考慮分形效應(yīng)下水力壓裂裂縫擬三維延伸研究

劉 洋 徐 苗 景岷雪 蔣文春

(1.中國石油大港油田公司油氣藏評價事業(yè)部 2.西南石油大學(xué)資源環(huán)境學(xué)院 3.中國石油西南油氣田公司勘探開發(fā)研究院 4.中國石油青海油田公司勘探開發(fā)研究院)

0 引言

水力壓裂技術(shù)自從上個世紀(jì)40年代后期開始采用以來，就一直被認(rèn)為是改造油氣藏最有效的方法之一。水力壓裂技術(shù)的實質(zhì)是在地層中建立一個油氣向井流動的低阻通道，其效果主要取決于支撐裂縫的導(dǎo)流能力和裂縫的幾何形狀。目前，水力壓裂技術(shù)已發(fā)展到可以建立裂縫幾何形態(tài)數(shù)學(xué)模型適時預(yù)測裂縫幾何動態(tài)。概括國內(nèi)外裂縫幾何形態(tài)的數(shù)學(xué)模型，大致可分為三類：二維模型、擬三維模型以及全三維模型(或真三維模型)。擬三維模型能反映裂縫的三維動態(tài)，比二維模型更接近實際，比全三維模型計算簡單，耗時短，所以，廣泛應(yīng)用于現(xiàn)場水力壓裂設(shè)計。但是，目前大多未考慮分形效應(yīng)對裂縫延伸的影響，影響模型的精確度。為此，筆者在前人工作的基礎(chǔ)上，建立了分形效應(yīng)下裂縫的延伸判據(jù)，改進了擬三維模型，在不考慮慮失的條件下，對擬三維模型做了改進，并采用Visual Basic 6.0軟件編寫計算程序。同時，通過實例計算，得出了影響裂縫延伸的主要因素。

1 裂縫延伸分形效應(yīng)

水力壓裂裂縫的延伸不可能是完全沿純粹的直線前進，而必然是曲折向前的，其中包括彎曲、分叉以及彎曲與分叉相互嵌套等。這種曲折延伸的裂縫很明顯具有自相似性與分?jǐn)?shù)維度，即是一分形系統(tǒng)[1]。水力壓裂裂縫的常規(guī)擬三維模型的裂縫剖面考慮的是規(guī)則的幾何形狀，這與實際情況不符，如果能在模型的研究中引入分形理論對擬三維模型進行改進，則會得到更為精確的結(jié)果。前人的研究表明，分形效應(yīng)對裂縫延伸模型的影響主要在裂縫長度和應(yīng)力強度因子兩方面[2]。

1.1 分形效應(yīng)對裂縫長度影響

常規(guī)擬三維裂紋被理想化認(rèn)為沿直線路徑擴展。真實情況表明：巖石中的裂紋總是以Y或Z字型向前擴展(圖1)。因此，實際裂紋擴展長度應(yīng)用不規(guī)則路徑長度L(δ)表征而不是其表觀長度Lo(δ)。二者的關(guān)系可由Mandelbrot分曲線長度估計式[3]得出：

圖1 巖石裂紋擴展的分形模型

L(δ)=L0Dδ(1-D)

(1)

式中：

D—不規(guī)則擴展路徑的分形維數(shù)；

δ—測量尺碼。

1.2 分形效應(yīng)對應(yīng)力強度因子影響

通常在水力壓裂設(shè)計中，水力裂縫的幾何形態(tài)都是以斷裂面為光滑平面或曲面來考慮的，采用的是平面斷裂韌性來作為裂縫延伸的判據(jù)。這里，以分形的方法來確定應(yīng)力強度因子，提出了沿分形裂紋斷裂的I型巖石強度因子KID：

KID=K1(1/δ)(D-1)/2

(2)

同樣地把裂縫延伸過程當(dāng)作是準(zhǔn)靜態(tài)過程，考慮分形效應(yīng)后，巖石延伸的判距為：

KID≤KIC

(3)

一般情況下，取n=3的分形裂紋擴展模型來描述實際裂縫尖端處地擴展。由此可以計算出分形裂縫擴展的分形維數(shù)：

(4)

式中：

θ—裂縫彎折角；

1/δ=(5+4cosθ)1/2。

把上式代入公式(2)中，得：

KID=K1(5+4cosθ)(D-1)/4

(5)

