籃球的旋轉對提高投籃命中率的力學分析

王成軍，鄭 旗

籃球比賽中，投籃是得分的唯一方法，也是決定比賽勝負的關鍵所在。影響投籃命中率的因素很多, 如隊員的身體素質、心理狀態、投籃技術、投籃時機的把握以及投射角和入射角等等。而在投籃技術的教學與訓練中，投籃動作、瞄準方法、投籃弧線軌道及球的旋轉等又是影響投籃命中率的重要因素。本文擬從動力學的角度，對籃球的旋轉球飛行軌道以及投籃命中率進行一些理論上的分析與探討，以期為籃球教學與訓練提供有意義的指導。

1 旋轉球的動力學分析

投籃動作從準備姿勢開始，通過下肢用力蹬地、腰腹向上伸展、抬肘、手臂向前上方伸展、手腕前屈、手指撥球、用全身綜合協調的力量將籃球投出。其中，抬肘時伸臂舉球和手腕前屈與手指撥籃球的力量，是控制與調節身體各部位用力、決定投籃出手角度和速度及籃球的旋轉，從而影響投籃命中率的關鍵。一般中遠距離高手投籃時，應使籃球沿橫軸向后旋轉，在籃下側面碰板投籃時，應使籃球側向旋轉，而行進間單手和雙手低手投籃時，應使球向前旋轉。

1.1 前旋球的運動規律

平動的籃球在飛行中只受重力和空氣阻力作用，空氣阻力使籃球速降低，其飛行軌跡是一條平面曲線。如果讓籃球旋轉著飛行，由于空氣的粘滯性，球表面的空氣層隨籃球一起旋轉，形成繞球的環流層(見圖1)。

設環流的角速度為w，球向前的平動速度為V，以球為參考系，根據相對運動原理，可認為氣流以速度為V從前方迎著球的運動方向流來。來流與環流合成的結果，導致籃球兩側形成流速差，在來流與環流同向的一側流速增大，另一側流速則減小。根據伯努利定律，流速增大的一側壓力將減小，而流速減小的一側壓力增大，從而在籃球的兩側引起壓差力，這個壓差力稱為Magnus力(見圖2)。它始終與運動方向垂直，不斷改變籃球的飛行方向，形成弧線球。Magnus力可由儒可夫斯基環流理論計算給出：

(1)

圖1飛行中球的旋轉

圖2運動中球體Magnus力示意圖

以籃球的投出點為坐標原點，建立直角坐標系(見圖3)，其中OZ軸豎直向上。假設籃球初始時繞OX軸旋轉順時針旋轉(迎著x軸看)，忽略空氣阻力矩，由角動量守恒，則籃球始終繞OX軸旋轉，因此，Magnus力總是在豎直平面內并指向軌道內側法線方向，大小為FM=Gwυ。考慮到重力在切線方向的分量較小，將其忽略對結果影響不大，于是籃球的運動微分方程簡化為：

(2)

(3)

圖3前旋球和后旋球的運動軌跡

對(2)式積分并利用初始條件t=0,υ=υ0，可得

(4)

(5)

進一步，考慮到ds=Rdθ，代入(3)式并利用(4)可得

女性妊娠與分娩的這段時間里，是家庭變故的高發期，性生活的缺失，激素水平的變化，令女性的情緒容易波動，如果再有其它因素的影響，家庭矛盾發生的可能性較大。在這種情況下，女性遭遇情緒抑郁的幾率會大大增加。

(6)

其中α為籃球的出手角度,w0為籃球初始時的角速度。

由(5)、(6)兩式，可知籃球軌跡的曲率半徑為：

(7)

1.2 后旋球的運動規律

向后旋轉的籃球，在運動受力中過程與前旋球類似(重力mg，空氣阻力f=fυ2以及Magnus力FM)。在圖3所示直角坐標系中，后旋球初始時繞OX軸逆時針方向旋轉，因此Magnus力總是在豎直平面內并指向軌道外側法線方向，大小為FM=Gwυ。于是籃球的運動微分方程簡化為

