一類分數(shù)階耦合系統(tǒng)多點邊值共振問題解的存在性

張 寧，張 娣，史小藝

(1.中國礦業(yè)大學理學院，江蘇徐州 221116;2.中國礦業(yè)大學管理學院，江蘇徐州 221116)

0 引言

近些年來，分數(shù)階導數(shù)及分數(shù)階微分方程在科學、工程和數(shù)學等領(lǐng)域得到了重要應(yīng)用.在分數(shù)階微分方程邊值問題研究上，科研人員獲得了不少研究成果［1-9］.值得注意的是，分數(shù)階耦合系統(tǒng)多點邊值共振問題作為分數(shù)階非局部邊值問題的一種特殊情況，近年來得到許多研究人員的重視，一些學者運用Mawhin的連續(xù)性定理來研究多點邊值問題，如文獻［4］就研究了耦合系統(tǒng)的3點邊值共振問題，

其中，1＜α，β≤2，0＜η1，η2＜1，σ1，σ2＞0，σ1ηα-11=σ2ηβ-12=1，f，g:［0，1］×R2→R連續(xù)，Dα0+是標準Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù).

受其啟發(fā)，本文研究分數(shù)階非線性微分方程耦合系統(tǒng)多點邊值共振問題，

其中，n＞2是自然數(shù)，n-1＜α，β≤n，0＜η1，η2＜1，0＜δ1＜…＜δm＜1，0＜σ1＜…＜σm＜1，αi，βi∈R，Dα0+和Iα0+分別是標準Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)和積分，f，g:［0，1］×Rn→R滿足Caratheodory條件，e(t)∈L1［0，1］.令，

1 預(yù)備知識

設(shè)Y，Z是實Banach空間，L:domL?Y→Z是一個指標為零的Fredholm算子，P:Y→Y，Q:Z→Z，是連續(xù)投影算子且滿足ImP=Kerl，KerQ=ImL，Y= KerL⊕KerP，Z=ImL⊕ImQ.則映射，L|domL∩KerP: domL∩KerP→ImL，是可逆的，記這個映射的逆映射為KP，令N:Y→Z是一個映射，Ω是Y的一個有界開集且滿足，domL∩Ω=＞，如果QN(Ω—)有界，KP(I-Q)N:Ω—→Y是緊的，則稱N是L-緊的，設(shè)J: ImQ→KerL是一個線性同構(gòu).

定義1［1］函數(shù)y:(0，+∞)→R的α階Riemann-Liouville分數(shù)階積分為，

其中，α＞0，Γ(·)為Gamma函數(shù).

定義2［1］連續(xù)函數(shù)y:(0，+∞)→R的α階Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)為，

其中，α＞0，Γ(·)為Gamma函數(shù)，n=［α］+1.

其中，N為大于或等于α的最小整數(shù).

其中，x∈C［0，1］，ci∈R，i=1，2，…，N-1，其范數(shù)為，

易證得，Cμ［0，1］是Banach空間.

引理2［2］f?Cμ［0，1］是連續(xù)緊，當且僅當f一致有界且等度連續(xù).

這里的一致有界是指存在M＞0，使得對任意u∈f有，

等度連續(xù)是只對?ε＞0，?δ＞0，使得，

且，

定理1［5］設(shè)Ω?Y是一個有界開集，L是一個指標為零的Fredholm算子，N是L-緊的，如果下面條件成立，

(1)Lx≠λNx，?(x，λ)∈［domLKerL∩?Ω］×［0，1］;

(2)Nx?ImL，?x∈Ker∩?Ω;

(3)deg(JQN|KerL，KerL∩Ω，0)≠0，則方程，Lx =Nx，在domL∩Ω—中至少有一個解.

2 主要結(jié)果

令Z=L1［0，1］，范數(shù)為，‖y‖∫01|y(s)|ds，Y1=Cα-1［0，1］，Y2=Cβ-1［0，1］，由式(4)知，

其中，Y=Y1×Y2是 Banach空間，‖(u，v)‖Y= max{‖u‖Y1，‖v‖Y2}，Z=Z1×Z1是Banach空間，‖(x，y)‖Z=max{‖x‖1，‖y‖1}.

定義L1是從domL1∩Y1到Z1的線性算子，

domL1={u∈Cα-1［0，1］|Dα0+u∈L1［0，1］，u滿足式(2)}，L1u=Dα0+u，u∈domL1.

定義L2是從domL2∩Y2到Z1的線性算子，

domL2={v∈Cβ-1［0，1］|Dβ0+v∈L1［0，1］，v滿足式(3)}，L2v=Dβ0+v，v∈domL2.

