基于金屬材料統(tǒng)一本構(gòu)及損傷理論的模型研究

吳敬東， 李 濤， 金 瑩， 馬運(yùn)惠

(沈陽化工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧沈陽110142)

近幾十年來，隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，特別是航空、航天、核電等高尖端科技方面的突飛猛進(jìn)，要求精準(zhǔn)高速地模擬部件的力學(xué)特性，這就需要建立更加完善的材料統(tǒng)一本構(gòu)模型，從而更準(zhǔn)確地模擬材料受載狀態(tài)下應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系.

在經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ)上，隨著理論和實(shí)驗(yàn)以及高尖端科學(xué)的發(fā)展，人們開始嘗試建立新的金屬材料本構(gòu)模型，這類模型在模擬一維、二維、三維以及循環(huán)載荷加卸載作用下的塑性變形的同時(shí)，還能夠模擬與時(shí)間相關(guān)的蠕變變形，這就是所謂的粘塑性統(tǒng)一本構(gòu)模型.粘塑性統(tǒng)一本構(gòu)理論是從上世紀(jì)60年代開始發(fā)展起來的新型本構(gòu)理論，粘塑性統(tǒng)一本構(gòu)模型有如下幾種:Miller［1－2］模型、Hart［3］模型、Walker模型等.在研究材料的本構(gòu)模型中，其理論體系由3類方程組成:一是本構(gòu)方程;二是非彈性應(yīng)變率方程;三是運(yùn)動(dòng)硬化和等向硬化內(nèi)變量演化方程.粘塑性統(tǒng)一本構(gòu)模型利用一套耦合的內(nèi)變量演化方程來描述材料的應(yīng)力-應(yīng)變相互間的影響，不需要將彈性變形、非彈性變形和蠕變變形單獨(dú)計(jì)算，不需要建立不同的本構(gòu)模型，也不用判別加載和卸載，在整個(gè)過程中只需使用一個(gè)模型，減小了工作量，提高了工作效率.

在建立材料統(tǒng)一本構(gòu)模型過程中，為更準(zhǔn)確地描述材料受載情況下的內(nèi)部結(jié)構(gòu)變化，許多研究者引入損傷變量的概念.在損傷模型的研究中，以Voyiadjis和Deliktas［4］的貢獻(xiàn)最為突出，他們以上述理論為基礎(chǔ)構(gòu)建了材料的耦合各向異性損傷非彈性模型，Ragueneau和Guatuingt［5］研究了混凝土的損傷模型.國內(nèi)學(xué)者們對(duì)材料的本構(gòu)模型研究也取得了很大的成就，主要有:董毓利、沈新普、張盛東［6］等.

不可逆熱力學(xué)以內(nèi)變量變化為基礎(chǔ)來表征材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)的變化特征，為材料本構(gòu)模型的構(gòu)建提供了理論基礎(chǔ)和方法.文中以不可逆熱力學(xué)為基礎(chǔ)，以運(yùn)動(dòng)硬化和等向硬化為內(nèi)變量，構(gòu)造了Helmholtz自由能函數(shù)和勢函數(shù)，推導(dǎo)了流動(dòng)方程和內(nèi)變量演化方程，引入非彈性乘子，以及損傷變量，構(gòu)建了金屬材料含損傷的粘塑性統(tǒng)一本構(gòu)模型.

1 模型的構(gòu)建

粘塑性統(tǒng)一本構(gòu)模型的一般通用框架［7－8］可以寫為:

式中Zij為拉應(yīng)力，Ωij為背應(yīng)力.在構(gòu)建粘塑性統(tǒng)一本構(gòu)方程的過程中，仍然采用B-P［9－10］模型，因此，任意一點(diǎn)的應(yīng)變率變化都可以用彈性應(yīng)變和非彈性應(yīng)變之和來表示.彈性應(yīng)變是可逆的，而非彈性應(yīng)變是不可逆的.材料內(nèi)部任意一點(diǎn)的應(yīng)變率包括彈性應(yīng)變率和非彈性應(yīng)變率兩部分.其中，總應(yīng)變率為，彈性應(yīng)變率為，非彈性應(yīng)變率為.在材料發(fā)生彈性變形的過程中，應(yīng)變和應(yīng)力符合Hook定律:

