基于Monte Carlo方法的艦船裝備系統任務成功概率模型

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(海軍工程大學 動力工程系,武漢 430033)

任務成功概率(mission completion success probability，MCSP)定義為在規定的任務剖面內，裝備系統能完成規定任務的概率，是任務成功性最根本的度量指標[1]。MCSP不僅與裝備自身的可靠性、維修性、使用環境、任務要求等因素相關，還與維修保障密切相關，因此該指標對裝備使用和指揮決策，以及維修保障決策均具有很強的指導性。基于此，系統的MCSP模型一直是研究的熱點，但縱觀現有的相關研究[2-5]，由于多是假設系統組成單元的壽命或故障間隔時間服從指數分布，沒有考慮單元已工作時間對系統MCSP的影響，且認為使用同類備件的單元的壽命也同分布，因而所建模型對于多為老裝備，且壽命或故障間隔時間多為非指數分布的艦船裝備而言，適用性較差。因此，本文基于Monte Carlo方法，建立綜合考慮系統組成單元獨立但不同分布，且壽命可為任意分布情況下的MCSP模型。

1 問題描述

對于艦船系統而言，由于受海上維修條件所限，維修工作主要是更換備件，MCSP與備件數量密切相關，另外，盡管艦船裝備系統十分復雜，但最終總能簡化為由多個串聯或并聯子系統所構成的串聯系統，因此，計算艦船裝備MCSP的關鍵在于計算有限備件保障下串聯和并聯系統的MCSP。

2 假設

1) 故障均可通過更換備件予以排除，不考慮因無法維修而導致的任務失敗，即任務成功與否僅與是否有足夠備件相關。

2) 忽略更換備件的時間，這是因為若裝備設計為可通過更換備件排除故障時，換件時間通常很短，與任務時間相比可忽略不計。這樣，連續無間斷工作的任務要求就轉換為裝備及其所攜帶的備件的總工作時間能超過任務時間的要求。

在上述假設成立的前提下，對于要求系統連續工作的任務，系統的MCSP等價于在給定備件保障條件下系統的持續工作時間大于任務時間的概率。對于單個單元，當假設備件在儲備期內不發生失效時，可根據冷儲備系統的理論計算其MCSP[6]；但是，對于由同類備件保障的串聯或并聯系統，當單元的壽命不服從指數分布時，很難建立系統的MCSP解析計算模型。因此，本文重點研究串聯和并聯系統的MCSP數值計算模型。

3 系統MCSP模型

3.1 串聯模型

系統由n個單元串聯而成，單元i的壽命為隨機變量Xi，任務前累積已工作時間為t0i，各單元相互獨立但不一定同分布，所有單元的故障均可通過更換同類備件予以排除?，F在的問題是：當系統由m個該類備件保障、執行時間為T的任務，系統的任務成功概率為多少。

顯然，當m=0時，系統的壽命等于原串聯系統的壽命，即n個單元的壽命的最小值，記原串聯系統的壽命為Y0，原串聯系統與m個備件組成的新系統的壽命為Xs，則

(1)

(2)

依次類推，帶m個備件時，由原串聯系統和m個備件構成的新系統的壽命等于m+1個串聯系統的壽命之和，從而

(3)

上式除指數分布因具有“無記憶”特性可以直接求解外，對于其它分布，由于剩余壽命的分布函數發生變化，直接求解十分困難，因此，利用Monte Carlo抽樣技術進行數值求解[7]。其計算步驟如下。

1) 利用抽樣公式得到各單元壽命的樣本值xi，從而原串聯系統壽命的樣本值為y0=min(x1,x2,…,xn)，壽命樣本值等于y0的單元為故障單元。這里，若考慮原工作單元的已工作時間，抽樣公式采用剩余壽命抽樣公式；

3) 根據故障單元編號，可標記各單元已工作時間，從而利用剩余壽命抽樣公式可依次得到y2,…，ym，這樣就得到了Xs的樣本值xs，若xs>T，任務成功，否則任務失??；

4) 將1)～3)的計算過程重復N次，根據概率論的理論，當N足夠大時，N次計算過程中任務成功的總次數與N的比值即為任務成功概率的近似值。

其中，第j次更換備件后，單元i已工作時間t0ij為

t0ij=t0i(j-1)·pij+yj-1

(4)

式中：t0i(j-1)——第j-1次更換備件后單元i的已工作時間；

pij——第j次更換備件時單元i的狀態變量，若i故障，pij=0，否則pij=1。

3.2 并聯系統MCSP模型

對于并聯系統，由于一個單元故障并不導致系統故障，因此在更換備件時有多種策略，比較典型的兩種換件策略是：單元故障時換件和系統故障時換件。由于換件時機不同，系統的MCSP計算方法也有所不同。

3.2.1 單元故障時換件的策略

需解決的問題與串聯系統類似，不同的是單元之間為并聯關系，采取的換件策略是一旦有單元發生故障且還有可用備件，立即更換備件并繼續投入工作。

當m=0時，系統的壽命等于原并聯系統的壽命，采用與串聯系統分析中相同的符號，則有

Xs=max(X1,X2,…，Xn)