定義L是從domL∩Y到Z的線性算子，

domL={(u，v)∈Y|u∈domL1，v∈domL2}，L(u，v)=(L1u，L2v).

引理3 映射L:domL?Y→Z是一個指標為零的Fredholm算子.

證明 顯然，KerL1={atα-1+btα-2|a，b∈R}?R2，KerL2={ctβ-1+dtβ-2|c，d∈R}?R2，KerL= {atα-1+btα-2，ctβ-1+dtβ-2|a，b，c，d∈R}?R2×R2.

一方面，令(x，y)∈ ImL，則存在，(u，v)∈domL，使得，(x，y)=L(u，v)，即，u∈Y1，x=Dα0+u和v∈Y2，y=Dβ0+v，則由引理1可知，

由邊值條件知，c3=c4=… =cn=0，c1，c2是任意常數(shù)，x滿足，

由邊值條件知，d3=d4=… =dn=0，d1，d2是任意常數(shù)，y滿足，

另一方面，假設(shè)(x，y)∈Z1分別滿足式(5)、(6)，令，u(t)=Iα0+x(t)，v(t)=Iβ0+y(t)，那么，u∈domL1，Dα0+u(t) =x(t)和 v∈ domL2，Dβ0+v(t) = y(t)，即，(x，y)∈ImL.因此，可得到，ImL={(x，y)∈Z|x滿足(5)，y滿足(6)}.

考慮定義連續(xù)線性映射，Ai，Bi，Ti，Ri，Qi:Z1→Z1，i=1，2和Q:Z→Z，

因為條件(C1)、(C2)成立，定義映射，

顯然，dimImQ1=dimImQ2=2.

由條件(C1)、(C2)，注意到，

同理可得，

所以，對于x∈Z1，有，

即，Q1是連續(xù)線性投影算子.

同理可知，Q2也是連續(xù)線性投影算子.所以，Q(x，y)=(Q1x，Q2y)是一個連續(xù)線性投影算子.

注意到(x，y)∈ImL可推得，Q(x，y)=(Q1x，Q2y)=(0，0).反過來說，如果式子Q(x，y)=(0，0)成立，則有，

但是，

故一定有，Aix=Biy=0，i=1，2，即，(x，y)∈ImL，得到，KerQ=ImL.

令(x，y)∈Z，則，(x，y)=((x，y)-Q(x，y)) +Q(x，y)，使得，((x，y)-Q(x，y))∈KerQ=ImL，Q(x，y)∈ImQ成立.因此，Z=ImL+ImQ.再令(x，y)∈ImL∩ImQ，假設(shè)，(x，y)=(atα-1+btα-2，ctβ-1+dtβ-2)在［0，1］上不同時為0，因為(x，y)∈ImL，即x滿足(5)，y滿足(6)，可得到，a=b=c=d=0，矛盾，所以，ImL∩ ImQ={0，0}.即，Z=ImL⊕ImQ.現(xiàn)在，IndL=dimKerL-codimImL=0，所以，L:domL?Y→Z是一個指標為零的Fredholm算子.

定義，P1:Y1→Y1，P2:Y2→Y2，P:Y→Y，

注意到，P1，P2，P是連續(xù)線性投影算子.

顯然，Y=kerL⊕kerP.

定義KP:ImL→domL∩KerP，KP(x，y)=(Iα0+x，

所以有，

由此可知，

進一步可得，

同理，

所以，

結(jié)合式(2)、(3)，可知，ci=0，di=0，i=1，…，n.即，(KPL)(u，v) = (u，v)，因此，KP=［L |domL∩KerP］-1.由式(7)、(8)、(9)可知，

結(jié)合引理2，可得到下面的引理.

引理4 KP(I-Q)N:Y→Y是全連續(xù)算子.設(shè)，

(A1) 存 在 函 數(shù)，a1(t)，b1(t)，…，bn-1(t)，c1(t)，r1(t)∈L1［0，1］，θ1∈［0，1］，使得對于(x，y1，…，yn-1)∈Rn，t∈［0，1］，有，

存在函數(shù)，a2(t)，d1(t)，…dn-1(t)，c2(t)，r2(t) ∈L1［0，1］，θ2∈［0，1］，使得對于(x，y1，…yn-1)∈Rn，t∈［0，1］，有，

(A2)?A＞0，使得對于(u，v)∈domLkerL，t∈ ［0，1］， 滿 足，min{| D0α+-1u(t) |+ … +| D0α+-(n-1)u( t)|，D0β-+1v(t)|+…+|D0β-+(n-1)v(t)|} ＞A，有，

或，

(A3)?A*＞0，使得對于a，b，c，d∈R滿足，min{a2+b2，c2+d2}＞A*有，

或，

定理2 如果條件(C1)、(C2)和(A1)、(A2)、(A3)成立，并且

那么邊值問題(1)、(2)、(3)至少有一個解.

