解析幾何法在磁場邊界類問題中的應(yīng)用

樓柯峰

(紹興縣柯橋中學 浙江 紹興 312030)

帶電粒子在磁場中的運動常常以壓卷題的形式出現(xiàn)在各地模擬卷和高考卷中.這類命題綜合性強，難度較大，要求學生能靈活地把數(shù)學思想方法與物理模型相互滲透.而“應(yīng)用數(shù)學處理物理問題的能力”正是《考試說明》提出的“五種能力”之一.分析近三年的磁場類命題，可以發(fā)現(xiàn)“求磁場分布區(qū)域”或“求粒子運動區(qū)域”出現(xiàn)的頻率較高，它們的核心就是“求磁場中的曲線方程”，而求曲線方程正是解析幾何的基本問題之一，因此我們完全可以用數(shù)學方法來探求.

1 直接法

圖1

(1)從頂點A沿AB方向射入的電子在磁場中的運動時間t；

(2)磁場大小、方向保持不變，現(xiàn)改變勻強磁場分布區(qū)域，使磁場存在于y軸與虛線之間，示意圖見圖1(b)所示，仍使放射出的電子最后都垂直穿過y軸后向右運動，試確定勻強磁場左側(cè)邊界虛線的曲線方程.

解析：(1)由題以及等邊三角形的性質(zhì)知電子在磁場中運動的軌跡半徑R=a，進而解得

(2)設(shè)電子從點P(x，y)進入磁場，O1(0，b)為軌跡圓圓心，如圖2所示.因電子出磁場時速度垂直y軸，則∠PAC=∠PO1D等于電子在磁場內(nèi)的偏轉(zhuǎn)角，所以△PAC與△PO1D相似.可列等式

同時滿足x2+(y-b)2=a2;消去(y-b)得磁場左邊界方程為

圖2

直接法就是“將動點滿足的幾何條件或者等量關(guān)系直接坐標化，然后列出等式化簡即得動點軌跡方程”.物理中最常用的條件是直角三角形、相似三角形和圓方程.

2 參數(shù)法

【例2】如圖3，在0≤x≤2a，-a≤y≤a內(nèi)某一區(qū)域存在一勻強磁場，方向垂直紙面向里.在直線y=a的上方，直線x=0與x=2a之間的區(qū)域內(nèi)，有一沿y軸負方向的勻強電場，場強為E.一質(zhì)量為m，電荷量為+q的粒子以速度v從O點垂直磁場方向射入(粒子是從O處馬上進入磁場);當速度方向沿x軸正方向時，粒子恰好從O1(x=a的位置)點正上方的A點沿y軸正方向射出磁場.不計粒子重力.

(1)求磁感應(yīng)強度B的大小.

(2)若粒子以速度v從O點垂直磁場方向射入第一和第四象限，為使這些粒子射出磁場后在電場中運動的時間相同且最長，則應(yīng)加怎樣的磁場?寫出所加磁場的邊界方程.

圖3

解析：(1)由題知該粒子在磁場中運動的軌跡半徑r=a,可得

(2)要使這些粒子射出磁場后能在電場中運動的時間相同且最長，則要求進入電場時的速度與電場線平行.設(shè)與y軸正方向成θ角的粒子從磁場邊界某點P(x,y)射出.由題知粒子運動軌跡對應(yīng)的圓心角剛好為α=(90°-θ)，如圖4.由幾何關(guān)系得P點坐標為

圖4

x=a(1-cosα)

y=asinα

利用sin2α+cos2α=1,消去α,得邊界曲線的方程為

(x-a)2+y2=a2

即所加磁場在以(a，0)為圓心，半徑為a的圓內(nèi)，如圖4中虛線所示.

參數(shù)法就是“動點的坐標(x，y)中的x，y分別隨另一變量的變化而變化，以這個變量為參數(shù)，建立軌跡的曲線方程”,常用參數(shù)是角度.

3 定義法

圖5 圖6

(1)求離子打到熒光屏上的范圍.

(2)粒子運動周期

所以該時刻這些離子所在位置構(gòu)成的曲線方程為一條直線,即

圖7

本題是借用解析幾何中的定義法解曲線方程.定義法就是“當動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如圓、拋物線、雙曲線、直線等)，就可用定義直接探求”.如本例中(2)是直線方程，(3)是圓方程.(3)問實際上是第二類動態(tài)圓(從同一點同時射入磁場的粒子速度方向不定，大小確定)的問題.經(jīng)相同時間t，這些不同方向入射的粒子轉(zhuǎn)過圓心角α相同，且各角對應(yīng)的弦長L也相等.t時刻粒子所在位置構(gòu)成一個以初始入射點為圓心，半徑為L的圓Ⅰ.當α=180°時，對應(yīng)各軌跡圓所能到的最遠點，其包絡(luò)面為圓Ⅱ.另外各軌跡圓圓心也構(gòu)成一個圓Ⅲ,如圖8所示.

圖8

4 特殊模型法

圖9

解析：此題有兩種解法.

圖10

又因為(x，y)點也屬于圓軌道，所以有

x2+(y-b)2=r2

兩式聯(lián)立消去(y-b)，便得

(r2-x2)y2=(a-x)2x2

這是一條過(0，0)點的四次曲線，只取它在第Ⅰ象限的部分代表磁場區(qū)域的右邊界，左邊界為右邊界相對y軸的對稱曲線，應(yīng)是

(r2-x2)y2=(a+x)2x2

因此，磁場邊界可表述為

又有r

圖11

(2)利用特殊模型，當“磁場圓”半徑和“粒子軌跡圓”的半徑相等時，兩圓的交點和兩圓的圓心共四個點剛好構(gòu)成一個“菱形”，能實現(xiàn)磁擴散和磁會聚，如圖12.

圖12

將上述情況合并,就是本題的另一種解法.即在第Ⅰ,Ⅱ象限各有一個圓柱形的磁場區(qū)，圓柱的軸線和磁場都垂直于xOy平面，圓心分別在(a，r)點和(-a，r)點，半徑都是r，那么從P點發(fā)出的離子經(jīng)過第Ⅱ象限磁場的偏轉(zhuǎn)后，沿著平行于x軸的方向向右飛出磁場區(qū)，離子進入第Ⅰ象限后，經(jīng)過與第Ⅱ象限相反的路線會聚到R點.這種磁場可使從P點發(fā)出的所有在xOy平面內(nèi)的離子都到達R點，如圖13所示.

圖13

本題解法(1)是借用“直接法”,解法(2)是利用“特殊的物理模型”——“磁場圓”與“軌跡圓”半徑相等時的磁會聚、磁擴散.