由以上結(jié)論，可得出不同彎折角θ下分形維數(shù)和斷裂韌性比值，見圖2。

圖2 彎折角與應(yīng)力強度因子比值關(guān)系圖

2 分形效應(yīng)下裂縫擬三維模型

本文在參考了大量國內(nèi)外擬三維模型基礎(chǔ)[4-9]上，從分形理論出發(fā)，提出了用考慮分形效應(yīng)的應(yīng)力強度因子來替代傳統(tǒng)的應(yīng)力強度因子，推導(dǎo)出了改進后的裂縫擬三維模型。由于分形模型下的斷裂韌性值大于表觀斷裂韌性值，所以，求得的裂縫幾何尺寸較未改進的擬三維模型就不同了。

改進的擬三維模型主要基于以下假設(shè)：

(1)地層無限大、均質(zhì)且各向同性；

(2)裂縫呈準(zhǔn)靜態(tài)延伸；

(3)液體僅沿縫長方向一維流動；

(4)裂縫尖端高度略大于產(chǎn)層厚度；

(5)壓裂液不可壓縮；

(6)蓋底層應(yīng)力相等且高于產(chǎn)層。

2.1 裂縫內(nèi)流體的連續(xù)性方程

由質(zhì)量守恒定律，忽略壓裂液的壓縮性，可得：通過某一垂直截面的流量變化等于單位長度裂縫上壓裂液濾失速度與因裂縫延伸而引起的垂直截面面積變化率，即：

(6)

采用卡特濾失模型：

(7)

式中：

t—當(dāng)前注入時間，min ;

τ(x)—裂縫延伸到x處的時間， min;

λ(x,t)—t時刻x處濾失速度， m3/m2·t;

q(x,t)—t時刻x處注液流量， m3/min;

A(x,t)—t時刻x處裂縫垂直截面面積， m2。

2.2 裂縫內(nèi)流體流動的壓降方程

由lamb研究可知，對于橢圓管道中的流體流動，形狀因子為φ(n)=3π/16，可得橢圓管道內(nèi)壓降：

(8)

式中：

n—流態(tài)指數(shù)，無因次；

K—稠度，KPa·s；

φ(n)—管道形態(tài)因子。

2.3 裂縫寬度方程

采用England和Green給出的對稱應(yīng)力分布下裂紋寬度公式：

(9)

式中：

h(x,t)—t時刻x處的裂縫高度， m；

u、ξ—積分變量。

同時，引入產(chǎn)層厚度的無因次高度：

由于產(chǎn)層與蓋底層凈壓力分布不同：

(10)

由此，得出的產(chǎn)層內(nèi)和產(chǎn)層外的寬度分布不同。

2.4 裂縫高度方程

根據(jù)前面所述，修正后的尖端處應(yīng)力強度因子應(yīng)為：KID=K1(5+4cosθ)(D-1)/4。

(11)

(12)

3 模型求解

所推導(dǎo)的控制裂縫延伸的四個方程：

(13)

可以看出，上述方程式相互耦合，可采用迭代法求出其數(shù)值解。可假設(shè)邊界條件Ha(略大于產(chǎn)層厚度Hp)，采用標(biāo)準(zhǔn)四階龍格—庫塔法求解。

其差分格式：

(14)

其邊界條件為：

h(x)│x=L=Ha

(15)

具體方法為：先假設(shè)一流量分布，從裂縫尖端處向井筒方向求出裂縫高度h(x,t)和壓力分布p(x,t)。然后，由連續(xù)性方程求出新的流量q(x)分布，并與假定的流量進行比較，反復(fù)迭代，直到滿足精度要求為止。由于模型中考慮了壓裂液的濾失，λ(x,t)≠0，還必須先假設(shè)裂縫延伸速度v(t)，把流量q(x)和延伸速度v(t)進行雙重迭代，方能求出最終結(jié)果。由此，筆者采用Visual Basic 6.0編制程序。

4 實例分析

川南礦區(qū)某井參數(shù)[10]:

最小水平應(yīng)力差：9.12MPa;

斷裂韌性：1372kPa·m0.5;

剪切模量： 2×104MPa;

注液排量：3.2m3/min;

壓裂液稠度：0.0049kPa·Sn;

流態(tài)指數(shù)：0.8;

