利用結論巧解“甲蟲和橡膠帶”問題

鄭金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

貴刊的《均勻拉伸的橡膠帶上任意一點的速度公式》[1]一文，通過高等數學的微積分知識推導出了在任意時刻t橡膠帶上各位置x處的對地速度，但沒有求出總時間.本文將給出一個數學結論，同時把橡膠帶按直線拉伸的過程等效為按圓周擴大的過程，利用等效法和結論對原題作解答，可避免積分過程，且直觀簡便.

1 數學結論

即

若變量x=f(t)是時間的函數，則式中的常系數τ稱為時間常量，其國際單位是s.

2 結論證明

兩邊積分為

即

可知

則

代入初始條件t=0,x=x0，得C=x∞-x0，所以

由此可見，變量x隨時間t按指數規律變化，從理論上看，需要經歷無限長的時間才能達到穩態f(t∞)=f(∞).但實際上，因為e-5≈0.006 7≈0，所以可認為當t=5τ時，變量已趨近于穩態值f(∞).這一變化過程稱為瞬態過程.從物理上說，上述結論可稱為瞬態過程的結論.從數學上說就是關于一階常系數線性微分方程的結論.

常見的瞬態過程是某一變量隨時間呈指數規律變化.而另類瞬態過程則是某一變量隨另一個非時間變量呈指數規律變化.

3 結論應用

【原題】[1]一條水平的橡膠帶長為L，一端固定在墻上，另一端是自由端．令自由端以速度v0運動而將橡膠帶不斷地均勻拉長．同時，橡膠帶上的一只甲蟲從墻開始沿橡膠帶向自由端運動，甲蟲在橡膠帶上的速度始終為u，且u

圖1

解析[2]：設想橡膠帶圍成一個圓周，圓心為O點，橡膠帶的起點和終點重合為一點A，如圖1．由于橡膠帶是均勻伸長的，則圓周隨時間均勻增大，但橡膠帶上任意一個定點始終在同一半徑上，即在圓周均勻增大的過程中，橡膠帶上任一點的運動為沿同一半徑的直線運動.

x=L+v0t

則圓周半徑為

因此角速度為

在時刻t的角位移為

變形為一階常系數線性微分方程的標準形式為

由此可知，時間變量t將隨角度變量θ按指數規律變化，是另類瞬態過程.利用結論得

到終點時，θ=2π，所以經歷的時間為

瞬態過程的結論可用來解答很多大學物理問題，現舉兩例.

解析:(1)由理想氣體狀態方程有pV=nRT，氣體對活塞的彈力為

圖2

(2)由牛頓第二定律列微分方程為

其中速度

則

變形為

當活塞停止時，vx=0.所以此時活塞的位置坐標為

活塞初速度v0越大，停止時被壓縮氣體體積越小.當v0→∞時，壓縮氣體體積趨于零，即穩態值趨于x∞=0.但實際上是不可能的.

【例2】[4]質量為m的質點，在有阻力的空氣中無初速度地自離地面高為h的地方下落.如阻力與速度成正比，試研究其運動.

解析：設質點下落速度v=f(t)，所受空氣阻力f=kv，同時受重力G=mg，以豎直向下為正方向，由牛頓第二定律有

由此得關于v的一階常系數線性微分方程的標準形式為

由瞬態過程的結論可知速度隨時間變化的關系式為

所以速度變化規律為

表明與速度共線的正比例線性力的沖量跟位移成正比.

圖3

對質點下落過程，由動量定理有

mgt-ks=mvt-mv0

由此得質點下落的位移為

如果把空氣阻力表示為f=mkv，則質點運動規律為

如果以質點的落地點為坐標原點O，豎直向上為x軸建立坐標系，則質點的運動規律為

綜上可見，求運動速度和位移避免了積分運算，比原解簡便很多.因此利用結論解題，可化繁為簡、提高效率；還可對由積分過程所得結果進行檢驗，一舉多得．

參考文獻

1 項林川.均勻拉伸的橡膠帶上任意一點的速度公式.物理通報，2010(8):72

2 趙燦冬.用角速度巧析“螞蟻爬橡皮繩悖論”. 物理教師，2005,26(8)：45

3 漆安慎，杜嬋英.力學基礎.北京：高等教育出版社，1982.144～145

4 周衍柏.理論力學教程(第二版).北京：高等教育出版社，1986. 39～40