余分解子范疇的刻畫

周 震

（中國(guó)人民解放軍69220部隊(duì) 52分隊(duì)，新疆 庫(kù)車 842000）

余分解子范疇的刻畫

周 震

（中國(guó)人民解放軍69220部隊(duì) 52分隊(duì)，新疆 庫(kù)車 842000）

給出了余分解子范疇的刻畫，其結(jié)果將為研究Hall代數(shù)和模范疇提供方便．

短正合列；共變有限子范疇；余分解子范疇

1 預(yù)備知識(shí)

一個(gè)子范疇Y稱為余分解子范疇，如果它滿足以下3個(gè)條件：(a) 對(duì)擴(kuò)張封閉；(b) 對(duì)單射的上核封閉；(c) 包含所有的內(nèi)射Λ-模[1]．

對(duì)偶地，子范疇稱為可分解子范疇，如果它滿足以下3個(gè)條件：(a) 對(duì)擴(kuò)張封閉；(b) 對(duì)滿射的核封閉；(c) 包含所有的投射Λ-模[1]．

2 主要結(jié)果

一些結(jié)論的完備性在相關(guān)文獻(xiàn)和著作中均有證明，下面我們將給出一些結(jié)論或命題的平凡性的證明．

命題2.1 若Y是modΛ的一個(gè)余分解子范疇，對(duì)于modΛ中的正合列的交換圖

因此下面的正合列的交換圖

成立，這個(gè)圖是根據(jù)同調(diào)代數(shù)中拉回定理構(gòu)造的，由于拉回圖中兩個(gè)行正合列是同構(gòu)的，故有下面的正合交換圖成立[4]：

通過X1和Y2構(gòu)造的推出圖如下：

成立．根據(jù)上面的內(nèi)容，可知下面的正合交換圖必定成立：

由于Y 和 X =⊥Y 均是在擴(kuò)張之下封閉的子范疇，故有 Y2∈Y ，X2∈X =⊥Y .命題2.1證畢．

比較引理2.1和命題2.1，我們可以得到預(yù)期的結(jié)果命題2.2．

命題 2.2 若Y是modΛ的一個(gè)余分解子范疇，那么關(guān)于Y 的左逼近模所形成的子范疇在擴(kuò)張之下是封閉的．

以上我們給出了余分解子范疇的刻畫，其結(jié)果將為研究Hall代數(shù)和模范疇提供方便．

[1] 賀偉．范疇論[M]．北京：科學(xué)技術(shù)出版社，2007．

[2] 佟文廷．同調(diào)代數(shù)[M]．北京：高等教育出版社，1998．

[3] Auslander M，Reiten I．Applications of Contravariantly Finite Subcategories[J]．Adv. Math.，86(1991)：111―152．

[4] Ringel C M．Hall algebras and quantum groups[J]．Invent．Math.，101(1990)：583―592．

[5] Ringel C M．PBW-Bases of Quantum Groups[J]．reine angew. Math.，470(1996)：51―88．

[6] Assem I，Simson D．Elements of the Representation Theory of Associative Algebras[M]．Volume I Techniques of Representation Theory，Cambridge University Press，2006．

Characterizations of Core-solving Subcategory

ZHOU Zhen

(PLA 69220, Kuche Xinjiang 842000, China)

Some properties of core-solving subcategory are given and the results will provide some conveniences for Studying Hall algebra and module categories.

short exact sequence; finite subcategory; core-solving subcategory

O154.1

A

1006-5261(2012)02-0001-02

2011-12-10

周震（1984―），男，河南鄲城人，碩士．

〔責(zé)任編輯 張繼金〕