巧借包絡線方程 解斜拋中的極值問題

張文理

(南京師范大學附屬中學 江蘇 南京 210003)

研究斜拋運動的常見方法是運動的合成與分解，把運動看作是兩個直線運動的疊加，根據不同的情景采用不同的分解方法，然后再進行數學處理．解斜拋中的極值問題，數據處理過程中會涉及到復雜的二次函數、三角函數極值運算，計算相當繁瑣．選擇合適的分解方法會在一定程度降低分析的難度，但無疑又對學生的思維和熟練程度提出了挑戰．那么，是否存在普適的方法呢？我們不妨嘗試借用包絡線方程，去求解斜拋中的極值問題．

模型：一大炮發射炮彈，初速度為v0，忽略空氣阻力和重力加速度變化的影響，求炮彈所能達到區域的邊界方程．

分析：如圖1所示，設定拋射點為坐標原點，在拋射平面(豎直平面)內建立直角坐標系xOy，沿水平方向和豎直向上方向分別建立x，y軸，θ為初始拋射角，此時，斜拋運動在水平方向上的分運動是勻速直線運動，t時刻的水平位移

x=v0tcosθ

(1)

圖1

在豎直方向上的分運動是豎直上拋運動，t時刻的豎直位移

(2)

(3)

改變θ，將形成一簇拋物線，此拋物線所能達到的區域邊界曲線稱為拋物線簇的包絡線，拋物線與包絡線相切，炮彈是不可能達到包絡線以外的，如圖2所示．

圖2

將式(3)變形

(4)

式(4)即為包絡線方程，是一條拋物線．對于三維空間，邊界方程應為包絡面方程，在此不作贅述．

研究包絡線方程所包含的物理意義，可以得出這樣的結論：在拋射速度v0確定的情況下，對于包絡線上的某點(x，y)，若x值確定，y值必為斜拋過程中豎直方向所能達到的最大值；若y值確定，x值必為斜拋過程中水平方向所能達到的最大值；若對應于確定的某點(x，y)，v0則對應最小值．包絡線方程所包含的物理意義為斜拋問題提供了思路和便捷．

1 “推擲鉛球”中的極值問題

【例1】如圖3所示,在擲鉛球的運動中,如果運動員出手時的高度為h,速度大小為v0,問速度的方向與水平成多大角時擲得最遠？最遠射程為多少？

圖3

解析：取拋出點為原點，建立如圖3所示的直角坐標系，則落地點y=-h.

根據包絡線方程

可得

解方程得

此值即為最遠射程.

拋射角為

2 “翻越固定障礙物”中的斜拋問題

【例2】如圖4所示，從A點以v0的初速度拋出一個小球，在離A點水平距離為s處有一堵高度為h的墻BC，要求小球能越過B點．問小球以怎樣的角度拋出，才能使v0最小？

圖4

解析：取拋出點為原點，包絡線經過點(s，h)，根據包絡線方程

可得

解方程得

此值為拋射速度的最小值.此時拋射角滿足

3 “斜面”上的斜拋問題

【例3】如圖5所示，在仰角α=30°的雪坡上舉行跳臺滑雪比賽，運動員從高處滑下，能在O點借助于器材以大小為v0的速度跳起，最后落在坡上A點，假如v0大小不變，問速度方向以與斜面方向成怎樣的β角起跳能使OA最遠？最遠距離為多少？

圖5

解析：以拋出點為坐標原點，建立如圖6(a)所示的直角坐標系，包絡線方程為

斜面方程為

y=-xtanα

聯立可得

圖6

此解即為水平方向的最大射程，LOA為沿斜面方向的最遠距離，由幾何關系易求得沿斜面的最遠距離

此時拋射角θ(速度與水平方向的夾角)滿足

如進一步運算，還可以得出：速度方向與斜面的

傾角滿足

若改變拋射方式，從斜面底端拋射，如圖6(b)所示，參照以上解題過程，我們很容易得出沿斜面的最遠距離

速度方向與斜面的傾角滿足

4 結語

通過以上分析，可以體會到包絡線方程對解決斜拋中極值問題的廣泛適用性和思路的便捷性.方法、模型的遷移推廣，使學生極易掌握分析問題的一般方法，從而獲得成功的體驗．