非合作目標分光路激光測距中距離值的確定方法*

李語強，李榮旺，李祝蓮，翟東升

(中國科學院國家天文臺云南天文臺，云南 昆明 650011)

衛星激光測距(Satellite Laser Ranging，SLR)工作已經開展了近50年，測距精度由最初的米級發展到目前的毫米級。隨著衛星激光測距觀測資料的不斷積累，衛星激光測距技術在地球動力學和大地測量學領域得到了廣泛的應用:精密衛星軌道確定，地心參考框架的建立，地球自轉參數的確定，重力場和重力常數的確定，驗證廣義相對論，海洋、空間遙感衛星高度的標定，高精度時間傳遞的研究，空間非合作目標的跟蹤等［1－4］。衛星激光測距數據處理涉及衛星的狀態、觀測站在空間的位置以及激光在大氣中的傳播。利用激光測距望遠鏡測得激光脈沖往返于測站和衛星之間的時間Δt換算為兩者之間的距離ρ，即(c為光速)就是衛星激光測距數據處理的觀測量。關于如何利用觀測量建立測站與衛星之間測量幾何的解析表達式，在一些闡述利用激光測距資料確定衛星軌道的著作中［5－8］，列舉了兩種激光測距模型，即瞬時激光測距和帶光時解激光測距。瞬時激光測距得到的觀測量為(t，ρ)。其中ρ是觀測站到衛星的距離;t為觀測時刻，其定義為:

式中，t3，t1分別表示測站接收和發射激光的時刻。以中間時刻表示在這個瞬間衛星與測站之間的幾何距離ρ。它是一個概念上的距離(ideal range)，而不是空間中通過光訊號相聯系的兩點間的測量距離。很顯然，由于測站隨地球自轉運動，發射時刻t1與接收時刻t3測站位于空間中不同的兩點，它們與衛星反射激光時所處的一點構成兩條光線，即所謂“上行光”與“下行光”(圖1)。而c(t3－t1)實際上代表了上行距離ρU和下行距離ρD之和。由于測站與衛星的距離不是時間的線性函數，用

圖1 測站與衛星在激光測距中的關系圖Fig.1 The relative motion of the satellite and the ground station during a satellite laser ranging measurement

帶光時解的激光測距模型，考慮了激光的上行距離ρU和下行距離ρD，利用激光的上行距離和下行距離的平均值作為觀測量，測站收到下行信號的時刻t3作為觀測量的時標，即測量模型為

式中，ρU和ρD可以通過迭代計算求出。文［9］給出了精確往返光行時和精確單向光行時的計算方法，其中考慮了上、下行光路的相對論延遲，以及分別在接收時刻t3和發射時刻t1的3個時間差。

1 非合作目標分光路激光測距模式

這里的分光路是指用相鄰較近的兩臺望遠鏡(相當于兩個臺站)對非合作目標進行激光測距，即用一臺望遠鏡發射激光，另一臺望遠鏡接收激光回波。為了敘述方便，設發射激光的望遠鏡為A站，接收激光回波的望遠鏡為B站，則A站、B站與非合作目標S之間幾何位置關系如圖2。

由圖2的位置關系不難看出，文中前述兩種測距模式已經不再適合兩站分光路測量的測距模式。因此需要分析分光路測距過程中距離(上行距離或下行距離)的確定方法。

下面給出文中計算用到各個量的說明:

t1——激光從測站A參考點發出的時刻;

t2——激光到達非合作目標的時刻;

t3——激光回波到達測站B參考點的時刻;

c——光速;

ΔTU——上行光時間 ΔTU=t2－t1;

ΔTD——下行光時間 ΔTD=t3－t2;

r(t)——非合作目標在參考系中的位置矢量;

RA(t)——測站A參考點在參考系中的位置矢量;

RB(t)——測站B參考點在參考系中的位置矢量。

圖2 兩個測站與非合作目標位置關系圖Fig.2 Spatial relationship between the two observing stations and a non-coorperative target

衛星激光測距數據處理的目的是從觀測的距離數據中提取有用的信息，例如衛星的精確狀態(精密定軌)、影響衛星運動的力學模型中的有關參數、測站的精確位置、影響測站位置描述的地球自轉參數等。所討論的問題是針對近地非合作目標的激光測距數據預處理，通常情況下得到的激光測距觀測值為(t3，t1)，如何利用觀測量精確地求出激光達到衛星的時刻t2，也就是精確地求出上行距離或下行距離是問題的關鍵。

2 分光路激光測距中距離值的確定

描述衛星的軌道運動和地面測站隨地球自轉的周日運動，是在地球質心慣性坐標參考系中進行的。由于問題涉及光信號的傳遞，并且需要計算光信號在確定的點之間的傳遞時間，這里采用了狹義相對論的時空框架，也就是認為光線在選定的坐標系中以恒速c進行，與光源的運動速度無關。而現代測量技術的精度，已經達到需要考慮引力場對光傳播的廣義相對論效應［9］，與問題有關的效應是引力時延和引力彎曲。對于激光測衛，如果在日心系或太陽質心系進行討論，必須考慮太陽和地球引力場造成的引力時延。但如果采用地心系，太陽的引力作用變成了引潮力，其相對論效應就可以忽略，只需考慮地球造成的引力時延。引力時延量作為可計算的系統改正加入到測量值中(下面論述到的距離值均表示已經作了對流層折射修正、測站偏心修正、勞侖茲效應修正等)。至于引力彎曲，在采用的參考架中，計算光行時解中使用直線光路徑帶來的光行時誤差可以忽略不計［9］。

