對一道電場題解答的質疑

張凱

(安徽省靈璧一中 安徽 宿州 234200)

近年來，許多教輔資料、刊物都有這樣一題.

【題目】如圖1所示，M,N是豎直放置的兩平行金屬板，分別帶等量異種電荷，兩極板間產生一個水平向右的勻強電場，場強為E.一個質量為m,電荷量為+q的微粒，以初速度v0豎直向上，從兩極板正中間的A點射入勻強電場中，微粒垂直打到N極板上的C點，已知AB=BC,不計空氣阻力，則可知

A.微粒在電場中做拋物線運動

B.微粒打到C點時的速率與射入電場A點的速率相等

圖1

給出的答案:選項B正確.選項A不正確，有如下幾種說明:

(1)由題意知，微粒到達C點時，豎直方向速度為零，所以微粒不可能做拋物線運動.

(2)微粒在水平方向做初速度為零的勻加速直線運動，豎直方向上為豎直上拋運動(上升階段)，這與平拋運動不同，故其軌跡不可能為拋物線.

(3)以A為原點，水平向右為x軸，v0方向為y軸

(1)

(2)

由運動學公式和牛頓第二定律易知

a=g

(3)

消去參數t得軌跡方程為

(4)

該式與拋物線標準方程對比可知不是拋物線.

分析探究：說明(1)習慣地以v0方向為x軸，水平方向為y軸，認為到C點處vx=0就不是類平拋運動;說明(2)似乎有些道理;在一次公開課中，授課老師以該題為例運用說明(3)定量解答時,聽課學生、老師和教研員都未提出任何疑問.甚至某市把該題作為單選題出在多校聯考試卷上，答案亦為選項B.選項A真不對嗎？我們不妨探究探究.

(1)平拋運動軌跡是拋物線.

質點水平方向不受力，為勻速直線運動；豎直方向只受重力，為自由落體運動,建立坐標系如圖2.

圖2

x=v0t

(5)

(6)

消去參數t得

(7)

顯而易見其軌跡一定為拋物線.

(2)斜拋運動的軌跡是拋物線.

同理,建立坐標系如圖3.

圖3

x=v0tcosθ

(8)

(9)

消去參數t得

(10)

其軌跡一定為拋物線.

(3)在較小空間區域內(其線度遠小于中心天體半徑)，重力場可看作豎直向下，強度為g的勻強場.本題中微粒在兩個勻強場中運動，由于場具有疊加性，可引入等效重力場概念即可先由平行四邊形定則，求出mg與qE的合力，則等效重力場強度為

其方向為合力的方向，則等效重力場水平面(等勢面)為與等效場線垂直的一簇平面.本題中為使問題簡化，類比拋體運動沿等效場強方向建立y軸，等勢線方向為x軸建立坐標系如圖4.

圖4

則x方向的分運動為勻速直線運動

x=v0tcosθ

(11)

y方向的分運動為類豎直上拋運動

(12)

同樣消去t有

(13)

可見微粒運動為類斜拋運動，其軌跡為拋物線.

而等效重力場等勢面與軌跡AC的切點為等效最高點D，若將坐標原點移至該點，等效場強方向為y軸正方向，其軌跡為過原點的關于y軸成對稱的拋物線.

圖5

事實上，在解析幾何中，可以通過坐標變換，使二次曲線方程在新坐標系中有最簡單的形式.如圖5所示,設平面直角坐標系中一點的舊坐標為(x,y),新坐標為(X,Y)，則轉軸公式為

x=Xcosα-Ysinα

(14)

y=Xsinα+Ycosα

(15)

(16)

該式與正解式(13)完全相同.運用類比思想和數學工具不難得出結論：恒力作用下的一切曲線運動，其軌跡都是拋物線.變力作用下的曲線運動軌跡可以是圓、橢圓、螺線、雙曲線或更復雜的曲線.

可見，在探究物理問題時，要注重從基本模型出發，運用類比、對稱、等效等方法，要善于深入思考，靈活運用數學工具，不盲從權威，培養嚴謹求實的科學態度.