關節式坐標測量機結構參數標定優化采樣策略

奚 思，于連棟

(合肥工業大學儀器儀表學院，安徽合肥 230009)

關節式坐標測量機結構參數標定優化采樣策略

奚 思，于連棟

(合肥工業大學儀器儀表學院，安徽合肥 230009)

利用高斯—牛頓法求解便攜關節式坐標測量機的標定參數時，其參數的可辨識性與Jacobin矩陣的條件數有關，而Jacobin矩陣的條件數決定于標定采樣點的坐標。因此，必須對參數標定的采樣策略進行優化。文中以錐孔標準桿件標定法為例，提出一種優化的采樣策略來增大各個關節取值范圍，從而使條件數最小化。經實驗驗證，采用這種優化采樣策略標定提高了測量系統的精度。

參數標定;采樣策略;高斯—牛頓法;條件數

便攜關節式坐標測量機具有靈活、便攜、價格較低等優點，適宜于車間現場使用，因此發展迅速、應用廣泛，其測量功能及測量精度已達到傳統三坐標測量機中等精度水平［1］。便攜式坐標測量機是一種串聯開鏈結構，因此其誤差因素復雜:第一，由于其機械結構串聯導致各個關節的角度誤差，通過桿件的長度被逐級放大;第二，加工及裝配過程中難保證各個結構參數與測量機設計初始值一致。因此難以保證測量機的測量精度。由于便攜關節式坐標測量機具有多個自由度，且其在應用中有便攜的需求，導致其無法固定于特定的位置姿態，以便直觀地檢定各單項結構參數誤差。因此，主要還是通過標定的方法獲得關節式坐標測量機的結構參數，以便得到精確的測量方程，從而提高測量機的精度。

目前的便攜式測量機結構參數標定方法，對標定過程中采樣策略并未做具體研究，如標準桿件法，石英棒在空間放置位置具有一定的隨機性。為得到理想的標定結果，只能無謂地增加標定次數。文中以標準桿件法為例，通過研究高斯—牛頓矩陣性態問題得出條件數對參數辨識性的影響，并通過模擬實驗找出了采樣點的各關節角度范圍與條件數的關系，以此提出一種優化的采樣策略。

1 標定過程中參數可辨識性

用D－H方法推出的測量機測量方程式中包含21項待辨識的參數:桿件長度 l1、l2、l3、l4、l5;桿件扭角α1、α2、α3、α4、α5;關節轉角 θ2、θ3、θ4、θ5、θ6;桿件偏置量 d2、d3、d4、d5、d6;測頭偏置量 l6，21 項參數記為 b1，b2，…，b21。對于可觀測性的量 x 與 y 有［2］?

式中，x 是自變量;y 為變量，向量 b=(b1，b2，…，bn)為n維待辨識的參數，n=21。要標定出這21項參數，則要通過m(m＞n)組觀測數據(x1，y1)…(xm，ym)尋求參數向量b的最佳估計值，這是典型的參數辨識問題。向量b的最佳估計值就是使得殘差 r=yi－fi，i=1，…，m 最小。于是有目標函數［3－4］

采用高斯—牛頓法將上式的非線性問題轉化為線性問題得線性方程

式中，A為 m ×21(m ＞21)階 Jacobin矩陣;Δ=［Δ1，Δ2，…，Δ21］T為21項待辨識的結構誤差參數增量。可看出Jacobin矩陣A與殘差r直接決定了方程組的解;矩陣A的性態決定了方程組解對干擾的敏感性，殘差r的大小取決于參數初值的選取以及測量機系統的穩定性等因素。

對于線性方程組Ax=b，關于矩陣性態有如不等式［5］

2 模擬實驗

在實際進行便攜式坐標測量機的參數標定時，采樣點坐標決定Jacobin矩陣的條件數。這里做個模擬實驗，采用基于兩點距離的高斯—牛頓法對測量機參數辨識，給出兩組柔性坐標測量機的關節空間坐標值A組和B組，其中A組數據各個關節變化范圍大，B組數據則將各個關節坐標值變化控制在很小的范圍內。將21項誤差初始值取相同值，發現用A組數據計算得出的Jacobin矩陣的條件數量級在103，用B組數據計算得出的Jacobin矩陣的條件數量級在106，由此可見在柔性坐標測量機的實際應用中，能夠通過增大測量機各關節空間的取值范圍來有效的改善Jacobin矩陣的條件數。

3 優化采樣策略

錐孔標準桿件標定法是分別記錄下探測錐孔標準桿兩端時關節式坐標測量機的姿態，并以兩端錐孔時球心之間的距離作為基準量來逆解測量機的21項參數［6］。

根據以上理論研究及模擬實驗的結論，為增大采樣的各個關節的變化范圍提出一種采樣策略:將標準件在測量機測量范圍內均勻放置，并在每一個位置采樣時均勻旋轉錐窩標準桿，可有效增大各個關節的取值范圍。為驗證這一策略的有效性，分別對比一下3種采樣策略。

