雙光柵衍射在成像中色散與合成的實驗研究

李柯楠，李 翔，周 進

（南京大學物理學院，南京210093）

1 引 言

光柵作為一種常用的衍射光學器件，被廣泛應用于光學衍射的各個領域：如分光和攝譜等.用白光作為光源，可以在傅里葉頻譜面上觀察到色散的譜，這表明光柵具有色散效應[1].根據光路的可逆原理，如果色散的光逆向返回，那么光柵就可以起到消色散的作用，即光柵匯合光譜特性，它與光柵的色散特性正好相反.基于上述考慮，綜合利用光柵的色散特性和匯合光譜特性，可以在第一塊光柵之后再加上另一塊光柵，如果滿足一定條件，便可以得到沒有發生色散的像，即利用光柵的色散效應和匯合光譜效應實現無色散的雙光柵成像[2].本文對雙光柵的這一應用進行了探討與研究.

2 基本理論

已知光柵方程

其中：θ為入射角，βi為衍射角，k為衍射級數.于是對于同一k級的不同λi，衍射角有不同的值βi，這表明了光柵的色散特性，如圖1（a）所示.

此時假設這些k級衍射光若再以βi為入射角反向通過相同的光柵，利用光柵方程得到

這便為光柵的匯合光譜特性，如圖1（b）所示.如果不同波長的物光束經過第一個光柵并發生色散后，使其中某一級的光進入第二個光柵并滿足式（3），那么在第二個光柵后的匯合光束中便可以觀察到物體的虛像，這就是雙光柵成像效應.

圖1 光柵衍射的色散特性和匯合光譜特性

圖2所示是雙光柵成像系統，光柵常量分別為d1和d2的兩光柵G1和G2平行放置，光柵刻線也是平行的.

圖2 雙光柵成像光路示意圖

理論可以證明[3]，若雙光柵周期d不同時，在雙光柵系統中若要不發生色散，當且僅當

此時所有波長關于G2的第n級衍射光將在同一方向，達到了雙光柵消色散的目的，此時虛光源剛好位于物平面上.（4）式是在雙光柵平行的情況下導出的，當兩光柵不平行時，成像方程應改為

式中w是與兩光柵夾角δ有關的系數.當兩光柵平行即δ＝0時，w＝1.

在搭建雙光柵成像實驗時應注意：

1）為了不讓物光直接照射到光柵G2上，需要在G1旁放置遮光板，使光只能通過光柵G1的衍射到達光柵G2；

2）由于光柵的通光口徑有大小限制，應將G2移至G1的m級衍射光譜處；

3）相機有傍軸條件的限制，相機也要隨光柵G2作相應的移動.如圖2所示，G1和G2分別為一維透射光柵，O為物.

3 實驗結果與討論

3.1 雙光柵平行放置

利用不同空間頻率的一維光柵分別作為G1和G2，并取定G1的m＝1（m≥2的衍射級光強較弱），并取z1＝15cm不變，d－11＝600m－1.根據成像方程（4）式，當等號右邊取不同的n值時求得相應的z2值，將光柵G2移至z2處并拍照，所得結果如表1所示，對應的圖像如圖3所示.

表1 不同空間頻率光柵實驗組合

圖3 不同空間頻率光柵實驗圖像

理論上圖中央清晰的像便是G2無色散的n級衍射光所成的像.圖3為實驗結果，圖3（a）顏色偏冷色調，圖3（b）顏色較為正常，圖3（c）成像效果較好.

對合成的像出現偏色現象，其原因為實驗中采用的相位光柵其衍射效率與波長有關.其次，如果光柵G1的衍射光譜比較密集時，當G1和G2距離很近時，很容易讓G1的多級衍射光同時進入光柵G2，干擾了m級衍射光的成像.若在光柵G2前再置一適當小孔，或減小G1通光范圍，防止非m級衍射光進入光柵G2，也可改善其成像.

3.2 當雙光柵成一定角度時

平行光斜入射光柵時，不僅衍射條紋級數、正負級次位置不對稱，而且正負級次強度也不對稱；斜入射角度越大，不對稱越明顯[4－5].

實驗中，讓2個光柵成一定角度并讓該角度變化時，無色散衍射級像的改變，而當調節雙光柵間距時，可以使原衍射級恢復消色散.通過實驗定性分析夾角δ變化與消色散關系，保持式（5）等號左邊諸量不變，采用控制變量法：

1）當δ改變使w變化時，若保持z2不變，那么使無色散像的衍射級n發生變化，圖4是δ逐漸增大依次獲得的成像情況（圖中n取絕對值），可見，隨著δ的增大，消色散的像逐漸向衍射級小的方向移動.最初n＝2級消色散，最后變成了n＝1級消色散.

圖4 雙光柵夾角變化的衍射像

2）當δ改變使w變化時，也可以通過調節z2的大小使式（5）仍然成立，觀察到n級無色散像.實驗中G2轉過一定角度時，必須減小z2才可以使n級像仍無色散，如圖5所示.

圖5 雙光柵間距對夾角變化的補償

綜合1）和2）實驗可知：系數w隨著G1和G2夾角的增大而增大且w≥1.

4 結束語

利用光柵的色散效應和匯合光譜效應可以實現無色散的雙光柵成像.實驗所用相位光柵的衍射效率與波長有關，所以實驗中雙光柵衍射所合成的像會出現偏色現象.2個光柵之間的夾角會對成像產生影響，這種影響在轉動角度大時表現尤為明顯，可導致無色散衍射級的變化，成像方程中系數w隨著兩光柵夾角的增大而增大而且不小于1.本文通過對雙光柵這一特殊應用的探討與研究，清晰地闡述了雙光柵的成像特性以及成像過程中各種因素對成像質量的影響，實現了利用普通光學器件的成像，提高了可操作性和成像質量.

感謝：本課題為大學物理實驗中設計實驗，感謝物理實驗中心老師潘永華、周惠君高工給予的幫助.

[1] 馬雪梅，張衛平，黃創高.基于光柵衍射的實驗分析[J].大學物理實驗，2010，23（4）：34－36.

[2] 張衛平，何小榮.光柵的匯合光譜特性與雙光柵成像效應[J].中國科學G輯，2006，36（5）：556－560.

[3] 何小榮，張衛平.用菲涅耳理論分析雙光柵成像效應[J].光學學報，2007，27（8）：1371－1376.

[4] 李爭路，岑剡.平行光斜入射光柵（矩孔）的衍射光場[J].物理實驗，2011，31（8）：43－46.

[5] 李芳菊，耿森林，文軍，等.傾斜因子對夫瑯禾費衍射強度的影響[J].物理實驗，2010，30（10）：33－39.