多維平差問題粗差的局部分析法

孫海燕，黃華兵，王喜娜

武漢大學測繪學院，湖北武漢430079

1 引 言

由于儀器、測量環境和觀測人員等方面的原因，觀測值有時會包含粗差。如果觀測值中含有粗差，采用最小二乘法進行平差時，粗差的存在不可避免會對平差結果產生不利影響，甚至導致錯誤的結果。這個結論已經得到理論上的證明和實踐的驗證。

現在已經有許多方法來消除或減弱粗差的影響。這些方法通常分為兩類。一類是依據統計學原理對粗差進行探測與定位并將其剔除，這方面的研究以文獻［1］的粗差探測法為代表。另一類是穩健估計（又稱抗差估計），這種方法不需要對粗差進行定位與剔除，而是選擇適當的估計方法（如L1范數最小估計、M估計等），使得估計結果不受或少受粗差的影響。在實際計算中，這些方法大都是通過給含有粗差的觀測值一個較小的權，從而減小該觀測值在平差中的作用。常用的方法主要是選權迭代法，如丹麥法、文獻［2］提出的驗后方差估計法和文獻［3—5］提出的IGG方案。實際上這兩類方法都依賴于通過平差計算得到的改正數，而含有粗差的觀測值并不一定得到較大的改正數，因而有時會造成誤判。也有研究人員從真誤差出發，提出了有益的方法。文獻［6］提出了多維粗差同時定位定值法（LEGE法），文獻［7］提出了粗差的擬準檢定法（QUAD法）。使用LEGE法和QUAD法都需要進行平差計算，同樣也受到改正數的影響，比如作為LEGE法判斷依據的單位權中誤差是改正數的函數，QUAD法選擇擬準觀測的指標也是改正數的函數。

實際上，在處理粗差之前應該分析多維平差問題中是否存在一類觀測值，出現在其中的粗差是不可發現或無法定位的。粗差處理方法不能有效處理這類粗差，故其對平差結果可能會產生較大影響。能否發現某個觀測值中的粗差，或者消除或減弱其影響，不僅取決于多余觀測數等全局性指標，而且與粗差出現的位置有關。關于粗差所處位置對粗差處理的影響，文獻［8］曾提出杠桿觀測的概念，指出不論實際誤差如何，杠桿觀測只得到低改正，這使得杠桿觀測含有的粗差比其他位置的粗差難于發現。

綜上所述，本文試圖建立一種局部的粗差分析方法，不依賴于平差計算和改正數，確定出現在某個位置的粗差是否可以被發現和定位，并且在此基礎上給出一種粗差探測方法。

2 局部分析法

在討論局部分析法之前，先分析一個水準網，如圖1所示。

圖1 水準網Fig.1 Leveling network

圖1中，A點高程已知，其余8點高程待求，觀測值等精度，觀測方向如箭頭所示。

無論觀測值取何值，h1的改正數為0，h3和h7的改正數大小相等。

假設水準網中只有一個粗差。若h1含有粗差，則根據改正數不可能發現粗差。若粗差出現在h3或h7上，則必然導致錯誤。由于h3和h7的改正數大小相等，結果只能是h3和h7都有粗差或者都沒有粗差，這兩種結果都與實際情況不符。

從圖1水準網的分析可以看出，粗差能否被正確處理與其位置密切相關。基于此，本文提出多維平差問題粗差的局部分析法。

2.1 局部分析法原理

局部分析法的主要思路是從局部考察一個觀測值，討論平差問題能否容忍出現在其中的粗差。具體做法是將局部化作一個一維問題，再應用一維問題粗差分析的結論進行討論。

首先，給出一維問題粗差分析的結論。設對一個真值未知的被觀測量進行m次觀測。m＝1時，觀測值的真值未知，故其含有的粗差是不可發現的。m＝2時，兩個觀測值之差的理論值為0，比較觀測值即可確定二者是否含有粗差，但無法確定誰含有粗差。m≥3時，根據穩健估計中位數法，如果觀測值中含有k（0＜k＜m／2）個粗差，那么中位數是正常觀測值，故粗差可以全部定位；如果含有k（k≥m／2）個粗差，則不能定位。

