大學自主招生考試物理思維方法能力考查題賞析

王益明

(江蘇省姜堰中學 江蘇 泰州 225500)

自主招生是高校擴大招生自主權，深化高校招生錄取制度改革的重要舉措，也是對選拔優秀人才的新探索.與高考物理試題相比，自主招生試題難度較大，介于高考與全國中學生物理競賽初賽之間，試題更加注重物理學科能力的考查，更加注重物理思維方法的考查.突出考查了建立物理模型、應用數學處理物理問題的能力，運用等效法、極限法、微元法、遞推法處理物理問題的能力，彰顯了自主招生試題的選拔功能.

1 物理建模能力

【例1】(2006年上海交大自主招生試題)肥皂泡中充滿氦氣，漂浮于空氣中，肥皂泡的壁與其中充的氦氣哪個更重？說明你的分析過程.

其中氦氣

μ=4×10-3kg/mol

空氣

μ′=29×10-3kg/mol

故

ρ′>2ρ

現認為肥皂泡內外壓強相等，而肥皂泡本身占據體積可略，設肥皂泡壁的質量為m，泡內氦氣體積為V，則

m+ρV=ρV′

即

m-ρV=ρV′-2ρV=(ρ′-2ρ)V>0

故肥皂泡的壁比較重.

賞析：對實際問題，考生必須學會運用所學物理知識建立物理模型.本題看似無從入手，以肥皂泡中氣體為研究對象，建立理想氣體模型，比較空氣的密度與肥皂泡內氦氣密度的關系，問題就可迎刃而解.

2 運用圖像處理實驗數據能力

表1 實驗測量的h,T值

解析：將I=mk2+mh2代入周期公式化簡后得

作T2h-h2圖線，求得斜率為A，則

即

求得縱軸截距B，則

可得k值.具體解略.(k=0.29 m，g=9.87 m/s2)

賞析：運用圖像處理物理實驗數據是物理學重要的研究方法之一，尤其是使圖像線性化更能直觀反映物理量的變化規律.本題運用作圖法求解物理量，較高考要求明顯加大，其難點在于要得到線性圖像，必須對物理方程進行處理，打破常規思維，即以T2h為縱坐標.因中學平時教學中訓練不多，考生很難想到.

3 等效替代法

解析：本問題中求解的區域為無窮大接地導體平面的上方區域，此區域內點電荷所在位置及所帶的電荷量是確定的；區域邊界(導體平面的上表面)的電勢分布是電勢為零的等勢面．電場E的分布大致如圖1所示，圖中的電場線和導體面處處垂直．并且E=E1+E2，其中E1，E2分別為點電荷Q和導體板上表面感應電荷激發的電場．

圖1

比較上述電場線分布的特點與兩個等量異號點電荷電場的電場線分布特點，可以設想把導體板上表面的感應電荷用一電荷量為Q′=-Q的點電荷替代．設點電荷Q所在位置為A點，將點電荷Q′放置在B點，B點的選擇滿足AB兩點的連線垂直于導體表面，且AB=2h，此時空間電場的分布如圖2所示．

圖2

這樣的替換既沒有改變求解區域內的電荷分布，又滿足了導體板上表面所在位置電勢為零的條件．因此，在零等勢面上方區域內電場分布與題給電場分布相同，所以對于求解區域而言，用放在B點處電荷量為Q′=-Q的點電荷替代導體板上表面的感應電荷是合理的．

導體板上感應電荷在A點產生的場與B點的點電荷-Q在A點產生的場是相同的．故根據

F=QE2

其中，E2為放在B點的點電荷-Q在A點產生的場．聯立可得

式中負號表示作用力為引力．

賞析：等效思維的實質是在效果相同的情況下，將較為復雜的實際問題變換為簡單且熟悉的問題，以便突出主要因素，抓住它的本質，找出其中規律.本題根據靜電平衡狀態的導體及等量異種點電荷電勢、電場強度的特點，運用等效替代法、虛擬法巧妙求解非點電荷之間作用力，使問題得到簡化而便于求解，有較高的思維度.

4 極限法

【例4】(2010年北大自主招生試題)質量為m的正方體放在水平面上，現在如圖3所示的頂角A處加一個力F，要求物體能被推倒但不滑動，動摩擦因數μ至少多大？此種情況F的大小又如何？

圖3

解析：正方體翻轉至AC連線與水平方向夾角θ時，設此時A處拉力F與豎直方向成α角，并設AC=l，則

正方體不動須滿足

μ(mg-Fcosα)≥Fsinα

即

顯然，θ增大時，(2cotα+2tanθ)也增大;α減小時，(2cotα+2tanθ)也減小.

