多目標微分進化改進算法及應用

劉長良 于 明

(華北電力大學控制科學與工程學院，河北 保定 071003)

多目標微分進化改進算法及應用

劉長良 于 明

(華北電力大學控制科學與工程學院，河北 保定 071003)

微分進化算法作為一種新型、簡單、高效的并行隨機優化算法，近年來在許多領域得到了應用，多目標微分進化便是其中的一種。針對傳統多目標微分進化算法中微分進化控制參數不能自適應調整、算法容易出現早熟和退化的現象，采用慣性權重參數自適應調整的控制策略以及改進的擁擠距離算法對多目標微分進化進行改進，并將改進后的算法用于控制系統PID參數優化仿真試驗。結果表明，改進后的多目標微分進化算法具有較好的收斂性和分布性以及較高的搜索效率。

多目標 優化算法 微分進化 自適應 參數優化 PID

0 引言

控制系統PID參數優化屬于多目標優化的問題，因其各個目標函數之間存在相互競爭的關系，采用單目標優化往往不能統籌兼顧，從而造成控制質量的下降［1］。雖然目前國內外廣泛采用傳統工業過程調節PID控制方法，但對控制器參數進行人工整定不僅需要熟練的整定技巧和經驗，而且當被控對象特性發生變化時，控制器參數沒有相應的自適應調節能力。

多目標進化算法(multi-objective evolutionary algorithms，MOEAs)的研究始于 20 世紀 80 年代［2］。在其研究過程中，由Deb等人提出的NSGA-Ⅱ算法以及由Zitzler等人提出的SPEA-Ⅱ算法應用較多［3］。自Rainer Storn和Kenneth Price于1995年提出了一種更有效、更簡便的微分進化算法(differential evolution，DE)以來，許多學者致力于將其擴展應用到多目標進化領域的研究中，先后出現了PDE、PDEA、MODE和DEMO 等算法［4-7］。

以上這些多目標進化算法均旨在追求收斂性和多樣性這兩個優化指標，并且這些算法基本上都用到了以下兩種策略:①通過構造Pareto候選解集保留所獲得的非劣解，并通過適當的措施(空間分布密度信息)來維持解的多樣性;②依據解集中個體間的Pareto支配關系和空間密度信息來確定個體的優劣［8］。但由于基本微分進化算法存在控制參數不能自適應調整的問題，參數的人為設定難以使尋優效果達到最佳;算法中的貪婪選擇策略導致選擇壓力過大，并且當種群中決策變量中的某一維趨于相同時，微分向量為零［9］。這些因素都使得種群產生“早熟”問題。

1 基本微分進化算法

基本微分進化算法(DE)是一種基于種群優化的進化算法，它在求優過程中具有高效性、收斂性和魯棒性等優點［10］，適用于無約束連續變量的全局優化。

基本微分進化算法的進化過程包括變異、交叉和選擇三個基本操作。以一個規模為NP的種群為例，其中的個體均為N維向量，第i個個體定義如下:

1.1 變異操作

在第G代中，目標個體向量為Xi，G，而變異后的個體向量為Vi，G。變異操作過程有多種方法，本文采用如下變異策略。

式中:DE為算法名稱;rand為隨機函數;r1、r2、r3為介于1和NP之間互不相同的隨機整數;F∈(0，1)，為變異算子，用于控制變異的幅度，即差值的放大倍數。

1.2 交叉操作

為了維持種群個體的多樣性，在此引入交叉操作的方法，即由目標向量和變異向量不同基因位的數值，重新組合產生試驗向量 Ui=(u0，i，…，uN-1，i)T。交叉操作的產生方法具體如下。

式中:G代表“第 G 代”;rand為隨機函數，randj［0，1］為在0和1之間產生的一個隨機數，j=0，1，…，N-1;jrand∈［0，N-1］;CR為交叉算子且為介于0和1之間的連續實數，如果CR的值較大，DE的收斂速度會加快;如果CR的值較小，DE的魯棒性會更好，但會增加問題的執行時間。式(3)是二項式交叉算子，許多文獻經常采用這種形式。

1.3 選擇操作

新一代個體的產生方式為:

式中:f()為待優化的目標函數。在此過程中如果新產生的子代個體的適應度比父代強，即子代個體更優良，那么Ui，G將取代其相應的父代個體進入種群，參與下一代的進化。

2 改進的多目標微分進化算法

2.1 多目標優化問題

在多目標優化問題(multi-objective problem，MOP)中，某個目標性能的提高常常是以損害其他目標為代價，因而只能在多個目標之間進行折衷處理，以達到整體最優。在MOP中，常用定義如下。