另外，在材料受載發(fā)生非彈性應(yīng)變時(shí)，材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不再符合虎克定律，此時(shí)非彈性應(yīng)變率可以表示為:

在對(duì)金屬材料粘彈性研究的過程當(dāng)中，不可逆熱力學(xué)為其提供了充分的理論依據(jù)，下面圍繞著不可逆熱力學(xué)知識(shí)來構(gòu)造金屬材料的統(tǒng)一本構(gòu)模型.在構(gòu)造數(shù)學(xué)模型過程中主要分兩步:第一，確定模型中的內(nèi)變量和外變量;第二，設(shè)定材料的Helmholtz自由能函數(shù)表達(dá)式.這兩點(diǎn)是構(gòu)建統(tǒng)一本構(gòu)模型的基礎(chǔ).

對(duì)于金屬材料可以假設(shè)其單位質(zhì)量的Helmholtz自由能函數(shù)［11］表達(dá)式為:

其中Vk為內(nèi)變量，T為溫度系數(shù).在等溫或者絕熱條件下Clausius-Duhem不等式為:

由于在等溫(˙T=0)或者絕熱(▽T=0)的條件下進(jìn)行，即不考慮溫度對(duì)材料的影響，則Helmholtz自由能函數(shù)可簡化為:

式中σij為Cauchy應(yīng)力張量，ρ為材料密度.將式(1)和(12)代入式(11)可得:由于與和之間是相互獨(dú)立的，因此，通過上述表達(dá)式可以進(jìn)一步推導(dǎo)出以下本構(gòu)方程:

則Clausius-Duhem不等式簡化為:

式中

其中Ak為熱力學(xué)力，與狀態(tài)變量Vk是相關(guān)聯(lián)的.

由Clausius-Duhem的簡化形式可以看出:在內(nèi)變量發(fā)生變化時(shí)，自由能是耗散的，為了滿足式(11)，令勢函數(shù)為:

則Clausius-Duhem不等式變?yōu)?

在上述建立的勢函數(shù)中，只要?jiǎng)莺瘮?shù)是關(guān)于σij，Ak是凸函數(shù)，以及 ˙λ＞0，則上式成立.因此，可以得到以下本構(gòu)方程、流動(dòng)方程和內(nèi)變量演化方程:

由于金屬材料的變形與靜水壓無關(guān)，而且它的非彈性變形過程中不會(huì)引起體積的變化，即不會(huì)發(fā)生體積膨脹等現(xiàn)象，因此，根據(jù)上述性質(zhì)可以設(shè)定金屬材料變形的勢函數(shù)Φ和Helmholtz自由能函數(shù)ψ分別如下:

其中:

為材料常數(shù)，σij'為σij的偏量，Ωij'為Ωij的偏量.

根據(jù)Helmholtz自由能函數(shù)取Vk={αij，B}，可以得出如下本構(gòu)方程和演化方程:

由方程(22)和(23)可得:

而由方程(27)、(28)(29)和(30)可得:

在上式中

Helmholtz自由能函數(shù)ψ可以分為2個(gè)部分，彈性ψe和非彈性ψi，因此，又可以描述為:

可以看出˙λ是關(guān)于應(yīng)力σ、背應(yīng)力Ω、拉應(yīng)力Z的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式.在以往的統(tǒng)一本構(gòu)方程中，˙λ的數(shù)學(xué)表達(dá)式主要有以下3種形式［9］:冪函數(shù)(Axn)、指數(shù)函數(shù)(A(ex－1))、雙曲正弦函數(shù)(Asinh(xm)n)，由于金屬材料的變形過程中與靜水壓無關(guān)，所以，選取雙曲正弦函數(shù)形式構(gòu)造關(guān)于自變量x的一般性表達(dá)式:

在經(jīng)典塑形理論中，g(σij)－Z=0表示的是屈服面方程，文中選Mises為屈服條件，一般表達(dá)式為:

根據(jù)材料變形屈服面準(zhǔn)則，則可以得出D-P模型的函數(shù)關(guān)系式為:

因而有:

對(duì)于金屬材料，引入損傷變量d，選擇雙曲正弦函數(shù)表達(dá)形式，˙λ具體表達(dá)式如下:

其中D0是與溫度T相關(guān)的函數(shù):

式中

最后，由建立的勢函數(shù)表達(dá)式，分別對(duì)應(yīng)力σij、背應(yīng)力Ωij、拉應(yīng)力Z進(jìn)行求導(dǎo)并代入 ˙λ，就可以依次得到損傷狀態(tài)下的彈性應(yīng)變率背應(yīng)力Ωij、拉應(yīng)力Z的關(guān)系式:

這樣基于不可逆熱力學(xué)構(gòu)建出了粘塑性統(tǒng)一本構(gòu)方程.

