彈簧連接體的運動特征

陳玉奇

(姜堰中等專業學校 江蘇 泰州 225500)

2011年“華約”自主招生物理試題第15題是一道彈簧連接體的運動問題，該類題型在教師教學和各類參考書中經常作為動量守恒和機械能守恒的習題出現.本文通過對該題的解答和以此題為例的幾個彈簧連接體運動問題的分析，旨在使大家對此類系統的運動有一個較為全面的理解，掌握彈簧連接體問題的運動特征及分析方法.

1 題目及解析

【題目】豎直墻面和水平地面均光滑，質量分別為mA=m,mB=3m的A，B兩物體如圖1所示放置，其中物體A緊靠墻壁，A，B之間由質量不計的輕彈簧相連，現對物體B緩慢施加一個向左的力，該力做功為W，使AB間彈簧被壓縮且系統保持靜止，然后突然撤去向左的推力解除壓縮，求：

(1)從撤去外力到物塊A開始運動，墻壁對A的沖量多大？

(2)A,B都運動后，A,B兩物體的最小速度各為多少？

圖1

解析: (1)彈簧剛恢復原長時vA0=0，彈簧的彈性勢能全部轉化為B的動能.則有

解得

此過程中墻壁對A的沖量大小等于彈簧對A的沖量大小，也等于彈簧對B的沖量大小，則有

(2)由于B的慣性運動，使彈簧拉長，從彈簧開始伸長時A開始運動，因此B做變減速運動，A做變加速運動，直到兩物體的速度相等時，彈簧有最大伸長.伸長的彈簧有收縮作用，繼續使A做變加速運動，B做變減速運動，直至彈簧恢復原長的瞬間，A加速過程結束，獲得最大速度vA，而B達到最小速度vB，此過程中動量守恒，機械能守恒，則有

3mvB0=mvA+3mvB

聯立兩個方程解得

下面以該題為例研究彈簧連接體的運動特征，其中mA和mB的質量關系不變.

2 系統的運動形式

根據前面解析中提到的兩個守恒定律以及彈簧在最大伸長和最大壓縮時兩物體的速度相等，很容易得出關于A，B物體運動的如下結論.

(1)彈簧剛恢復原長時，A，B的對地速度分別為

vA0=0vB0=v0

此時A，B相對于質心的運動速度分別為

(2) 當彈簧第一次達到最大伸長時，二者有相同的對地速度vA1=vB1，根據動量守恒

mAvA1+mBvB1=mBv0

可得

此時A，B相對于質心的速度為

(3) 彈簧從最大伸長到再次恢復原長的過程中，A加速運動B減速運動，剛恢復原長時，設A，B此時對地速度分別為vA2,vB2，則有

mAvA2+mBvB2=mBv0

解得

或

vA2=0vB2=v0

[不合題意，應為結論(5)中的解，舍去]

此時A,B相對于質心C的速度

(4)彈簧從原長到最大壓縮的過程中，末態時兩物體的對地速度vA3,vB3又相等，同樣可求得

此時A,B相對于質心C的速度又為

(5)彈簧從最大壓縮到恢復原長的過程中，A做減速運動，B做加速運動，根據(3)中的計算方法，可求出此時兩物體的對地速度

vA4=0vB4=v0

相對于質心C的速度分別為

3 系統的運動周期

問題2：如果本題中彈簧的原長為l0，勁度系數為κ，則A,B兩個物體相對于質心C的振動周期TA，TB及系統的運動周期T分別是多少？

分析：設A物體到質心C的距離為lA，B物體到質心C的距離為lB，則有

由此可見A,B兩個物體相對于質心C的振動周期相同，且質心兩邊任一個“獨立”的彈簧振子的振動周期等于該系統的振動周期T，即

圓頻率

4 振子的位移及速度

問題3：從A離開墻壁時開始計時，在任一時刻t，A,B相對于墻壁的位移sA(t)，sB(t)以及各自的對地速度vA(t)，vB(t)分別是多少？

圖2

A相對于平衡位置是從平衡位置開始向左做簡諧振動，B相對于平衡位置是從平衡位置開始向右做簡諧振動，則A,B相對于兩個坐標軸Ox,Ox′的簡諧振動方程為

xA(t)=AAcos(ωt+φA)

AA和AB分別為兩個物體的振幅，φA和φB為振動的初相位.

將上述兩個位移方程對時間t求導數，可得A，B相對于質心C的速度

當t=0時，由問題1中已求出A，B相對于質心C的速度分別為

速度表達式為

根據s=s相對+s牽連,v=v相對+v牽連，A,B兩物體相對于墻壁的位移表達式為

sA(t)=vCt+xA(t)=

速度表達式為

5 結束語

彈簧連接體在運動過程中，如在其運動方向上無外力作用，系統動量和機械能守恒，振子的運動動能和彈簧的彈性勢能之間相互轉化.振子相對于質心各在其平衡位置附近做簡諧振動，系統在做“爬行”運動.

當然如果系統在其運動方向上受到其他恒力作用，則可以由系統的牛頓第二定律求出質心的加速度aC，在研究振子的受力時可引入慣性力F慣性力= -maC，然后根據彈簧振子在此質心坐標系中的受力模式和運動模式，判定出振子在質心坐標系中的運動特點，再由運動的合成求出振子在地面坐標系中的運動情況.