① Pareto占優

A＜B(A占優B)，當且僅當:

式中:A和B為決策空間中兩個不同的個體。

② Pareto最優或Pareto非劣

A是Pareto最優解(非劣解)，當且僅當:

式中:d為向量維數。

所有Pareto最優解的集合稱為Pareto最優解集;Pareto最優解對應的目標函數值稱為非劣目標向量;所有非劣目標向量形成的區域稱為Pareto前沿。多目標優化問題的求解實際上是找到盡可能多的Pareto最優解，且使其相應的目標向量在Pareto前沿中均勻分布［11］。

2.2 改進的多目標進化算法

2.2.1 控制參數調整策略

在微分進化算法中，控制參數的設置與調整是一個重要且困難的問題，目前還沒有一種慣行的控制參數設置與調整機制。針對上述問題，許多文獻提出了控制參數自適應調整的策略，如采用模糊自適應的參數調整方法和依據群體適應度方差對控制參數進行調整的方法等［12-13］。

本設計采用粒子群算法中慣性權重動態調整思想來動態調整DE中的變異因子F和交叉因子CR［14］。在搜索的初始階段，由于個體隨機分布在解空間中，因此，向量差值較大，這就要求算法的控制參數F相對小一些。但隨著種群的不斷進化，個體逐漸靠近最優個體，算法中變異操作產生的差值擾動會逐漸變小，這就要求此時的F相對大一些，使得變異操作后的向量能夠開拓新的搜索空間。同樣，對于交叉因子CR也是如此?；谝陨戏治?，本文采取的控制參數調整策略為:

式中:Fmax和Fmin分別為變異因數F的最大值和最小值;lmax和l分別為設定的最大進化代數和當前的進化代數;CRmax和CRmin分別為交叉因數CR的最大值和最小值。

2.2.2 擁擠距離算法改進

NSGA-II算法依據同一個Pareto非劣排序等級中擁擠距離大的個體被保留的原則進行選擇操作。設個體B的前后相鄰兩個個體分別為A和C，擁擠距離(稀疏度)DC(B)定義如下:

式中:fi(A)與fi(C)分別為個體A和個體C在第i個目標函數上的值。邊界個體的擁擠距離定義為無窮大，保證無條件進入下一代。擁擠距離計算示意圖如圖1所示。

圖1(a)～圖1(c)為兩目標優化問題，A、B、C處于同一個Pareto非劣排序等級。很明顯，個體B在圖1(a)中的稀疏度均優于圖1(b)與圖1(c)，但按原始的擁擠距離算法不能判別出個體B在圖1(a)和圖1(c)中的優劣。這樣，隨著進化代數的增加，會導致解的分布性和多樣性劣化［11］。由此可見，這種算法存在較大的局限性。

改進后的擁擠距離算法示意圖如圖1(d)所示，設O為A和C的中心點。改進的擁擠距離DC(B)計算方法如下:

式(10)反映了個體稀疏度既與其在目標函數上鄰域的大?。踗i(A)-fi(C)］有關，又與分布均勻程度［fi(B)-fi(O)］有關，由此判斷出個體B在圖1(a)中的稀疏度要優于圖1(c)。

圖1 擁擠距離計算示意圖Fig.1 Calculation of the crowded distance

改進的多目標微分進化算法流程圖如圖2所示。

圖2 改進算法流程圖Fig.2 Flowchart of the improved algorithm

3 仿真研究

3.1 過熱蒸汽溫度優化模型

火電廠過熱蒸汽溫度對象具有大慣性、大延遲、非線性和時變的特性。影響過熱蒸汽溫度的因素有很多，如機組負荷、火焰中心位置、給水溫度、煙溫和流速、減溫水流量等［15］。目前，通常采用的串級汽溫閉環控制系統結構如圖3所示。

圖3 串級汽溫閉環控制系統結構Fig.3 Structure of the cascade closed-loop steam temperature control system

圖3中，內回路為PI控制器，外回路為PID控制器，W1(s)為惰性區傳遞函數，W2(s)為導前區傳遞函數，d1和d2分別為輸出測量干擾和控制量干擾，yr為給定值，y為輸出測量值。