2 損傷模型的建立

金屬材料在加卸載的過程中材料內(nèi)部都可能存在不同程度的損傷，從而影響材料的性能，因此，為了更好地描述材料性質(zhì)，需要引入損傷度d這一變量.由Kachanov損傷理論可得有效應(yīng)力、實(shí)際應(yīng)力σ和損傷度d的關(guān)系式:

在上述建立的本構(gòu)模型中，材料的損傷是等向的，并且可以用標(biāo)量d來表示:

在此，dc和dt分別表示壓縮和拉伸時(shí)的損傷，而相應(yīng)的αc和αt分別為其對(duì)應(yīng)的參量［12］.

單軸拉伸，αc=0，單軸壓縮，αt=0，多軸載荷，αc+αt=1.將d帶入上面不可逆熱力學(xué)建立的統(tǒng)一本構(gòu)模型中就可以得出材料的損傷統(tǒng)一本構(gòu)模型.

3 數(shù)值模擬

將文中所建立的金屬材料模型利用數(shù)值方法，并結(jié)合所給定的參數(shù):E=1.517×105，υ= 0.10，˙ε=8.3×10－5，計(jì)算相應(yīng)的數(shù)值結(jié)果.反向加載、給定應(yīng)變率、軟化、比例加載應(yīng)力應(yīng)變模擬曲線如圖1～圖4所示.

圖1 模型反向加載的應(yīng)力應(yīng)變模擬曲線Fig.1 Stress-strain curve of unified constitutive model in reverse loading

從圖1中可以看出:材料在加載的過程中，由于蠕變和運(yùn)動(dòng)硬化的存在，應(yīng)力應(yīng)變模擬曲線出現(xiàn)了尖點(diǎn)，這也就是平時(shí)所說的包辛格效應(yīng).文中所建立的模型將該效應(yīng)所產(chǎn)生的曲線過方現(xiàn)象有所改善，在實(shí)驗(yàn)曲線中可以看出卸載時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線圖的斜率在不斷地減小，進(jìn)而可以得出在此循環(huán)加卸載的過程中，材料在不斷地?fù)p傷，更能體現(xiàn)材料的內(nèi)部變化特性.

圖2 給定應(yīng)變率下的應(yīng)力應(yīng)變模擬曲線Fig.2 Stress-strain curve of unified constitutive del in given loading

圖3 軟化應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.3 Stress-strain curve of unified constitutive model in softening

圖4 比例加載應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.4 Stress-strain curve of unified constitutive model in proportional loading

圖2顯示了在給定應(yīng)變率下的應(yīng)力應(yīng)變曲線，反映了材料應(yīng)變隨著應(yīng)力變化時(shí)的特性.圖3給出了材料在軟化過程中應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線，圖4模擬出了比例加載過程中按照1∶1加載的相應(yīng)應(yīng)力應(yīng)變曲線圖.圖3和圖4中可以看出:材料在加卸載過程中出現(xiàn)了跳躍現(xiàn)象，更能反映出材料在變形過程中的內(nèi)部變化特征.

4 結(jié)論

在熱力學(xué)基礎(chǔ)上，以熱力學(xué)第二定律為準(zhǔn)則的前提下構(gòu)建了金屬材料的理論本構(gòu)模型.應(yīng)用熱力學(xué)勢函數(shù)和Helmholtz自由能函數(shù)，引進(jìn)非彈性乘子以及損傷變量，建立了材料損傷狀態(tài)下的統(tǒng)一本構(gòu)模型，并且根據(jù)材料的參數(shù)模擬出材料變化相對(duì)應(yīng)的曲線，反映出材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)的變化情況，提高了工作和計(jì)算效率.

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