測距過程中發射望遠鏡系統延遲τA和接收望遠鏡系統延遲τB均需要嚴格確定。由于分光路激光測距，跟每個臺站聯系在一起都是單向距離，單獨確定τA或τB有一定的難度，但是，采用地面靶同時標定τA與τB之和，很容易實現。具體方式是首先精確測定測站A參考點到地面靶的距離DA與測站B參考點到地面靶的距離DB。利用發射望遠鏡(測站A)向地面靶發射激光并記錄發射時刻tS，同時利用接收望遠鏡(測站B)接收激光回波并記錄接收時刻tR，則系統延遲τA+τB=tR－tS－(DA+DB)/c，其中c為光速。

由圖1簡單的幾何關系不難得出下面的光行時方程:由發射時刻t1，求上行光時ΔTU

上式ΔTU可以用以下迭代關系求出。

同樣，用接收時刻t3，求下行光時ΔTD

顯然，此方程可用以下迭代關系式求解

這樣用迭代方法，在設定的一個限差1ps內，求出ΔTU和ΔTD。毫無疑問，ΔTU和ΔTD的值依賴于模型r(t)及RA(t)、RB(t)，以及分別作為時間歷元的t3及t1。可以設想如果采用的軌道計算模型確實代表了真實情況，那么在時空參考系中發生的用光信號相聯系的3個物理事件應該滿足下式

實際情況總是會有一個不符合值，表明模型與實際情況有偏差，即

正是利用不符值δt修正下行距離或上行距離，在數據預處理過程中，先將異常值剔除。

時，表明衛星位置(模型值)相對于測站位置偏近了。在一定的誤差范圍內，采用很簡單的方法可以求出下行距離或上行距離，即

此時解得的ΔTU和ΔTD，就應該是符合觀測實際的上行光時和下行光時，當然也就可以分別得到上行距離ρU=cΔTU和下行距離ρD=cΔTD。同時可以根據ΔTU=t2－t1或ΔTD=t3－t2確定位于激光發射時刻t1及接收時刻t3之間的激光脈沖到達非合作目標的時刻t2。

3 數值模擬驗證

測站A與測站B之間直線距離大約為30 m，在實際工作中，采用文中提出的方法是否滿足要求，為此建立了一個簡化的數學模型，對文中數據處理方法進行驗證。假定非合作目標軌道平面在赤道面上，測站A和測站B的緯度φ=0，因而可以簡化為平面問題。同時假設非合作目標軌道為圓軌道，軌道高度為H，地球為正球體，半徑為R0=6378.140 km。S代表非合作目標，則非合作目標與觀測站之間的幾何關系見圖3。

為了使模擬數據中包含目標過天頂的情況，設非合作目標與X軸夾角為80°時記t0=0，可得到非合作目標和觀測站位置矢量隨時間的變化關系:

式中，ω為衛星繞地心運動的角速度;T為衛星軌道運行周期，取值為9.952×10－3，單位為s;Ω為地球自轉角速度，取值用平太陽日近似15″/s即可;θ表示測站A與測站B之間夾角，取值 4.7×10－6。

具體計算過程通過簡化模型計算出某接收時刻對應的 ΔTD=(t3－t2)和 ΔTU=(t2－t1)，則用(t3－t1)表示觀測值。非合作目標軌道計算值加一個誤差(Δx，Δy)，即用(x+Δx，y+Δy)作為理論預報值，通過迭代求出新的T'D和T'U。由于非合作目標與測站間的距離值遠大于兩測站之間距離，所以(11)式和(12)式可以簡化為:

針對非合作目標高度為400 km、600 km、800 km、1000 km、1200 km、1 500 km，Δx和Δy值誤差限為±0.5 km、±1.0 km的情況，對(t3－t2)－T'Dnew進行了模擬計算，計算結果如圖4、圖5。

4 結論

由圖4、圖5可以看出，采用本文提出的方法計算得到的下行距離誤差比較小，目標軌道高度為400 km，當Δx和Δy誤差范圍為±0.5 km時，只有在目標過天頂時下行距離誤差限為±2 cm，當Δx和Δy誤差范圍為±1.0 km時，只有在目標過天頂時下行距離誤差限為±4 cm。誤差隨目標高度增加而減小，目標軌道高度為1 500 km，當Δx和Δy誤差范圍為±0.5 km時，只下行距離誤差限為±0.5 cm，當Δx和Δy誤差范圍為±1.0 km時，下行距離誤差限為±1 cm。

圖4 Δx和Δy值誤差限為±0.5 km時不同軌道高度下行距離殘差Fig.4 Residuals of descending distances for different orbital altitudes when errors of Δx and Δy are within0.5 km

圖5 Δx和Δy值誤差限為±1.0 km時不同軌道高度下行距離殘差Fig.5 Residuals of descending distances for different orbital altitudes when errors of Δx and Δy are within 1.0 km

由以上的討論可知，根據地面兩個測站獲得的測量值激光發射時刻t1及回波接收時刻t3，可以準確的導出激光到達衛星的時刻t2，以及相應的上行距離ρU和下行距離ρD。這里要特別加以說明的是，采用本文所論述的距離計算方法，在當前的非合作目標測距精度下，有一定的應用價值。實際工作中，無論采用上行距離或者下行距離作為測站單向距離是等價的，不過在使用中總是要約定一種大家認同的。由于我們是用1.2 m望遠鏡接收回波，所以建議用下行距離似乎更具有積極意義。

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