(5)

當m=1時，由于采取了有單元故障就換件的策略，因此原并聯系統與1個備件構建的新系統的壽命相當于由兩部分合成。若將更換故障單元的時刻作為并聯系統的一次壽命終結，則新系統的壽命等于一個串聯系統與一個并聯系統的壽命之和，即

Xs= min(X1,X2,…，Xn)+

(6)

依次類推，原并聯系統與m個備件構建的新系統的壽命相當于m個串聯系統與一個并聯系統的壽命之和，即

(7)

同樣，對上式也只能利用Monte Carlo抽樣技術進行求解，其算法如下。

1) 利用抽樣公式得到并聯系統各單元壽命的樣本值Xi，從而原并聯系統壽命的樣本值為y0=max(x1,x2,…，xn)，各單元壽命的最小值z0=min(x1,x2,…，xn)，壽命樣本值等于z0的單元為故障單元。

3) 按同樣的方法，得到y2，…，ym，z2，…，zm，從而，m=0時，xs=y0；m>0時，xs=z0+z1+…+zm-1+ym，若xs>T，任務成功，否則任務失敗。

4) 將1)～3)的計算過程重復N次，當N足夠大時，N次計算過程中任務成功的總次數與N的比值即為任務成功概率的近似值。

其中，第j次更換備件后，單元i已工作時間t0ij的計算方法與串聯系統一致。

3.2.2 系統故障時換件的策略

當采取系統故障才換件的策略時，即并聯系統的n個單元全部故障才更換備件，最終可能會出現可用備件不足以更換整個并聯系統的情況，此時的策略是有多少換多少。但由于各個單元的壽命不一定同分布，因此，更換的單元不同可能會導致MCSP的計算結果不同。為此，必須確定備件不足時的更換原則，無論何種原則，其計算方法是一致的。故不妨設最后一次更換按單元平均壽命從大到小的順序進行。

假設備件數量與并聯單元數量存在如下關系。

m=k×n+hk=0,1,2…

(8)

式中：h——小于n的正整數。

上式表明，m個備件可對并聯系統進行k次整體替換，最后一次可更換原并聯系統中的h個單元。根據前面的分析思路，在該更換策略下，由n單元并聯系統和m個備件構建的新系統的壽命等價于k個n單元并聯系統和1個h單元并聯系統的壽命之和，即

Xs=k·max(X1,X2,…，Xn)+

MCSP=P{k·max(X1,X2,…,Xn)+

(9)

MCSP的數值算法與前述算法類似，對原并聯系統的壽命進行k次抽樣，對最后一次更換備件所得的并聯系統進行1次抽樣，累加這k+1個并聯系統的壽命樣本值，即可得到Xs的樣本值。

4 示例

根據任務需求確定需投入的裝備以及裝備之間的邏輯關系，同時確定各裝備的可更換單元，以可更換單元作為計算裝備系統MCSP的獨立單元。

按照只要通用同類備件就歸為同類單元的原則，并結合裝備之間的邏輯關系，確定裝備系統的結構函數F。不失一般性，假設A、B、C類單元分別由A、B、C類備件保障。

F=A·B1·B2·(C1+C2)

(10)

最后確認計算所需的初始數據，見表1。為簡化表述，假設各單元的壽命(h)均為威布爾分布。

表1 算例所需的輸入數據

完成上述工作后，即可利用文中給出的串并聯系統MCSP算法計算艦船裝備系統的MCSP。假設任務時間為360 h，并聯系統采取單元故障時換件的策略，取N=10 000，計算結果為

MCSPA=0.997 8，

MCSPB=0.907 3，

MCSPC=0.915 9。

從而有

MCSPSYS=MCSPA·MCSPB·MCSPC=

0.829 2。

5 結論

艦船裝備是一個十分復雜的系統，裝備之間的負載分擔、相關失效以及裝備自身的多狀態和多功能等諸多復雜特性都對系統的任務成功性存在影響。因此，要準確計算艦船裝備的任務成功概率，還有待于在充分考慮上述復雜特性的基礎上進一步展開深入研究。

[1] 殷鶴齡.可靠性維修性保障性術語集[M].北京：國防工業出版社,1990.

[2] 張 泉，張 濤，郭 波,等.有限備件條件下系統任務成功概率的求解算法[J].系統工程,2004,22(11)：95-98.

[3] 郭 波，張 濤，張 泉,等.備件組合方案下的多階段任務成功性評估模型[J].系統工程理論與實踐,2005(2)：94-99.

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[5] 劉 芳，趙建印，郭 波.可修系統任務分析與成功性評估模型[J].系統工程與電子技術.2007,29(1)：147-150.

[6] 曹晉華，程 侃.可靠性數學引論[M].北京：高等教育出版社，2006.

[7] 楊一民，盛一興.系統可靠性數字仿真[M].北京：北京航空航天大學出版社,1990.