故極端情況取θ為最小值，α取最大值，即取θ=45°，α→90°，得μ≥0.5，此種情況下

賞析：極限法是把某個物理量或某個物體的位置推向極端，即極大和極小或極左和極右，并由此做出科學的推理分析，從而給出判斷或導出一般結論.恰當地運用極限法能提高解題效率，使問題化難為易，化繁為簡.本題中有兩個變量即拉力F與豎直方向夾角α，AC連線與水平方向夾角θ，運用極限法可求得μ的最小值.

5 微元法

【例5】(2009年清華大學自主招生試題)一質量為m，長為l的柔軟繩自由懸垂，下端恰與一臺秤秤盤接觸．某時刻放開柔軟繩上端，求臺秤的最大讀數．

解析：如圖4所示,設t時刻落到秤盤的繩長為x，此時繩速

圖4

在t→t+Δt時間內，又有Δm=ρΔx的繩落到秤盤上(設軟繩單位長度質量為ρ)

由動量定理得

-FΔt=-Δmv=-ρΔxv

(忽略微元段繩本身的重力沖量)

即

故

N=F+ρgx=3ρgx

當x=l時秤盤的最大讀數為3mg,即秤盤的最大讀數出現在柔繩將要全部掉到秤盤上時.

賞析： 微元法是物理學中分析和解決問題常用的一種方法.其基本思路是將復雜的物理過程(對象)分成若干個微小的“元過程(對象)”，比如一小段時間Δt；一小段長度Δx；一小段圓弧ΔL；一小量面積；一小量電荷ΔQ等等，然后對“元過程(對象)”進行分析，找出其物理規律，再將此規律通過一定的數學方法或物理思想運用到整個過程，進而解決問題.本題以長度微元為研究對象，化變為不變，運用動量定理求解.

6 遞推法

【例6】(2008年東南大學自主招生試題)如圖5所示，豎直平面內有一光滑圓弧形軌道，O為最低點，A,B兩點距O點的高度分別為h和4h.現從A點釋放一質量為M的大物體，且每隔適當的時間從B點釋放一質量為m的小物體.它們和大物體碰撞后都合為一體.已知M=100m．

(1)若每當大物體向右運動到O點時，都有一個小物體與之碰撞，問碰撞多少次后大物體的速度最小？

圖5

(2)若大物體第一次向右運動到O點時，和小物體碰撞，以后每當大物體向左運動到O點時，才與一個小物體碰撞，問共碰撞多少次后大物體能越過A點？

(3)若每當大物體運動到O點時，都有一個小物體與之碰撞，問碰撞50次后，大物體運動的最大高度為h的幾分之幾？

解析：(1)設大物體和小物體從A,B運動到O點速度大小分別為vA,vB.

由機械能守恒定律，有

解得

設碰撞n次后大物體的速度最小，則有

MvA-nmvB=(M+nm)vmin

由

vmin=0

得

MvA=nmvB

故

n=50

(2)第1次碰撞

MvA-mvB=(M+m)v

設再碰撞k次，則

(M+m)v+kmvB=(M+m+km)vA

聯立解得k=3，故共碰撞4次．

(3)第1次碰撞

MvA-mvB=(M+m)v1

第2次碰撞

(M+m)v1+mvB=(M+2m)v2

第3次碰撞

(M+2m)v2-mvB=(M+3m)v3

第4次碰撞

(M+3m)v3+mvB=(M+4m)v4

……

第50次碰撞

(M+49m)v49+mvB=(M+50m)v50

聯立解得

MvA=(M+50m)v50

則

由

得

則

賞析：遞推法是解決物體與物體發生多次作用后的情況.當問題中涉及相互聯系的物體較多并且有規律時,應根據題目特點應用數學思想將所研究的問題歸類,然后求出通式.具體方法是先分析某一兩次作用的情況,得出結論.再根據多次作用的重復性和它們的共同點,把結論推廣,然后結合數學知識求解.本題通過對小球多次碰撞列出的動量守恒方程，運用遞推法找到速度的規律.

任何考試都有其內在規律，表面看來充滿“個性化”和神秘色彩的自主招生也不例外.只要認真研究自主招生考試物理學科考查的物理思想方法，加強學生思維能力的培養和思維方法的訓練，摸索總結出自主招生試題的解題思路，學生就不會在考試時束手無策，也一定能在考試中取得較好的成績.