物理解題中的極值方法

楊國平

(紹興市第一中學 浙江 紹興 312000)

極值問題又叫最值問題，對應于物理變化過程中出現的一種特殊狀態(題意中經常會出現“最大”、“最小”、“至少”等字眼).極值類問題常作為競賽和高考中的難題，為命題者所青睞.就解題的策略而言，通常有數學和物理兩種途徑.

1 極值問題的數學解法

粗淺地說，解極值問題的過程可分為兩步:一是建立模型;二是根據題給條件和相關物理規律，把待求量表述為某種數學形式(如一元二次方程)，然后利用數學手段求解.常涉及到的知識點有以下三個.

1.1 二次函數y = ax2 +bx+c的性質

(1)配方法

a> 0時y有最小值;

a< 0時y有最大值.

【例1】 圖1所示為一定質量理想氣體的狀態變化圖，在狀態A時的溫度為300 K.求氣體從狀態A沿直線變化到狀態B的過程中，能達到的最高溫度.

圖1

解析:由理想氣體狀態方程知，氣體由狀態A變化到待求狀態的過程中，有

(1)

又直線AB的數值方程為

p= 4 - 0.5V

(2)

代入得

T= -25V2+200V= -25(V- 4)2+ 400

當V= 4時,Tmax= 400，所以最高溫度為400 K .

(2)Δ判別法

要x有解，須有Δ =b2- 4ac≥ 0，從中能得到關于某一物理量的極值.

【例2】 在水平地面上方10 m高處，以20 m/s的初速度沿斜上方拋出一物體.不計空氣阻力，g取10 m/s2,求物體的最大射程.

圖2

解析:以拋出點為原點，建立直角坐標系xOy，如圖2所示.設v0與x軸的夾角為θ，飛行時間為t，有

x=v0cosθ·t

(1)

(2)

聯立式(1)、(2)消去參數t，得軌跡方程

代入數據有

要使tanθ有解，據Δ ≥ 0 解得

x2≤2 400 m2

1.2 三角函數的有界性

利用三角函數sinθ,cosθ的有界性(最大值為1)，可求出三角函數的極值以及對應的θ角.通過和差化積、積化和差等手段，最后常常會出現形如

等結果，這樣就能確定y的最值.

【例3】 如圖3所示，木塊和水平地面間的動摩擦因數為μ，力F斜向上拉木塊在水平面上勻速前進.求F和水平方向的夾角為多少時最省力.

圖3

解析：據圖3，有

∑Fx= 0 ∑Fy= 0

則Fcosα-f=0

(1)

f=μN

(2)

N+Fsinα-mg=0

(3)

聯立式(1)、(2)、(3)得

因

其中

故當tanα=μ,即α=arctanμ時

1.3 基本不等式的性質

若變量a>0，b>0，c>0，則有

當且僅當a=b(=c)時等號成立.特別值得一提的是，物理極值類問題中經常會出現y=sinθcos2θ的結果.令

因為

即和是定值，則當

y有極大值.

【例4】 電容式電壓計是空氣平行板電容器.一個極板固定不動，另一個極板可以垂直板面方向平動，如圖4所示.極板面積為S.當電壓為零時兩極板間距為d.勁度系數為κ′的彈簧固定在可動極板上.此儀器可以測量的最大電壓是多少？

圖4

分析：在兩極板加一電壓U后，所帶電荷量Q=CU.兩板因帶異種電荷而相互吸引，使得指針右移，同時改變了電容量，吸引力又得微調……因此，解該題先要找到力與極板間距之間的關系.

解析:令電壓U=0時，x=0.當電壓為U時,極板之間吸引力為F，當極板間距變化Δx后，板間電場能變化為

利用虛功原理

解得

帶電后，左板偏離了x，當彈簧彈力與吸引力平衡后，有

則

令

y=x(d-x)2=

2 極值問題的物理解法

利用數學知識求解極值問題，是最常用,也是最自然的方法.但把物理問題過分數學化，有時甚至會變成一長串數學式子而掩蓋了問題的物理本質.很多情況下我們可以根據物理概念和規律進行分析，明確題中物理量在什么條件下取極值，或出現極值時有何特征，然后根據這些條件或特征來尋找極值.

2.1 物理量及其變化率

2.2 作為物理知識儲備的條件可直接調用

例如，涉及兩個物體的追及問題，當速度相等時，兩者間距離出現極值(極大或極小);或在完全非彈性碰撞中系統動能損失ΔEk有最大值；在運動學極值問題中，還可借助光學中的費馬原理，甚至借用等時弦的結論；在電路中電源輸出功率最大的條件是r=R外，引入等效電源模型可使其應用范圍大大拓展；在采用力、速度等矢量圖解法時，常會出現垂線段最短的情況.試舉兩例如下.

【例5】小球從離地面高h處以初速度v0與水平方向成θ角斜向上拋出，在空中運動軌跡是一條拋物線.問小球水平最大射程是多少？

解析：斜拋運動也可看成是初速度方向的勻速直線運動和自由落體運動的合成.由此作出速度矢量圖，在圖5中，由機械能守恒可知

其大小是不變的.注意到水平射程

由圖5可知，該矢量三角形的面積為

又可表示為

則水平射程

圖5

【例6】在例3中，物體受重力mg，彈力N，摩擦力f和拉力F四個力作用.將f和N合成為一個全反力R，如圖6，它與豎直方向的夾角為φ，則

因此這個力的方向是不變的.摩擦角

φ=arctanμ

這樣木塊就可視為受重力mg，全反力R，拉力F三個力作用.因合力為零，所以mg，F，R組成封閉的矢量三角形，其中mg恒定，R的大小不定，方向定.在力矢量三角形中，當F垂直于R(即F與水平方向的夾角α=φ=arctanμ)時

圖6