物理解題中的近似方法

楊國平

(紹興市第一中學 浙江 紹興 312000)

在解決物理問題(觀察現象、進行實驗、構建模型、推導規律等)時，為了分析、認識研究對象的本質屬性，需要突出問題的主要方面，忽略某些次要因素，進行近似處理.近似方法是研究物理學的基本方法之一，有著廣泛的應用.善于對實際問題進行合理的近似處理，是從事創造性研究的重要能力之一，也是物理學和數學的顯著區別之一.下面從數學、圖像及估算3方面加以闡述.

1 數學近似

1.1 抓主略次

兩個相同量綱的物理量相加減，若相差懸殊，則可留大去小，簡化運算過程，得到的數量級一定是正確的.

【例1】 欲測電阻R的阻值，現有幾個標準電阻、一個電池和一只未經標定的電流表A，連成圖1所示的電路.第一次與電流表并聯的電阻r為r1=50.00 Ω，電流表的示度為n1=3.9格；第二次r改用r2=100.00 Ω，電流表的示度為n2=5.2格；第三次r改用r3=10.00 Ω，同時將待測電阻R換成一個20.00 kΩ標準電阻，結果電流表的示度為n3=7.8格.已知電流表的示度與所通過的電流成正比，求電阻R的阻值.

圖1

解析:設電源電動勢為E，內阻為r′，電流表內阻為Rg，與電流表每格對應的電流為I0，根據閉合電路歐姆定律，有

(1)

(2)

(3)

由第三次測量數據，當r減小時電流表偏轉格數卻增大，推知總電流必然增加了，由此推知R>20 kΩ.因此，Rg與r的并聯值比R小多了，電源內阻r′完全可以忽略不計，故以上三式可近似為

(4)

(5)

(6)

聯立并代入數據解得

R=120 kΩ

1.2 高階小量近似

物理問題最后往往表征為數學關系式，在涉及到多項式時，經常(尤其是在簡諧運動中)用到以下的近似處理(1+x)n=1+nx(x?1) .其依據就是根據二項式定理展開，略去高階小量所得.

圖2

解析:對A分析，設其質量為m，懸掛的線長為l，平衡時線與豎直方向的夾角為θ，則有

mgtanθ=F

(7)

又

代入式(7)得

(8)

右移Δx后，有

(9)

而

代入式(9)得

(10)

聯立式(8)、(10)有

即

化簡后有

代入數據得

n= 4

【例3】如圖3所示，用彈性繩制作對稱的輕網，網邊緣固定在水平軸環上，半徑R等于彈性繩的原長，如果一位體操運動員靜止地躺在網中心處，網被壓彎的深度為d,問體操運動員從多高處無初速落下，將使網壓彎的最大深度為2d? (體操運動員的身高、深度d都比網半徑R小得多)

圖3 圖4

解析： 設網由n根成輻射狀的彈性繩編織而成，每根繩的勁度系數均為κ，當網中心下陷x(?R)時，運動員受到的彈力方向豎直向上，大小

F=nF1sinθ

(11)

由圖4可知

每根繩上的彈力

因為

代入式(11)后得

靜躺時x=d，由受力平衡得

(12)

當運動員從h高處落下時，能使網中心下陷2d，此時每根彈性繩具有的彈性勢能

由機械能守恒定律

(13)

聯立式(12)、(13)解得

h= 2d

1.3 小角度近似

對于小角度問題(一般認為θ<5°)，經常用到的近似處理是sinθ≈ tanθ≈θ，此處θ的單位是弧度(rad).該結論最典型的應用就是處理幾何光學的近軸光線，在運用微元法求解相關問題時，也經常用到這一近似.

【例4】 如圖5所示，菲涅耳雙棱鏡的折射率為n，折射棱角為α(α?1)，位于對稱軸上的單色光縫S(波長為λ)與棱鏡相距a，觀察屏與棱鏡相距b，求屏上干涉條紋的間距.