根據(jù)所編寫的水力壓裂擬三維計算程序，分布模擬出了當(dāng)Ts=5min/10min/15min/20min，結(jié)果如表1所示。

表1 不同注液時間下裂縫幾何尺寸

從表1的結(jié)果可以知道：隨著注液時間的增加，裂縫的長度和最大高度的增長速度均呈現(xiàn)先快后慢的特征。

4.1 分形效應(yīng)和斷裂韌性對裂縫高度的影響

以注液時間Ts=5min和Ts=15min為例，未考慮分形效應(yīng)時(即可以認(rèn)為是減小了斷裂韌性值)，裂縫的縫高分別為27.49m和42.44m。說明分形效應(yīng)使裂縫的高度延伸程度減小，但幅度不大。

4.2 剪切模量的影響

以注液時間Ts=5min，當(dāng)剪切模量從2.0×107kPa、2.1×107kPa、2.5×107kPa至3.0×107kPa，裂縫高度從可得出楊氏模量對縫高的影響26.0m增至34.4m。這是由于在相同的排量、時間下，楊氏模量越大，裂縫越窄，裂縫將向縫高方向發(fā)展。

圖3 剪切模量對裂縫高度的影響

4.3 油層與蓋底層的應(yīng)力差(S2-S1)

在其它條件不變的情況下，以注液時間Ts=5min為例。應(yīng)力差從7MPa增至10MPa時，裂縫高度從30m降到25m(圖4)。

圖4 應(yīng)力差對裂縫高度的影響

從圖4可以預(yù)測出：當(dāng)應(yīng)力差達(dá)到16MPa左右，裂縫高度可以被很好地限制在油層中。

4.4 壓裂液流變性的影響

當(dāng)n=0.80,k=6PaSn，裂縫高度為27.45m

當(dāng)n=0.80,k=5.5PaSn，裂縫高度為26.8m

當(dāng)n=0.80,k=4.9PaSn，裂縫高度為26m

一般說來，壓裂液視粘度越高，影響越大，裂縫高度就越高。

4.5 注入排量的影響

當(dāng)排量從3m3/min、3.2m3/min、 3.5m3/min、5m3/min時，裂縫高度分別為：25.4m、26m、27m、 33.8m(圖5)。由圖5可知：施工排量越大，裂縫的高度延伸的就越高。但是，其影響不是很大。

圖5 注液排量對裂縫高度的影響

5 結(jié)論

(1) 在假設(shè)裂紋為I型(張開型)的基礎(chǔ)上，考慮分形效應(yīng)對裂縫延伸的影響，采用分形模型計算了應(yīng)力強度因子，同時，得出考慮分形效應(yīng)后裂縫延伸的判據(jù)。由此，可計算不同彎折角下的分形維數(shù)和斷裂韌性比值。

(2) 為更符合實際，用分形模型下的應(yīng)力強度因子替代傳統(tǒng)應(yīng)力強度因子。對經(jīng)典的擬三維模型進行了修正，所求得的裂縫長度小于經(jīng)典擬三維模型下模擬值。

1 Mehdi Ansari-Rad, et al. Nonuniversality of roughness exponent of quasistatic fracture surface[J].PHYSICAL REVIEW,2012.

2 那志強.水平井壓裂起裂機理及裂縫延伸模型研究[D].中國石油大學(xué)(華東)，2009.

3 Mandelbort B B, et al. fracture character of fracturing surface of metals[J]. Nature, 1987, 35：51-56.

4 Yun Hsu, et al. New Physics-Based 3D Hydraulic Fracture Model[R]. Paper SPE 152525 presented at SPE Hydraulic Fracturing Technology Conference, Texas, February 6-8, 2012.

5 Yang Mei. Hydraulic Fracture Production Optimization With a Pseudo-3D Model in Multilayered Lithology[R]. Paper SPE 149833 presented at SPE International Symposium and Exhibition on Formation Damage Control, Lafayette, February 15-17, 2012.

6 Weng Xiaowei. Incorporation of 2D Fluid Flow into a Pseudo-3D Hydraulic Fracturing Simulator[J]. SPE Production Engineeting. 1992, 7(04)：331-337.

7 李哲，楊兆中，李小剛. 水力壓裂模型的改進及其算法更新研究(上)[J]. 天然氣工業(yè)，2005(01) .

8 楊兆中.油氣層限流壓裂設(shè)計計算機程序研制[D].西南石油大學(xué)，1993.

9 李青山.水力壓裂裂縫三維延伸數(shù)值模擬研究[D].西南石油大學(xué)，1996.

10 胡永全，任書泉.壓裂裂縫擬三維延伸的數(shù)值模擬[J].西南石油學(xué)院學(xué)報， 1992(02).