彈簧等效質量和勁度系數示波器測量法

穆秀家 鮑鋼飛 陳 軍 韓 岳

(山東農業大學物理實驗中心 山東 泰安 271018)

在彈簧振動系統振動實驗中，通常是用秒表測量振動系統的振動周期，由于人的反應時間和測量時對振動系統振動位置判斷上存在著不確定性，使得測量結果重復性差．筆者以圓柱狀彈簧作為電感元件與電阻構成串聯電路，以信號發生器輸出的高頻正弦電壓信號施加到電路二端，在振動系統處于穩態時，電阻二端電信號處于穩定的高頻正弦電壓狀態，當振動系統振動時，由于彈簧長度發生變化，電感也發生變化，電阻二端電信號亦發生變化，此變化的電信號反映彈簧振動系統振動過程，利用數字示波器的掃描模式顯示，并記錄振動系統在一段時間內的振動過程，從而使得測量結果重復性很好．

1 原理

將彈簧振動實驗中的長直彈簧與電阻R串聯，由于長直彈簧可看作長直螺線管，電感系數為L，所以構成LR串聯電路，在此串聯電路兩端與正弦信號源相接，如圖1所示.

圖1 實驗裝置示意圖

此電路滿足方程為

(1)

式中，i為交流電流，Um為信號源輸出正弦電壓振幅，ω為信號源輸出信號的角頻率，R為串聯電路的串聯電阻，RL為長直螺線管的等效電阻．解方程(1)得電路穩態電流[1]

式中，φ0為電路中電流的初相位．由此，可得電阻R二端電壓為

(2)

在彈簧系統處于穩定狀態時，即彈簧長度不變，電阻R二端電壓信號在數子存儲示波器屏上的顯示，如圖2所示．

圖2 彈簧長度不變R二端電壓信號的顯示

ma=-κ(l-ls)

(3)

l-ls=Asin(ωjt+φ10)

式中A為振動系統的振幅，ωj為振動系統振動角頻率，φ10為振動系統的振動初相位，所以

l=Asin(ωjt+φ10)+ls

因此電阻R二端電壓為

(4)

圖3 彈簧振動系統的振動周期

由于ω值很大，ωj值相對很小，彈簧振動系統振動信息通過彈簧電感元件反映到電路中．因此，振動系統的振動過程通過電阻R二端電壓信號體現出來，此信號輸入到數字存儲示波器，利用數字示波器掃描模式顯示，記錄一段時間內的電壓波形，使用示波器光標模式中的手動模式測量波形兩高峰之間的時間差，或測幾個波形高峰之間的時間差取平均值，即為彈簧振動系統的振動周期，如圖3所示．

m=κQj

(5)

由于理想彈簧下掛質量m等于彈簧的等效質量、托盤質量與砝碼質量之和，即

m=ms+mt+mf

其中，ms為彈簧的等效質量，mt為托盤質量，mf為砝碼質量；并設mj=mf+mt，式(5)變為

mj=κQj-ms

(6)

用電子天平稱出托盤質量mt，通過改變mj質量，測出相應的彈簧振動周期，根據mj與Qj關系數據作最小二乘法擬合，求出彈簧的勁度系數κ、彈簧的等效質量ms值．

2 實驗裝置簡介

實驗裝置連接如圖4所示,彈簧用銅鎳等金屬合金材料制成，其彈簧直流電阻RL=2.290 Ω(用直流電橋測得)，電阻箱為交流電阻箱，正弦信號發生器為20 MHz的EM32201 DDS型全數字合成任意波發生器，數字存儲示波器為60 MHz的RIGDL DS5062CA型，電子天平為JT2002型，連接彈簧的細導線用柔軟性能很好、很細的漆包線．

圖4 實驗裝置連接示意圖

3 實驗內容和方法

(1)用JT2002電子天平稱出托盤質量mt，并計錄下來．

(2)按圖4接線，實驗裝置如圖5所示．

圖5 實驗裝置照片

(3)由于彈簧的電感系數較小，為了獲得較好實驗效果，電阻R選取2 400.0 Ω；打開信號源電源，信號源輸出波形選正弦波，選輸出頻率f=4 850.0×103Hz,信號源輸出幅度Um=6.00 V；打開數字示波器電源，示波器觸發方式選自動，光標模式選手動，光標類型選時間，信源選擇選CH1，為使振動系統穩定時電壓波形顯示約半屏，CH1垂直控制選擇500 mv/div，示波器水平掃描選200 ms/div，調整好儀器；按下單刀開關，接通電路．