(8)

(9)

可得籃球的運動規律為

(10)

(11)

(12)

(13)

1.3 側旋球的運動規律(見圖4)

(14)

(15)

(16)

圖4側旋球的運動軌跡

設t=0時，z=0，V=V0仰角α=α0，由(2)式可得：

(17)

類似的處理，求解方程(15)和(16)，并利用初始條件t=0,υ=υ0=V0cosα0，可得

(18)

(19)

(20)

(21)

聯立(18)式、(20)式，籃球在水平方向的位移：

(22)

(23)

將(22)式和(23)式聯立，消去時間t，則籃球在水平面內運動的軌跡為：

(24)

(25)

顯然，籃球軌道的曲率及橫向偏移量與初速度υ0與初角速度w0呈正相關，而這兩個量的值主要取決于籃球隊員手指最后的用力動作。

2 前旋球對投籃命中率的影響

投籃命中率通常有空心入網、碰板中籃以及碰圈入籃等幾種情形，下面我們以前面推導出的運動規律為依據，通過分析籃球的受力情況并利用速度的合成來定性討論不同情況下的投籃命中率。

2.1 空心入籃的命中率

前旋球的運動軌跡由運動規律見(7)式，與非旋轉球相比，前旋球的軌道曲率增大，表明籃球飛行的水平距離縮短且下落加快。對于行進間和籃下雙手低手投籃，球員速度大，出手點高并且距球籃近，因此籃球在空中飛行的距離很短，故此時應利用前旋球空心入網，可以提高投籃命中率。

2.2 籃球與籃板發生碰撞

籃球入籃前若與籃板發生碰撞，其受力情況見圖5，N為發生碰撞時籃板(籃圈后沿)作用在籃球上的正壓力，方向垂直于籃板，G為籃球所受的重力，f為由于籃球的旋轉，施加在籃球上的滾動摩擦力。碰撞前籃球質心的速度方向沿軌跡的切線方向，反彈后合速度v的方向如插圖所示，θ代表此時的入籃角。與非旋轉球相比，由于非旋轉球與籃板接觸時所受的摩擦力為滑動摩擦力，而通常情況下，滾動摩擦力遠小于滑動摩擦力，故速度沿z方向的分量增大，入射角將大于非旋轉球，即能增大籃球的命中幾率。

圖5前旋球碰籃板

2.3 球與籃圈發生碰撞

為方便分析, 將與籃球的飛行路線較遠側的籃圈稱為籃圈后沿, 與籃球的飛行路線較近側的籃圈稱為籃圈前沿。與籃圈后沿碰撞時籃球的受力見圖6所示，由于碰撞，籃圈施與籃球的正壓力沿球的半徑方向并通過質心指向外側，方向視籃球與籃圈接觸點的不同而不同，碰后合速度的方向，與空心入籃和碰板入籃相比，入籃的幾率要小很多；相反，若前旋球是與籃圈前沿發生碰撞，此時籃球的受力情況見圖7。由于籃球的前旋，作用在籃球上的滾動摩擦力沿接觸點的切線方向，其作用效果是阻礙籃球的滾動，方向與非旋轉球所受的滑動摩擦力的方向相反。因此，速度沿摩擦力方向的分量增大，這將增大籃球向前滾動中籃的幾率，而合速度的方向更趨近于籃圈平面。根據籃球前旋的運動規律，籃球被彈起后沿水平方向運動距離縮短并迅速下落，因此，前旋球與籃圈前沿碰撞也能增大投籃命中率。

