一個恒定Lyapunov指數譜魯棒混沌系統及其微控制器實現

朱 雷，劉艷云，周小勇，喬曉華

（1.江蘇技術師范學院 電氣信息工程學院，江蘇 常州 213001；2.常州紡織服裝職業技術學院 機電工程系，江蘇 常州 213164）

以及共同的特征多項式

1963年，第一個混沌系統被美國學者Lorenz發現[1]，從此對混沌系統的研究受到國內外學者的廣泛關注。1999年，陳關榮等提出了與Lorenz系統對偶的Chen系統[2]。2002年，呂金虎等發現了連接Lorenz系統和Chen系統的Lü系統[3]。在此基礎上，新的混沌系統不斷被發現[4-6]。從工程應用可靠性角度出發，混沌系統應該具有魯棒性，以避免因控制參數的擾動而使系統進入非混沌狀態。恒定Lyapunov指數譜混沌特性則是一種特殊的魯棒混沌特性。2008年，包伯成等提出了一個含指數乘積項的魯棒混沌系統[7]。2009年，李春彪等提出了一個恒定Lyapunov指數譜混沌系統[8]，系統具有3個控制參數，其中一個參數可使系統處于恒定Lyapunov指數譜混沌狀態。此后，李對系統進行了改進[9]和推廣[10]。2011年以來，新的恒定Lyapunov指數譜混沌系統不斷被提出[11]或構建[12-13]。這些系統的一個共同特征是具有多個控制參數，其中1個或2個參數具有恒定Lyapunov指數譜混沌特性，而其它參數的變化則可能導致系統進入非混沌態。在此研究背景下，為提升系統的魯棒性，文中在基本Sprott-B混沌系統模型的基礎上[14]，引入1個控制參數改造其狀態方程，構建出一個恒定Lyapunov指數譜魯棒混沌系統。進一步的研究則表明控制參數對于系統的混沌振蕩還具有線性或非線性調幅作用。此外，在采用改進的Euler算法進行離散化的基礎上，通過微控制器MSP430F249對系統進行了實驗驗證，觀察到了系統的混沌吸引子。

1 恒定Lyapunov指數譜魯棒混沌系統模型

美國學者Sprott在1994年提出的基本Sprott-B混沌系統[14]表示為：

系統（1）具有兩個指標 2 的鞍焦平衡點 S1=（1，1，0）和S-1=（-1，-1，0），從而表現出一個兩翼蝴蝶混沌吸引子。

通過引入參數a并加載于系統 （1）的第一和第三個方程，從而構建出一個恒定Lyapunov指數譜魯棒混沌系統，其數學模型可表示為：

式中，a>0，x，y，z為系統的狀態變量。顯然，當取參數 a=1時，系統（2）便退化為基本Sprott-B系統（1）。當取參數 a=4時，系統存在一個典型的兩翼蝴蝶混沌吸引子，如圖1所示。此時系統 （2） 的 3個 Lyapunov指數為 LE1=0.213，LE2=0，LE3=-1.212，Lyapunov維數為 dL=2.176。

圖1 系統（2）的混沌吸引子（a=4）Fig.1 Chaotic attractor of system （2）（a=4）

2 系統的動力學分析

2.1 基本動力學分析

對于系統（2），在變換（x，y，z）→（-x，-y，z）下具有不變性，因此系統關于z軸對稱，且系統滿足

從而系統（2）耗散，且耗散性與參數a無關。代數計算可得系統（2）的兩個平衡點為 Q1=（，，0）和 Q-1=（-，-，0），分別在平衡點Q1和Q-1處線性化系統（2），得其 Jacobi矩陣：

和

以及共同的特征多項式

根據Routh-Hurwitz判據，平衡點Q1和Q-1均不穩定，可能產生混沌， 數值計算表明其特征根為 λ1=-1.353 2，λ2，3=0.176 6±1.202 8i，平衡點Q1和Q-1均為指標 2的鞍焦點，且其特征根與系統參數a無關。因此，參數a不影響系統在相空間上的動力學特征，在a變化時，系統（2）的Lyapunov指數保持恒定，下面進一步通過Lyapunov指數譜和分岔圖來揭示參數a的改變對系統狀態及動力學行為的影響。

