑動速度的變化曲線。圖中可見，當放電電壓為U0=800 V時，出口彈丸出口速度大約為3 013 m/s。圖7為距發射端1.2 m處導軌撓度隨電樞滑動位置的變化曲線。從圖7中可以看出僅考慮導軌間斥力作用時，導軌發射前段此位置的撓度很小；當電樞到達1.2 m處時，此處撓度急劇增大，電樞經過后撓度緩慢變小。當僅考慮電樞對導軌作用時，導軌發射前段此位置撓度很小；當電樞到達1.2 m處時，此處撓度急劇增大，且影響程度比導軌間的斥力大得多；可當電樞經過此處后，此處的撓度迅速減小，這也正反映了兩種載荷的不同性質。圖8反映了導軌不同位置的撓度隨電樞移動距離的變化而變化。不難看出：圖中不同位置的撓度出現峰值的時間不同。當電樞滑動至相應位置時，撓度出現峰值，且不同位置的峰值是不同的。這是由于電樞移動過程中，系統電阻和電感變化導致電流密度發生變化造成的。

圖6 電樞速度隨電樞移動距離變化曲線Fig.6 The velocity curves of armature versus the armature moving distance

圖7 導軌1.2 m處撓度隨電樞移動距離變化曲線Fig.7 Variation of deflection at 1.2m of rail versus the armature moving distance

圖8 導軌不同位置撓度隨電樞移動距離變化曲線Fig.8 Deflection of different place versus the armature moving distance

圖9 放電電壓對導軌1.2 m撓度的影響Fig.9 The effect of discharge voltage on deflection of rail 1.2 m

圖10 導軌厚度對撓度的影響Fig.10 The effect of rail thickness on deflection of rail

圖11 地基彈性系數對導軌撓度的影響Fig.11 The effect of elasticity coefficient on deflection of rail

圖9、圖10、圖11分別討論了距發射端1.2 m處導軌撓度與放電電壓、導軌厚度以及地基彈性系數的關系。可見，此處導軌撓度的峰值總是在電樞經過該處時出現。地基彈性系數越小，放電電壓越大，其撓度峰值也越大。這是由于電壓增大，電樞膨脹量變大，施加在導軌上的載荷增大，導軌約束變弱而導致的。導軌厚度變化影響電流密度值、導軌間磁場以及導軌的抗彎剛度。然而，就綜合影響來看，導軌剛度的增加是導致其撓度變小的主要原因。

5 結論

由計算結果可見：

（1）導軌的動態響應與通入電流的強度、導軌的尺寸、外包層的剛度等參數有關。導軌間作用與電樞對導軌的作用相比，顯然電樞對導軌動態響應的影響起主要作用。

（2）導軌撓度的最大值具有隨著電樞移動而移動的特征。

（3）增大外包層剛度，或者降低放電電壓，均可以有效地減小導軌的變形。

從實際需要考慮，欲達到出口高速度就必須增大電壓，減少系統電阻，改善電樞材料的力學及傳熱學性能。例如選擇導電性能良好而熱漲系數和質量很小的材料作電樞，將是提高出口速度、降低導軌變形的有效方法。最佳參數的選擇，都可以通過理論分析和數值計算得到。

［1］李立毅，李小鵬.電磁發射的歷史及發展趨勢［J］.微電機，2004，37（1）：41－44.

［2］范長增，王文魁.發展中的電磁軌道炮［J］.燕山大學學報，2007，31（5）：377 －386.

［3］Jerome T T，Wei S.Dynamic response of cantilevered rail guns attributed to projectile/gun interaction-theory［J］.IEEE Transactions on Magnetics，2007，43（1）：207－213.

［4］ Anthony J，Johnson F C，Moon.Elastic waves and solid armature contact pressure in electromagnetic launchers［J］.IEEE Transactions on Magnetics，2006，42（3）：422 －429.

［5］楊玉東，王建新.電磁炮發射原理數值建模與分析［J］.火炮發射與控制學報，2008（4）：9－13.

［6］謝偉平，王國波.移動荷載作用下軌道系統的動力特性分析［J］.鄭州大學學報，2003，24（1）：24－27.

［7］華中理工大學數學系.復變函數與積分變換［M］.北京：高等教育出版社，2002：180－206.

［8］王 瑩，肖 峰.電炮原理［M］.北京：國防工業出版社，1995：17－88.

［9］俎棟林.電動力學［M］.北京：清華大學出版社，2006：48－136.

［10］米海耶夫M A.傳熱學基礎［M］.北京：高等教育出版社，1958：338－378.

［11］白象忠，田振國.板殼磁彈性力學基礎［M］.北京：科學出版社，2006：51－84.