Clifford代數Cl2,1的若干性質

張桂穎,李武明

(通化師范學院 數學系,吉林 通化 134002)

Clifford代數Cl2,1是在Minkowski空間2,1上由e1,e2,e3,生成的8維實結合代數[1],其基元為

1,e1,e2,e3,e12,e13,e23,e123,

eijk=eiejek.于是元素a∈Cl2,1能惟一的表示成

a=a0+a1e1+a2e2+a12e12+

a13e13+a23e23+a123e123,

其中系數均為實數.

1 Cl2,1中元素的相關定義與性質

若令0,1,2,3分別表示1,單向量,雙向量,e123的線性組合, 則a∈Cl2,1可表示成

a=0+1+2+3,Cl2,1中有三種對合運算:

(1)分次對合

(2)反衍

(3)共軛

由此我們定義與a∈Cl2,1相關的一些定義并得到一些基本性質.

定義1a∈Cl2,1,a的模:

a13e13-a23e23+a123e123;

a的虛部:Cm(a)=a-Ce(a);

映射T:Cl2,1→:

T(a)=a0a123-a1a23+a2a13-a3a12;

映射P:Cl2,1→:P(a)=|a|4-4T(a)2.

通過計算可以得到如下與a相關的性質.

|ab|2=|a|2|b|2+4T(a)T(b),

T(ab)=|a|2T(b)+|b|2T(a),

證明

(0-1-2+3)=

(0+3)2-(1+2)2=

2(a0a123-a1a23+a2a13-a3a12)e123=

|a|2+2T(a)e123.

|ab|2=|a|2|b|2+4T(a)T(b),

T(ab)=|a|2T(b)+|b|2T(a).

2 Cl2,1中元素的四階實矩陣表示與特征方程

Cl2,0是Cl2,1的子代數,所以考慮從Cl2,0的基元對應的矩陣Mat(2,)同構嵌入到Mat(4,),從而找到Cl2,1的基元對應的矩陣.Cl2,0?Mat(2,),且基元對應為

顯然有

ei→Ai,eij→Aij,e123→A123,

其中A123=A1A2A3,Aij=AiAj,由此說明

Cl2,1?.

觀察乘法表可發現若取B1=A23,B2=A2,B3=A12,驗證可得

ei→Bi,eij→Bij,e123→B123,

即Cl2,1?.

定理2 ?a∈Cl2,1,Cl2,1的四階實矩陣表示為

證明選取上面取定的A1,A2,A3,代入

L(a)=a0I+a1A1+a2A2+a12A12+

a3A3+a13A13+a23A23+a123A123

即可.

定理3 設a,b∈Cl2,1,λ∈

a=b?L(a)=L(b),L(a+b)=L(a)+L(b)

L(λa)=λL(a),L(ab)=L(a)L(b).

定理4L(a)的特征方程為

λ2-2λ(a0+a123)+|a|2+2T(a)=0或

λ2-2λ(a0-a123)+|a|2-2T(a)=0

且detL(a)=|a|4-4T(a)2=P(a).

證明

|λI4-L(a)|=

(8T(a)a123-4|a|2a0)λ+|a|4-4T(a)2=

(λ2-2λa0+|a|2)2-4(T(a)-λa123)2=

(λ2-2λa0+|a|2+2T(a)-2λa123)

(λ2-2λa0+|a|2-2T(a)+2λa123)=0

所以有

λ2-2λ(a0+a123)+|a|2+2T(a)=0或

λ2-2λ(a0-a123)+|a|2-2T(a)=0.

上述兩方程的解就是L(a)的特征值.

參考文獻：

[1]Lounesto P.Clifford algebra and spinord[M].New York:Cambridge University Press,2001.

[2]李武明.Clifford代數與Minkowski空間的性質[J].吉林大學學報,2000,13(40).

[3]曹文勝.四維Clifford代數的相似與合相似[J].數學物理學報,2010,30A(2).

[4]陳靜.四維Clifford代數的復矩陣表示及其應用[J].黑龍江大學自然科學學報,2006,23(2).

[5]李武明,張慶成.四維雙曲復空間與Lorentz群[J].東北師大學報自然科學版,2005,37(2).

[6]李武明.Clifford代數上的一類矩陣[J].通化師范學院學報,2000(5).