2.2 恒定Lyapunov指數譜魯棒混沌特性分析

取參數區間 a∈[0.1，20]， 數值仿真得到系統 （2）的Lyapunov指數譜和分岔圖，如圖2所示。這里x-a分岔圖和y-a分岔圖選擇的Poincaré截面為z=0平面，而z-a分岔圖選擇的Poincaré截面則為動態的x+=0平面。從圖2可見，隨著a的變化，系統處于魯棒混沌狀態，其Lyapunov指數譜保持恒定，且參數區間內的Lyapunov指數實質就是系統在a=4時的Lyapunov指數值，需要說明的是由于數值計算的精度等因素使得Lyapunov指數譜譜線有輕微的波動。分岔圖則清晰地表明，隨著a的增大，系統的輸出信號x和y的混沌振蕩幅度非線性地增加，而z的振蕩幅度線性地增加。

圖2 a變化時系統（2）的Lyapunov指數譜和分岔圖Fig.2 Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagram with changing a of system （2）

2.3 調幅特性分析

上述Lyapunov指數譜和分岔圖仿真揭示出參數a的改變不影響系統的混沌特性和混沌強度，但卻可以改變系統的振蕩幅度，進一步的理論分析則可以證明參數a對于系統的混沌振蕩具有線性或非線性調幅作用。

定理1系統參數a是全局調幅參數，輸出信號x和y的幅值與a呈冪函數關系變化，其指數均為1/2，輸出信號z的幅值與a呈線性關系變化。

由此可知，a是全局調幅參數，系統（2）的狀態變量x和y的非線性調整對應于參數a的線性尺度變化，且輸出信號x和y的幅值與a呈a1/2關系變化，即與a呈冪函數關系變化，其指數為1/2，而狀態變量z的線性調整等價于參數a的線性尺度變化，即輸出信號z的幅值與a呈線性關系變化。證畢。

3 微控制器實現與實驗驗證

為通過微控制器以數字方式實現系統（2），須首先對系統進行離散化處理，從而使系統微分方程轉化為差分方程。對常微分方程的常用離散方法包括Euler算法、改進的Euler算法和Runge-Kutta算法等。在3種算法中，Euler算法效率最高，但精度相對較低，Runge-Kutta算法的數值計算精度最高，但基于微控制器實現時效率相對較低。綜合考慮算法效率和系統運行的實時性，文中選擇改進的Euler算法對系統（2）進行離散化處理，從而得到：

式中h為步長，n為迭代次數，且

實驗過程中選擇TI公司著名的16位低功耗微控制器MSP430F249，結合Linear Technology公司的16位高速并行D/A轉換器LTC1668，實現混沌信號的物理產生，通過示波器XY輸入方式便可觀察到系統的混沌吸引子。根據式（8）、（9）和（10）可以編制出基于MSP430F249的C語言程序，取參數a=4，程序中設置 （x，y，z）的初值為（0.45，0.45，0），步長 h=0.001，采用高分辨率的安捷倫DSO7032A數字示波器進行了實驗觀察， 結果如圖 3 所示。 通過與圖 1（b）、（c）、（d）對比可以發現，系統運行后得到的混沌吸引子驗證了前文的數值仿真結果，二者保持一致，以基于微控制器的數字方式完全可以實現本文所構建的恒定Lyapunov指數譜魯棒混沌系統。

圖3 微控制器實現的混沌吸引子Fig.3 Chaotic attractor implemented by Microcontroller

4 結 論

文中在基本Sprott-B混沌系統的基礎上，引入1個系統參數a后改造原系統的第一和第三個方程，從而巧妙地構建出一個恒定Lyapunov指數譜魯棒混沌系統，該系統具有兩個受參數a控制的指標2的平衡點，能表現出典型的兩翼蝴蝶混沌吸引子。研究過程中利用相軌圖、Lyapunov指數譜和分岔圖等動力學分析手段對新系統進行了數值仿真，研究結果表明，系統對參數a保持恒定的Lyapunov指數譜，從而可以工作于魯棒混沌狀態。理論分析則揭示出參數a對于系統的混沌振蕩具有線性或非線性調幅作用，從而為其在混沌保密通信等領域的應用奠定了理論基礎。在仿真研究和理論分析的基礎上，采用基于微控制器MSP430F249為核心的數字方式對系統進行了實驗驗證，采用改進的Euler算法進行系統的離散化處理，利用C語言編程，通過對混沌吸引子的觀察，實現并驗證了本文所構建的恒定Lyapunov指數譜魯棒混沌系統。

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