勻變速直線運動中基本題型的分析與求解

謝國興

(江蘇沛縣中學 江蘇 徐州 221600)

1 運動性質的判定及初速度的確定

當題目中給定物體做勻變速直線運動時，首先要明確運動的性質是勻加速還是勻減速.當運動性質不能確定時，必須要同時考慮勻加速和勻減速兩種情況，其解必為兩組.當運動性質確定后，若為勻加速，則必須考慮初速度，初速度為零僅僅是勻加速直線運動的一種特殊情況.

【例1】一個物體做勻變速直線運動，某時刻的速度大小為4 m/s，1 s后速度大小變為10 m/s，求在這1 s內加速度和位移的大小.

解析：該題并沒有明確物體運動的性質，因此，必須同時考慮勻加速和勻減速運動兩種情況.

勻加速運動

代入數據得

a1=6 m/s2

s1=7 m

勻減速運動

代入數據得

a2=-14 m/s2

s2=-3 m

2 初速度為零的先勻加速運動后勻減速運動至速度為零

該題型的切入點是抓住該過程中的最大速度即勻加速運動的末速度或勻減速運動的初速度，其方法是

(2)已知勻加速運動的加速度a1及位移x1和勻減速運動的加速度a2及位移x2時，可選用公式

a1x1=a2x2

已知勻加速運動的加速度a1及時間t1和勻減速運動的加速度a2及時間t2時，可選用公式

a1t1=a2t2

【例2】質點從A運動到B，已知初速度為零，從A到B間某點C的加速度為a1，方向與運動方向相同，從C點到B點加速度為a2，方向與運動方向相反，到達B點時速度恰好為零，AB=L.

D.AC∶CB=a1∶a2

本例已知加速度和位移，可選用公式vm2=2ax，即a1x1=a2x2，而x1，x2未知.

設AC段的位移為x1，CB段的位移為x2,那么x1∶x2=a2∶a1,選項D錯誤.

由

得

選項B,C正確，答案為選項B,C.

3 勻減速直線運動

解決該類問題的關鍵是首先要確定該運動是否具有往返性，若具有往返性，可把該過程分解為單方向的勻減速運動和反方向的勻加速運動兩個分過程來處理.其解可能為一個，也可能為兩個或三個，切不可漏解.

【例3】 一個以4 m/s為初速度做直線運動的物體，加速度的大小為2 m/s2，方向與初速度方向相反，問經過多長時間位移的大小為3 m?

解析：本例是一個具有往返性的勻減速運動，當給出位移大小時(注意大小兩字)，對應的時間可能有多個.

由

當位移為正時

3=4t-t2

得出

t1=1 st2=3 s

當位移為負時

-3=4t-t2

得出

本例中t3是學生最容易漏掉的一個解.

4 追及問題

通常涉及到的追及問題有,一個勻速運動和一個勻加速運動或一個勻速運動和一個勻減速運動的追及.處理該類問題的關鍵是(1)確定兩運動物體開始計時的初始位置；(2) 分析兩物體速度相同時的相對位置及以后運動狀態的變化；(3) 注意未相遇前勻減速運動的物體是否已靜止；(4)題目中是否存在二次相遇.

【例4】 如圖1所示，甲、乙兩輛汽車原來停在平直公路上的A，B兩處，A，B間的距離為85 m.現甲車先開始向右做勻加速直線運動，加速度為a1=2.5 m/s2.甲車運動6 s時，乙車開始向右以加速度a2=5 m/s2做勻加速直線運動，求兩車相遇時距A處的距離.

圖1

解析：本例為兩個勻加速運動物體的追及且起始點不同，起始運動時間也不同，因此，首先要判定乙車運動時，甲車與乙車的相對位置.乙車運動時，甲車走過的距離為s1，則

代入數據得

s1=45 m<85 m

因此，乙車運動時，甲車在乙車后40 m 處，即乙車開始計時兩車位置差為s0=40 m.由于乙車的加速度大，當甲、乙兩車速度相同時(關鍵點)如果甲車沒有追上乙車，則兩車不會相遇，兩車速度相同時，乙車運動的時間為t，有

a2t=a1(t+t1)

t=6 s

此時，甲、乙兩車的位移分別為

代入數據得

s甲=180 m

s乙=90 m

s甲-s乙>85 m

故兩車速度相同時，甲車已追上并超過乙車，速度相同后乙車追甲車，必有兩次相遇，設兩車相遇時甲車用時t2，則

(起始點及起始時間均不同)

得出

由

代入數據得

s1=125 m

s2= 245 m

5 圖像法求解

利用圖像求解是研究勻變速直線運動的最顯著特點之一，它的優點是直觀、方便、省時、正確率高.但同時由于利用圖像法求解要有很好的想象力和洞察力，并且這類題目往往具有一定的隱蔽性，所以學生在選擇利用圖像法求解中，通常會存在一定的困難.在什么情況下優先考慮圖像法求解呢？(1)題目中作定性討論，不作定量計算；(2)加速度未知；(3)有共同的物理量，如位移相同或速度相同等.

【例5】甲、乙同時由靜止從A出發，沿直線AB運動，甲先以加速度a1做勻加速運動，經一段時間后改為以加速度a2做勻加速運動，到B時速度為v，運動時間為t甲；乙一直以加速度a

解析：本例符合圖像法求解的要件，即題目要求作定性討論，且加速度的大小未知，但位移和運動的末速度相同.因此，我們作出v-t圖像如圖2所示，時間t乙確定后，由a1>a，可作出甲運動的v-t圖像有Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三條，由于運動位移(即圖像面積)相同，甲實際運動的圖像必須符合圖線Ⅰ，故得出結論t甲

圖2

所要指出的是，當物體的運動為非勻變速直線運動時，勻變速直線運動的公式不再適用(a變化).對題目中所涉及到的運動學的物理量的求解，我們通常采用的方法是“圖像法”和“微元法”.

【例6】一輛汽車在恒定的功率牽引力下，在平直公路上由靜止出發，經4 min的時間行駛 1.8 km.則在4 min末汽車的速度

A．等于7.5 m/s

B．大于7.5 m/s

C．等于15 m/s

D．小于15 m/s

圖3

由位移相同，作出輔助線Ⅱ，由圖線可看出4 min時該點在實際速度的上方，即4 min末的速度小于15 m/s ，大于 7.5 m/s.答案為選項B，D.

【例7】如圖4所示，光滑U型金屬軌道PQMN水平固定在豎直向上的勻強磁場中，磁感應強度為B，導軌寬度為L，QM之間接有阻值為R的電阻，其余部分電阻不計.一質量為M，電阻為R的金屬棒ab放在導軌上，給棒一個水平向右的初速度v0使之開始滑動，最后停在導軌上.求此過程中ab棒運動的位移.

圖4

解析：由題意可求出ab棒運動的加速度

由于速度v變化，加速度a變化，因此，該過程是一個加速度不斷減小的非勻變速過程，和圖像法求解不同的是本例要求求出最終結果，因此必須要選擇合理的公式求解，而本例中位移的求解實質上是一個求“和”的過程，這種情況下，我們優先考慮微元法.整個過程中，速度雖然在變化，但速度變化量的大小卻是定值，即

Δv=v0

由運動學公式v=at對v進行求和

∑v=∑at

其中

∑v=Δv=v0

∑vt=x

即ab的位移為