物體從球面頂點下滑問題的研究

劉梅

(安徽師范大學物理與電子信息學院 安徽 蕪湖 241000)

楊玉超

(安徽省淮南市第十三中學 安徽 淮南 232072)

馮霞

(安徽師范大學物理與電子信息學院 安徽 蕪湖 241000)

在物理教學中，常見到質點自光滑球面頂端滑下的理想問題.對于物體與球面間有摩擦的實際問題，如何分析？有什么規律？本文將采用量綱分析、全微分積分法進行研究，并分析質點自光滑球面頂端滑下的理想問題的幾種情況．

1 “物體從球面頂點下滑” 的一般問題

【例1】如圖1所示，一個質量為m的物塊，在重力作用下自一半徑為r的固定球面的最高點無初速度滑下.若質點與球面間的摩擦因數為μ，求質點離

開球面時，它與球心的連線和豎直方向夾角θ所滿足的關系？

圖1

解析：(1)量綱分析法

質點下滑過程中，假定θ與質量m，半徑r，重力加速度g，摩擦因數μ有關，即

θ=f(m,r,g,μ)

因為θ是一個無量綱的量，無法把四個量有機結合形成一個無量綱的量，因此θ與μ一個參量有關，即

θ=f(μ)

(2)全微分積分法

物體下滑過程中，在球面上受重力、支持力和摩擦力，由于其速率逐漸增加，所以支持力逐漸減小直到脫離球面時減小到零．由牛頓第二定律得

法向方程

(1)

由動能定理

(2)

消去N得

dv2-2(μv2+grsinθ-μgrcosθ)dθ=0

(3)

式(3)不是全微分方程.把式(3)記為

P(v2,θ)=1

Q(v2,θ)=-2(μv2+grsinθ-μgrcosθ)

設有f(θ)形式的積分因子

以f(θ)乘式(3)兩端,得全微分方程

e-2μθdv2-2e-2μθ(μv2+grsinθ-μgrcosθ)dθ=0

(4)

e-2μθdv2-2e-2μθμv2dθ-2e-2μθgrsinθdθ+

2e-2μθμgrcosθdθ=0

d(e-2μθv2)-2e-2μθgrsinθdθ+2e-2μθμgrcosθdθ=0

對上式積分，得方程的通解為

(5)

且當t=0時，將θ=0,v=0代入上式，可得

(6)

所求方程的通解為

(7)

質點離開球面時，N=0，由式(1)得

v2=grcosθ

將上式 代入式(7)得

e-2μθ(3cosθ+6μsinθ)=2(1-2μ2)

(8)

即θ所滿足的關系

3cosθ+6μsinθ=2(1-2μ2)e2μθ

(9)

式(9)符合量綱分析得到的結論即θ只與μ有關．

討論：若質點與球面間無摩擦μ=0時得

e2μθ=1

(10)

3cosθ=2

(11)

即θ所滿足的關系

(12)

2 物體從球面頂點下滑的理想化問題

【例2】小物體自半徑為R的光滑球面頂點從靜止開始下滑，求：

(1)物體脫離球面時它與球心的連線與豎直方向夾角θ;

(2)小物體落到地面時的速度v.

解析：小物體自光滑球面頂點從靜止開始下滑，從運動學角度看，物體先做圓周運動，脫離后做拋體運動.從動力學角度看，物體在球面上受重力和支持力，物體下滑過程中，由于其速率逐漸增加，所以支持力逐漸減小直到脫離球面減小到零.小物體即將脫離球面的條件是N=0．

解法一：(1)小物體自光滑球面頂點從靜止開始下滑，到即將脫離球面，支持力不做功，只有重力做功，機械能守恒．以球面頂點為勢能零點，設物體即將脫離球面的速度為v1，則

(13)

由牛頓第二定律，得

(14)

物體脫離球面條件

N=0

(15)

解得

(16)

(2)設小物體落到地面時的速度為v，由機械能守恒得

解得

(17)

物體脫離后做拋體運動，水平方向分速度不變

(18)

設小物體落地時速度與水平方向的夾角為α，所以

(19)

(20)

解法二：對于球面上運動的質點，運動軌跡的切線方向上有

(21)

法線方向上有

(22)

由式(21)得

其中，s為運動路程，亦即半圓柱周圍弧長.即

vdv=gsinθds

又因為Rdθ=ds,即

vdv=gsinθRdθ

(23)

設質點剛離開圓柱面時速度為v，離開點與豎直方向夾角為θ，對式(23)兩邊積分，得

(24)

剛離開圓柱面時N=0 即

(25)

聯立式(24) 、(25) 得

【例3】如圖2所示，在光滑水平面上放置一半徑為R、質量為M的光滑半球.質量為m的小滑塊自球面頂部由靜止開始受微小擾動下滑，求：當m=M時，滑塊滑至何處(θ為多少)時脫離球面？

圖2

解析：滑塊脫離半球的瞬間，相對球面的速度為u，沿球面切向；半球對地速度為v，滑塊脫離半球后，半球速度不變．

(26)

以半球、滑塊為系統，水平方向不受外力，動量守恒,則

m(ucosθ-v)-Mv=0

(27)

由系統機械能守恒

(28)

由式(26)～(28)得

cos3θ-6cosθ+4=0

(29)

圖3

(2)凡能在O點脫離滑道的小滑塊，其落水點到O2的距離為多大？