證明 令Ω1={(u，v)∈domLKerL:L(u，v) =λN(u，v)，λ∈［0，1］}，對于(u，v)∈Ω1，有L(u，v)=λN(u，v)，因此λ≠0，N(u，v)∈ImL=KerQ，所以，對于t∈［0，1］，有QN(u，v)=(0，0).

由Q的定義，有Q1N1v(t)=Q2N2u(t)=0.據(jù)(A2)，存在t0，t1∈［0，1］，使得，

成立.

所以，

同理，

注意到，對于(u，v)∈Ω1，有(I-P)(u，v)∈domL∩KerP成立，那么，

所以有，

下面證明分成四部分.如果(A1)滿足，

條件1.

由于 ‖v‖∞，‖Dβ-(n-1)0+v‖∞，…，‖Dβ-10+v‖∞≤‖(u，v)‖Y，所以，

但是，θ1∈［0，1］和‖a1‖1+‖b1‖1+… +‖bn-1‖1≤，所以存在，M0，…，Mn-1＞0，使得，‖v‖∞≤ M0，‖D0β-+1v‖ ≤ M1，…，‖D0β+-(n-1)v‖ ≤Mn-1， 故 對 于， (u，v) ∈ Ω1，‖(u，v)‖Y= max{‖v‖∞，‖D0β+-1v‖∞，…，‖D0β-+(n-1)v‖∞} ≤max{M1，…，Mn-1}，即Ω1有界.

條件2.

證明過程同條件1，其中，‖a2‖1+‖d1‖1+…

條件3.

其中，D1=‖r1‖1+‖e‖1，D2=‖r2‖1+‖e‖1+A.

如果，j‖c1‖1Dβ-10+v‖θ1∞≤n‖c2‖1‖Dα-10+u‖θ2∞，有，

但是，θ2∈［0，1］和 j‖a1‖1+n‖a2‖1+ j‖b1‖1+n‖d1‖1+…+j‖bn-1‖1+n‖dn-1‖1＜1

所以存在，M0，…，Mn-1，M′0，…，M′n-1＞0，使得，

如果，j‖c1‖1‖Dβ-10+v‖θ1∞≥n‖c2‖1‖Dα-10+u‖θ2∞，同樣可證明Ω1有界.

條件4.

證明過程同條件3，其中，k‖a1‖1+m‖a2‖1+ k‖b1‖1+m‖d1‖1+…+k‖bn-1‖1+m‖dn-1‖1

＜1.

令，Ω2={(u，v)∈KerL:N(u，v)∈ImL}，對于，(u，v)∈Ω2，(u，v)∈KerL={(u，v)∈domL| (atα-1+btα-2，ctβ-1+dtβ-2)，a，b，c，d∈ R，t∈［0，1］}和QN(u，v)=(0，0)，因此，

由(A3)，min{a2+b2，c2+d2}≤A*，即Ω2有界.

定義線性同構(gòu)J:ImQ→KerL，

若(A3)第一部分成立，令，Ω3={(u，v)∈KerL:-λJ-1(u，v)+(1-λ)QN(u，v)=(0，0)，λ∈［0，1］}，對于任意，(u，v)=(atα-1+btα-2，ctβ-1+

如果λ=1，那么a=b=c=d=0;如果，min{a2+b2，c2+d2}＞A*，那么根據(jù)(A3)，

設(shè)Ω是Y中的有界開集，使得U3i=1Ω—i?Ω.根據(jù)引理4，映射KP(I-Q)N:Y→Y是緊的，因此，N在Ω—是L-緊的.根據(jù)上述論述，定理1中的(1)，(2)已滿足，最后，我們將證明定理1的(3)滿足，令，H((u，v)，λ)=±λJ(u，v)+(1-λ)JQN(u，v)，通過上面論述，可知，對于(u，v)∈?Ω∩KerL，H((u，v)，λ)≠0.所以，

由定理1可知，L(u，v)=N(u，v)在domL∩Ω—上至少有一個解，即邊值問題(1)、(2)、(3)在Y上至少有一個解.

得出矛盾，若(A3)的另一部分成立，

同樣可得出矛盾.因此，可推知，

即Ω3有界.

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