圖6前旋球碰籃圈后沿

圖7前旋球碰籃圈前沿

3 后旋球對投籃命中率的影響

3.1 空心入籃的命中率

后旋球的運動軌跡見圖3中虛線。由后旋球的運動規律(10)—(13)式可見，與前旋球相比，由于此時Magnus力沿軌道法線外側，籃球沿豎直方向的加速度減小，在投籃出手角和出手速度一定的情況下，籃球在空中飛行的時間將變長，且飛行弧度變高。這意味著更長的飛行距離。因此后旋球更適宜于中、遠距離投籃，有助于籃球在空中飛行的穩定性，提高空心入網投籃命中率。

3.2 球與籃板發生碰撞

后旋球與籃板發生碰撞的受力見圖8所示。

圖8后旋球碰籃板

由于球體后旋，籃板施與籃球的滾動摩擦力方向是沿籃板平面向下的，與不旋轉的籃球或前旋球相比，速度沿Z方向的分量υ2大大增加，合速度的方向更傾向于指向籃圈，增大了入籃角度，因此更有利于中籃。而且籃球的旋轉程度越高，其軌跡的曲率也越大，可以進一步提高投籃的命中率。

3.3 籃球與籃圈發生碰撞

后旋球與籃圈后沿碰撞時籃球的受力見圖9、圖10所示。籃球滾動摩擦力的方向與速度分量υf同向，合速度的方向隨碰撞點不同而導致的正壓力方向的不同而變化。籃球進入籃圈的部分越多，合速度的方向越趨向于指向籃圈的方向, 在一定程度上可增加籃球中籃的可能性。若后旋球碰到籃圈的前沿, 受力情況與碰到后沿時類似，但滾動摩擦力的方向與速度分量υf反向，故投籃命中率要小于與后沿相碰時的命中率。

圖9后旋球碰籃圈后沿

圖10后旋球碰籃圈前沿

4 側旋球對投籃命中率的影響

側旋籃球的運動軌跡彎曲程度較大，根據運動軌跡的特點可知，當運動員位于籃板左側且與籃板夾角很小時，使籃球順時針方向(由上往下看，即向籃圈側)旋轉在一定程度上能增加空心球的命中率，右側亦然。一般來說，側旋球經常用于失去角度的籃下碰板投籃。籃下區域歷來是攻防必爭之地，由于對方防守嚴密, 進攻隊員很難在籃下找到恰當的瞄準點直接完成投籃動作，此時側旋球的碰板投籃顯示出了不可替代的優越性。

沿順時針方向旋轉的籃球與籃板碰撞時的受力情況(見圖11)，f是由于球的側旋籃板作用在籃球上的滾動摩擦力，其方向沿X軸正向。反彈后合速度的方向沿左下方，因此，順時針旋轉的籃球偏籃圈右一點投籃會有較大的可能進入籃圈。而且籃球側旋的角速度越大，軌跡的橫向偏移量越大，則應越偏右投籃；同理，逆時針旋轉的籃球碰籃板后將向右下方運動，因此應偏左一些投籃，增大籃球的旋轉角速度后籃球的碰板點亦應偏左。可見，通過改變籃球側旋的角速度，籃球的碰板點有一個較大的選擇范圍，故而能較大程度地提高投籃命中率。

圖11側旋球碰籃板

5 結論

本文從動力學的角度出發，討論了投籃技術涉及的幾種不同旋轉形式的籃球運動規律，在此基礎上通過對籃球的受力分析，運用速度的矢量合成法則分析了其對投籃命中率的影響，得到以下結論：

(1) 籃球的旋轉是影響投籃命中率的重要因素之一, 在訓練和教學中應給予足夠的重視。

(2) 前旋球適用于行進間和籃下低手投籃，球與籃板或籃圈前沿碰撞能增大投籃命中率。

(3) 后旋球適用于中、遠距離投籃，籃球與籃板或籃圈后沿碰撞可以提高投籃命中率。

(4) 側旋球能加大籃下進攻的威力, 改變籃球側旋的角速度，籃球碰板點的選擇范圍增大，能較大程度地提高投籃命中率。

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