某一超臨界600 MW直流鍋爐高溫過熱器在75%負荷下，主汽溫對噴水擾動的動態特性為［16］:

優化工作的任務就是應用改進的多目標微分進化算法對PID控制器的比例Kp、積分Ki和微分Kd在其可行域空間內進行尋優，使系統能穩定運行，且上升時間tr、超調量σ(%)和調節時間ts的組合達到最優。顯然，這三種性能指標是相互競爭的關系。只有采用多目標優化，才能克服傳統單目標方法中的性能退化問題，以達到綜合最優的控制效果。

3.2 改進算法仿真研究

在本算例中，Kp、Ki和Kd的取值范圍分別為［0.001，4］、［0.001，2］和［0.001，50］。內環為 PI調節，控制器參數固定為比例增益Kp2=10、積分增益Ki2=0.1［16］。設定汽溫最大允許超調量為5%，系統穩定時間不大于600 s，上升時間不超過300 s，仿真時間為2 500 s。

改進的多目標微分進化算法的參數設置為種群規模100、進化代數500、交叉因子下限CRmin=0.1、上限CRmax=0.9、變異因子下限Fmin=0.1、上限Fmax=0.9。

經過500代的進化后，產生多組Pareto最優解，決策者在實際運行中只能從諸多Pareto最優解中選取一個作為最終方案。本文依據文獻［11］中的模糊集理論方法來確定最優的折衷解。最終尋優結果為:

對于輸出主蒸汽溫度單位階躍響應，應用改進的多目標微分進化算法對PID控制器進行參數整定后，得到的幅值響應與文獻［16］粒子群算法和單目標優化得到的結果相對比，得到的主汽溫階躍響應曲線如圖4所示，PID及階躍響應性能參數如表1所示。

圖4 主汽溫階躍響應曲線Fig.4 Step response curves of main steam temperature

表1 PID及階躍響應性能參數Tab.1 Parameters of PID and step response performance

從表1可以看出，應用改進的多目標微分進化方法得到的曲線超調量明顯小于應用單目標優化和粒子群算法得到的超調量，三者的峰值時間相差不多，但多目標微分進化方法仍優于后兩者;然而對于調節時間來說，應用改進的多目標微分進化方法得到的結果卻不及單目標優化方法。究其原因，正是多目標優化的特性所致，即一個優化目標性能的提高必然以其他性能劣化為代價。

總體來看，應用本文提出的改進的多目標微分進化方法得到的系統具有良好的魯棒性，且能夠仿真出超調量很小的響應曲線，調節時間和峰值時間也相對令人滿意。

4 結束語

本文將微分進化算法與多目標優化相結合，并對傳統算法的不足進行了改進。將改進后的多目標微分進化算法應用于主汽溫PID控制器參數優化設計，實現了主汽溫的多目標優化控制。從仿真結果可以看出，使用改進后的多目標微分進化算法優化得到的最優參數對主汽溫進行控制，其階躍響應過程表現出較好的動態特性和穩態特性，超調量、上升時間和調節時間三個目標函數均得到了較好的優化，獲得了最優的綜合控制效果。

由此可見，即使對于火電廠過熱蒸汽溫度對象這種具有大慣性、大延遲、非線性和時變特性的復雜系統，改進的多目標微分進化算法也能獲得良好的優化效果。因此，進一步探索和研究多目標微分進化算法對于這種需進行多目標優化的復雜控制系統具有極其重要的意義。

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Improved Multi-objective Differential Evolution Algorithm and Its Application

As a new type of simple and efficient parallel stochastic optimization method，the differential evolution algorithm has been applied in many fields in recent years and multi-objective differential evolution is just one of them.In traditional multi-objective differential evolution algorithm，the differential evolution control parameters cannot be adaptively adjusted，thus the algorithm is easy to be precocious and degraded.By adopting the control strategy of inertia weight parameter adaptive adjustment and the improved crowding distance algorithm，the multiobjective differential evolution is improved.The improved algorithm is used in simulation experiment for parameter optimization of PID control system.The result indicates that the improved algorithm features better convergence，distribution and high search efficiency.

Multi-objective Optimization algorithm Differential evolution Self-adaptive Parameter optimization PID

TP18

A

國家863計劃基金資助項目(編號:2007AA041106)。

修改稿收到日期:2011-03-30。

劉長良(1966-)，男，2002畢業于華北電力大學自動化專業，獲博士學位，教授，博士生導師;主要從事火電機組熱工系統建模與控制方面的研究。