對于多維平差問題，比較一個被觀測量的觀測值與其組合觀測，可發現觀測值和組合觀測是否含有粗差。組合觀測定義為：設s為多維平差問題的一個被觀測量，其觀測值為L，如果存在其他被觀測量s1、s2、…、sm（對應觀測值為L1、L2、…、Lm）的函數f滿足f（s1，s2，…，sm）＝s，則稱f（L1，L2，…，Lm）為s的組合觀測。另外，一維問題的粗差分析要求觀測值是誤差獨立的，所以在多維平差問題的粗差分析中使用的組合觀測也應當是誤差獨立的，即要求所有組合觀測兩兩之間沒有公共觀測值。根據組合觀測確定誤差獨立組合觀測以后，即可將誤差獨立組合觀測與觀測值看做對被觀測量的重復觀測，從而可以應用一維問題的結論分析被觀測量。

設s為多維平差問題的一個被觀測量，其觀測值為L。記s的誤差獨立組合觀測數為m1，包含觀測值和誤差獨立組合觀測的總獨立觀測數為m2。根據m1的取值討論如下：

（1）m1＝0時，m2＝1，由一維問題結論可知觀測值含有的粗差是不可發現的。

（2）m1＝1時，m2＝2，可以發現粗差但不能定位。

（3）m1≥2時，m2≥3，如果被觀測量k（0＜k＜m2／2）個獨立觀測含有粗差，那么可以定位粗差。

局部分析法的關鍵是計算被觀測量的誤差獨立組合觀測數。下面給出根據多維平差問題函數模型確定誤差獨立組合觀測數的一般方法。

2.2 誤差獨立組合觀測

多維平差問題的函數模型為

可從B中選取t行組成矩陣B2（t×t），使得B2可逆，余下的n－t行構成矩陣B1。按此選法可得對應的和d2，于是式（1）可寫為

B2可逆，式（3）化為），將其代入式（2）即得

具體算法為：

（2）如果G3為空，執行第5步；否則，從G3取一種選法（不放回），組成B2和B1。

（3）如果B2可逆，執行第4步；否則，執行第2步。

（5）上述步驟完成后，得到G1，計算G1元素的成員數，記min為最少的成員數，max為最多的成員數。設q＝min。

（6）如果q＞max，算法結束；否則，取成員數為q的一個組合觀測f1，將其從G1中移除，并加入G2。

（7）遍歷G1，移除與f1有共同成員的組合觀測。

（8）若G1為空，則算法結束；否則，執行第9步。

（9）如果成員數為q的組合觀測未取完，執行第6步；如果已取完，令q＝q＋1，執行第6步。

（10）算法結束。

得到誤差獨立組合觀測數并不能確定哪個觀測值含有粗差，還需要通過其他方法作進一步探測。下面給出一種基于局部分析法的粗差探測方法。

3 基于局部分析法的粗差探測

令

由式（5）可知w的真值為零，所以式（6）計算值就是真誤差。根據誤差傳播律可求得w的中誤差σw，如果｜w｜≤2σw（偶然誤差服從正態分布時），并且不考慮粗差相互抵消的情況，則可認為w定義式中的觀測值都沒有粗差。然后依次對其他誤差獨立組合觀測進行分析，即可確定L～（i）的獨立觀測所涉及的哪些觀測值不含粗差。對平差問題的其他被觀測量作上述分析，同樣可以確定一部分不含粗差的觀測值。分析完所有的被觀測量后，可確定出不含粗差的觀測值，余下的即為含粗差觀測值。

4 算 例

算例采用文獻［9］的例7－4，是一個測角網坐標平差，如圖2所示。

圖2 測角網Fig.2 Goniometric network

圖2中，A、B、C為已知點，坐標見表1，D為待定點。角度觀測值為等精度（中誤差1.7″，先驗精度），列于表2。其中∠2含有粗差。

表1 已知點坐標Tab.1 Coordinates of known points m

表2 角度觀測值Tab.2 Observed value of angles ″

設D點的坐標真值為（10 122.16m，10 312.44m），計算出6個角度被觀測量的真值，列于表3的第2列。列出測角網坐標平差的誤差方程，根據設計矩陣計算每個被觀測量的誤差獨立組合觀測，結果列于表3。表3中，角度單位為″。w為被觀測量的觀測值與組合觀測的差值，σw為w的中誤差，m1為誤差獨立組合觀測數，m2為包含觀測值和誤差獨立組合觀測的總獨立觀測數。