(4)彈簧下端不掛托盤及不放砝碼時，用手輕輕稍微下拉彈簧，靜態后放手，讓其自由振動，按一下數字示波器的“RUN”開關之后，示波器屏上就顯示幅度隨振動系統振動而變化的波形，從屏左邊向右掃描，接近完成一次掃描時，按下數字示波器的“RUN”開關，示波器屏上振動系統振動變化的波形一直保持到下一次按數字示波器的“RUN”開關之前；調整兩條時間測量光標，使其分別對準屏上相鄰波峰的峰點，如圖3所示，示波器屏右上角就顯示出兩峰之間的時間之差，這個時間之差就是振動系統的振動周期，記入表格1，重復操作5次．

(5)在彈簧下端掛托盤而不放砝碼時，按上述測量方法測量振動系統振動周期并記入表1，重復操作5次．

(6) 在彈簧下掛砝碼盤，并分別放 500，1 000,

1 500,2 000,2 500 mg的砝碼,分別重復上述測量方法測量彈簧振動系統振動周期并記入表1，重復操作5次．

(7)關掉示波器及信號電源，取下砝碼并將砝碼放回砝碼盒．

4 實驗結果

表1砝碼質量與相應振動系統振動周期實驗數據表mt=1.490 g

mj/gTj1/msTj2/msTj3/msTj4/msTj5/msT-j/ms0632.0632.0632.0632.0632.0632.01.490688.0696.0696.0696.0696.0694.41.990720.0712.0712.0712.0712.0713.62.490736.0728.0728.0736.0728,0731.22.990744.0752.0744.0752.0752.0748.83.490760.0760.0768.0768.0768.0764.83.990784.0784.0784.0784.0792.0785.6

表2 數據處理表

由表2得

Lmm=∑(mji-mj)2=10.810 1 g2

147.195 8× 10-4gs2

相關系數r=0.999 6,說明質量mj與相應的Qj值線性關系很好．

ms=733.887×1 334.286×10-5

-2.348 6=7.443 5 g

因此，回歸方程為

mj=733.886Qj-7.443 5

在回歸方程中κ及ms的標準差計算如下：首先從回歸線上取得的mj=733.886Qj-7.443 5值與相應的mji值之差按貝塞爾公式求出其標準差，設υi為殘差，則

υi=mji-(kQji-ms)

(7)

將κ，ms值代入式(7)，求得殘差υi，并求出相應的殘差平方填入表3．

表3 數據處理表

得

根據以上數據求實驗標準差[4]

因此，參數κ，ms的標準不確定度為

彈簧的勁度系數的實測結果[4]為

κ=(733.9±8.7) g/s2

正負號后之值按標準差給出，它并非置信區間．

彈簧的等效質量的實測結果為

ms=(7.44±0.12) g

正負號后之值按標準差給出，它并非置信區間．

5 結束語

本實驗將傳統物理實驗中的非電學物理量轉換為電學物理量進行測量，為測量彈簧振動系統振動周期提供了一種直觀的測量方法，同時也為觀察彈簧振動系統在一定時間內的振動情況提供了方便；把一個純粹的力學實驗變成了集力學、電磁學、電子測量技術為一體的綜合性實驗，并且也充分利用了高等學校物理實驗室所共有的電子儀器．

參考文獻

1 北京大學數學力學系高等數學教材編寫組.常微分方程與無窮級數.北京:人民教育出版社,1978.50～51

2 (美)F.W.Sears著.郭泰運譯.大學物理學.北京：人民教育出版社，1979.336～337

3 金子瑜.概率論與數理統計.石家莊:河北人民出版社,1985.276～277

4 施昌彥.測量不確定評定與表示指南.北京:中國計量出版社,2004.34～35，56～58