圖5

圖6

圖7

先討論折射光線相對于入射光線的偏向角δ，如圖7所示，設光線在第一界面的入射角和折射角分別為i和r，據折射定律有

sini=nsinr

在第二界面，有

nsini′=sinr′

對于小角度，可簡化為

i=nrni′ =r′

由圖7可知δ=(i-r)+(r′ -i′) ，因r+i′ =α，則

δ=(i+r′)-α=n(r+i′)-α=(n-1)α

結果表明，光線經兩次折射后的偏向角與入射角i無關，那么

Δθ′= Δθ

由此

S1B=SB=a

為求S1離開主軸的距離，考慮邊緣光線，其偏向角也等于δ，有

S1S≈aδ

則

S1S2=2S1S=2a(n-1)α

干涉條紋的間距

2 圖解法近似

圖像是描述物理問題的重要方法之一.線性變化的圖像具有確定的結果，非線性變化的圖像(表現為曲線，更普遍)只能得到一個近似結果.經常用到的處理方法有圖像面積(數格子時四舍五入)，圖線相交法等等.

【例5】 如圖8所示，光滑水平面上靜止著一個彈簧振子，其固有周期為4 s .距離振子右側6 m遠處有一光滑曲面，頂端離地高度h=0.2 m .現將振子由O點位置緩緩向左平推2 m，放手的同時，讓在曲面頂端的等質量的小物塊無初速地滑下，它經過1.5 s到達曲面的底端B點處，之后的某時刻兩物體相碰后粘在一起.求碰后振子能達到的最右端位置.(取g=10 m/s2)

圖8

解析：兩物粘合后仍是一個彈簧振子，做簡諧運動.平衡位置仍在原點O處，題目要求確定其振幅A,先得確定兩物在何處相碰.以振子靜止位置O為原點，建立圖8所示坐標系，其運動規律為

x=Acos(ωt+φ)

x= 6 - 2t

(14)

統一時間起點后，振子的運動規律應寫為

(15)

兩物體相碰時x坐標相同，宜采用圖解法來解決.在位移圖像上作出式(14)的直線和式(15)的正弦曲線，如圖9所示，讀得交點坐標

圖9

代入式(14)得

x1= -0.6 m

即兩物體將在O點左側0.6 m處相碰.

碰撞過程動量守恒，為此需先求出碰前振子的速度

代入數據

把t1=3.3 代入上式得

v1= 3 m/s

方向向右.

如圖10，兩物體相向碰撞過程中，有

mv1-mv2= 2mv

圖10

解得碰后的共同速度v=0.5 m/s，之后合體在向右運動到最右端的過程中，據機械能守恒，有

(16)

其中

代入式(16) 解得

A=0.75 m

即振子能到達的最右位置在O點的右側0.75 m處.

3 物理(估算類)近似

對題給條件作合理的簡化，再把實際問題抽象為物理模型，是一種近似處理.估算類問題是物理近似的典型.世界上第一顆原子彈爆炸時，費米向空中撒了一把碎紙片，就估算出了原子彈的爆炸當量，可謂是運用近似方法的杰出典范[1].

【例6】 估算在室溫下，空氣分子之間的平均距離.

解析：根據分子動理論，固體和液體的分子間距跟它們分子本身的線度差不多，而氣體分子間的距離則比分子線度大得多.為定量計算，需先建立一個模型，把待研究的氣體空間分割為若干個小立方體(這樣計算得以最簡化)，每個立方體對應于一個分子占據的空間，分子處在立方體的中心.這樣，兩分子之間的距離就等于小立方體的邊長了.

取1 mol空氣作為研究對象，在室溫下它非常接近于標準狀況，氣壓p≈1×105Pa，溫度T≈300 K，由克拉伯龍方程pV=nRT得

代入數據得

V=0.025 m3

因為1 mol氣體含有的個數為

NA=6×1023

則每個氣體分子所占據的空間體積

小立方體的邊長

則分子間距

d=l= 4×10-9m

參考文獻

1 周小奮.費米問題三例.物理通報，2011(5)：85