一種阻尼振動規律的研究

姜付錦

(武漢市黃陂區第一中學 湖北 武漢 430030)

文獻[1]對在粗糙水平面上的彈簧振子的運動規律進行了定性和半定量的研究，但是沒有給出振子的振動圖像，不夠系統和完整；文獻[2]對這個模型的a-x,x-t圖像進行了定性和半定量研究，分析方法科學有效；文獻[3]從這個模型的“雙平衡位置”的角度出發展開了研究，并得到了a-x,x-t圖像和部分運動規律．筆者受到以上三篇文章中思想的啟發，借助MathCAD對這個問題也進行了分析研究，得到了和以上三篇文章中相同的結果并進行了有效補充，以下是分析過程，文中若有不當之處還請各位物理同仁批評指正．

[題目]如圖1所示，將一根勁度系數為κ的彈簧與一質量為m的物塊相連，置于粗糙的水平面上，已知物塊與水平面的滑動摩擦力大小為f，彈簧處于原長時，物塊位于O點．用力向左緩慢推物塊從O點至A點，且使OA=L，之后撤去外力，物塊將在水平面上來回運動，試分析物塊的運動規律．

圖1

1 建立模型

如圖2所示，物塊在運動過程中會受到重力G、地面的支持力FN、彈簧的彈力F和地面的滑動摩擦力f作用，其中重力和支持力是一對平衡力．彈簧彈力F與摩擦力f是兩個變力．F的大小方向與彈簧的形變有關，f的大小一定，方向與振子的運動方向相反，若將f等效為重力則彈簧振子在振動過程中有兩個平衡位置(即文獻[3]中所指的“雙平衡位置”)．若以O點為坐標原點向右為正方向，建立坐標軸Ox，設在某一時刻物塊位于P點，偏離原點的位移為x，則物塊運動微分動力學方程如下

圖2

2 用MathCAD解微分動力學方程

為了研究問題的方便，不妨令L=10 m,κ=10 N/m,m=1 kg,f=2 N,g=10 m/s2，則上式可整理為

x(0)=-10x′(0)=0

i:=1:5000S:rkfixde (x,0,40,3000,D)

T:S<0>X:=S<1>V:=S<2>

圖3 彈簧振子振動x-t圖像

圖4 彈簧振子振動v-t圖像

圖5 彈簧振子速度v與位移x圖像

圖6 彈簧振子機械能E與位移x圖像

3 圖形分析

上圖中圖3為彈簧振子振動x-t圖像，圖4為彈簧振子振動速度v-t圖像，圖5為彈簧振子速度與位移v-t圖像，圖6為彈簧振子機械能E-x圖像，它們與文[2][3]中的圖一致．

圖7 彈簧振子的x-t圖像

圖8 彈簧振子的v-t圖像

圖9 彈簧振子的v-x圖像

4 彈簧振子的周期

5 彈簧振子振動規律的解析解

若令L=10 m,κ=10 N/m,m=1 kg,f=2 N,g=10 m/s2，則有

圖10 彈簧振子的x-t圖像

圖11 彈簧振子的v-t圖像

與前面的圖3、圖4、圖5相同，即振動方程為

6 結語

參考文獻

1 王興堂．粗糙水平面上彈簧振子運動的研究.物理通報，2011(12)：90～91

2 馮德強，黃雄.從一道題的錯解說彈簧振子.物理通報，2011(10)：89～91

3 陸天明.對一道雙平衡位置振動問題的討論.物理通報，2011(10)：92～93

4 姜付錦.此題還有一解——對《正確使用平均值》一文的補充.物理通報，2011(7)：94，98