(1)A組實驗將標準桿基座固定在與坐標機同一平面上，距離a=40 cm處，固定石英棒采樣500組數據，如圖1所示。處理所得結構參數如表1所示。

圖1 錐孔標定示意圖

(2)B組實驗將標準桿件基座固定在與坐標機同一平面上，距離同樣為40 cm處在空間內均勻旋轉石英棒采樣500組數據，處理所得結構參數如表2所示。

具體采樣方法如圖2所示。圖中粗直線為兩頭帶錐孔的石英棒，即標準桿件。在標定時，將石英棒在不同平面內均勻旋轉采樣，例如每隔10°放置標準桿并采樣，同可得到36組比對結果，接著，依次在平面2、平面3、…、平面n內均勻采樣，一直延續到整個測量空間［7］。

圖2 石英棒示意圖

(3)C組實驗將標準桿件基座固定在與坐標機同一平面，保持測量機位置固定不動，標準桿件以測量機底座為圓心，40 cm為半徑旋轉，如圖3所示，每隔60°放置一個位置采樣500組數據，采樣時石英棒的旋轉類似于步驟(2)。處理所得結構參數如表3所示。

圖3 石英棒圍繞測量機旋轉方式

表1 A組標定所得參數

表2 B組標定所得參數

表3 C組標定所得參數

將所求得的3組參數帶入坐標測量機，并對300 mm的量塊進行50次測量，量塊擺放位置任意選定。測量數據處理結果如表4所示。由表4可得C組中在保證標準桿件基座與坐標測量機距離與采樣次數均相同的情況下，空間內盡量均勻旋轉整個標準件和石英棒這種采樣策略標定得來的結果，相比另外兩種采樣策略要好得多，所得參數帶入測量機后，測量值更加接近真實值。

表4 3組參數標定結果

4 結束語

針對便攜式坐標測量機參數標定過程中運用高斯—牛頓法時矩陣性態的問題，指出了在標定柔性坐標測量機21項結構參數時，應減小Jacobin矩陣的條件數。為減小Jacobin矩陣的條件數，提出了一種增大各個關節取值范圍的采樣策略。以錐孔標準桿標定法為例，將標準件在測量機測量范圍內均勻放置，并在每一個位置采樣時均勻旋轉錐窩標準桿，有效增大了各關節的取值范圍。最后通過精度對比試驗驗證了這一策略增強了測量機參數系統誤差的可辨識性，保證了便攜式坐標測量機的精度。

［1］于連棟，程文濤，費業泰.基于激光跟蹤儀的關節式坐標測量機參數標定［J］.中國科學技術大學學報，2009，39(12):1329－1332.

［2］程文濤.關節式坐標測量機標定技術研究［D］.合肥:合肥工業大學，2011.

［3］BAI YING，WANG DALI.On the comparison of interpolation techniques for robotics position compensation［C］.IEEE International Conference on Robotics ＆ Automation，2003:3384－3389.

［4］鄧乃揚.無約束最優化計算方法［M］.北京:科學出版社，1982.

［5］陳志平，徐成賢.不精確高斯－牛頓法的收斂性［J］.工程數學學報，1997，14(4):1 －7.

［6］鄭大騰.柔性坐標測量機空間誤差模型及最佳測量區研究［D］.合肥:合肥工業大學，2010.

［7］汪平平.柔性坐標測量機精度理論及應用技術研究［D］.合肥:合肥工業大學，2006.

An Optimized Sampling Strategy of the Parameters Calibration for PCMM

XI Si，YU Liandong
(School of Instrumentation，Hefei University，Hefei 230009，China)

We use the Gauss-Newton method to find the parameters in the parameters calibration for PCMM(Portable Coordinate Measuring Machine).Then we find the relationship between the identification of parameters and the conditions numbers of Jacobin Matrix，and in practical the conditions numbers of Jacobin Matrix depends on the sample point.Therefore，the sampling strategy must be optimized.Using the cone and standard bar as a calibration standard，this paper presents an optimized sampling strategy to increase the value range of each joint and thus minimize the conditions number of Jacobin Matrix.Experiment results show that the sampling strategy of calibration greatly improves the measurement accuracy.

parameters calibration;sampling strategy;Gauss-Newton;the conditions numbers

TP274+.2

A

1007－7820(2012)08－132－03

2012-02-28

國家自然科學基金資助項目(51075117)

奚思(1988—)，女，碩士研究生。研究方向:精密儀器及機械。