根據局部分析法，由表3的m2可知，如果的獨立觀測有1個粗差，可以定位，多于1個時則不能定位。其他5個角度被觀測量與有相同的結論。

表3 測角網分析結果Tab.3 Analysis results of goniometric network ″

以表3的第4行為例，w表示∠1與4.23∠4＋1.89∠5－912 817.3的差值，可以看出｜w｜≤2σw，于是w表達式中涉及的∠1、∠4和∠5不含粗差，分析所有被觀測量可確定∠1、∠3、∠4、∠5和∠6不含粗差。那么，余下的∠2即為含粗差觀測值，這與給定的觀測值含粗差情況相符。

5 結 論

局部分析法逐個分析平差問題的觀測值能否容忍粗差，克服了從整體上分析可容忍粗差個數的不合理性，實質上是將多維平差問題轉換為多個一維問題進行討論，其優點在于無需進行平差計算，僅依據平差問題的函數模型，因而適用于一般的平差問題。

由于各種粗差處理方法均不能正確處理不可發現和無法定位的粗差，為消除或減弱其對平差結果的影響，使用穩健估計等方法之前應當采用局部分析法分析平差問題。

［1］ BAARDA W.A Testing Procedure for Use in Geodetic Networks［M］.Delft：Netherlands Geodetic Commission，1968：5－97.

［2］ LI Deren.Gross Error Location by Means of the Iteration Method with Variable Weights［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，1984，9（1）：46－68.（李德仁.利用選擇權迭代法進行粗差定位［J］.武漢大學學報：信息科學版，1984，9（1）：46－68.）

［3］ ZHOU Jiangwen.Classical Theory of Errors and Robust Estimation［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，1989，18（2）：115－120.（周江文.經典誤差理論與抗差估計［J］.測繪學報，1989，18（2）：115－120.）

［4］ ZHOU Jiangwen，YANG Yuanxi.Robust Collocation［C］∥Proceedings on Robust Estimation.Beijing：Surveying and Mapping Press，1992：41－50.（周江文，楊元喜.抗差擬合推估［C］∥抗差估計論文集.北京：測繪出版社，1992：41－50.）

［5］ YANG Yuanxi.Robust Estimation for Correlated Observations［C］∥Proceedings on Robust Estimation.Beijing：Surveying and Mapping Press，1992：14－22.（楊元喜.相關觀測抗差估計［C］∥抗差估計論文集.北京：測繪出版社，1992：14－22.）

［6］ YU Zongchou，LI Mingfeng.Simultaneous Location and Evaluation of Multidimensional Gross Errors［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，1996，21（4）：323－329.（於宗儔，李明峰.多維粗差的同時定位與定值［J］.武漢大學學報：信息科學版，1996，21（4）：323－329.）

［7］ OU Jikun.Quasi－accurate Detection of Gross Errors（QUAD）［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，1999，28（1）：15－20.（歐吉坤.粗差的擬準檢定法（QUAD法）［J］.測繪學報，1999，28（1）：15－20.）

［8］ ZHOU Jiangwen，YANG Yuanxi.On Residuals and Leverage Observations［C］∥Proceedings on Robust Estimation.Beijing：Surveying and Mapping Press，1992：33－40.（周江文，楊元喜.論余差及杠桿觀測［C］∥抗差估計論文集.北京：測繪出版社，1992：33－40.）

［9］ School of Geodesy and Geomatics Wuhan University.Error Theory and Foundation of Surveying Adjustment［M］.Wuhan：Wuhan University Press，2003.（武漢大學測繪學院測量平差學科組.誤差理論與測量平差基礎［M］.武漢：武漢大學出版社，2003.）