往復荷載下層狀地基柔性筏板-群樁共同作用分析

黃茂松 ，李 波

（1. 同濟大學 地下建筑與工程系，上海 200092；2. 同濟大學 巖土及地下工程教育部重點實驗室，上海 200092； 3. 長江科學院 水利部巖土力學與工程重點實驗室，武漢 430010）

1 引 言

筏板剛度對樁筏基礎共同作用時的整體剛度以及荷載位移曲線影響很大。傳統的樁筏基礎設計假設所有的荷載都由筏板底下的樁來承擔過于保守，現場試驗和室內模型試驗的結果表明，筏板最多可承擔總荷載的30%[1]。Poulos 等[2－3]以及Shen 等[4－5]根據樁荷載傳遞曲線提出了剛性筏板下群樁基礎的變分方法，其他學者也對樁筏基礎與土的相互作用進行了研究[6－7]。盡管如此，這些文獻僅考慮了剛性筏板的情況，而對于柔性筏板問題進行分析的文獻相對較少。Brown 等[8]分析了柔性基礎的情況，但采用經典的梁理論來分析樁，從而限制了該法的使用范圍。Fatemi-Ardakani[9]采用邊界元法分析柔性板，將樁簡化為彈簧，但未考慮筏板與土之間的相互作用。Hain 等[10]采用有限單元法分析柔性板，群樁分析則是采用Ploulos 等[2－3]樁的荷載-位移曲線分析方法。Mendoca 等[11]基于Mindlin 解采用邊界元方法分析了半無限域地基上的樁筏問題；在此基礎上進一步采用有限單元-邊界元混合法，同時考慮了筏板與土的相互作用，分析了剛性承臺和柔性筏板下群樁問題[12]。金永濤等[13]對Geddes 模型進行了改進，用薄板理論的有限單元法分析彈性地基上的基礎板。以上方法在解決半無限域均質地基時可以得到比較精確的解答，但均未考慮層狀地基問題。

用三維數值方法（有限單元法或有限差分法）對樁筏基礎進行分析，可以克服以上方法存在的缺點。Trochanis 等[14]、Smith 等[15]、Sanctis 等[16]用三維有限元方法對樁筏基礎分析時，全面考慮了土體的非均勻性和樁-土相互非線性特性，并可施加符合實際情況的邊界條件。但這些方法的計算工作量大，建模復雜，因而不易被工程設計人員所接受。

本文在文獻[17]的基礎上，采用Mindlin 板理論的有限單元法建立筏板的剛度矩陣，既可以分析薄板問題，又可以用于中厚板的計算，并考慮了筏板剛度對整體剛度矩陣的影響。采用層狀彈性地基受表面或內部作用荷載時的Burmister[18]解來計算土表面對土表面以及土表面對樁頂面(或樁頂面對土表面)的相互作用矩陣；考慮了層狀地基中筏板與群樁和土的共同作用，得出了樁筏基礎共同作用下豎向荷載與位移的關系。利用柔性筏板-群樁沉降計算方法和往復荷載下土體壓縮模量的衰減特性建立了柔性筏板-群樁基礎的長期沉降預測方法。

2 層狀地基中柔性筏板-群樁共同作用分析

圖1 所示為層狀地基中樁筏基礎共同作用簡化分析模型。將樁簡化為一維桿單元，而樁-土摩擦則通過節點處彈簧等效代替，筏板用Mindlin 板彎曲單元來分析，筏板與樁-土的相互作用等效為筏板節點處的彈簧作用。

假設彈性地基上的筏板同時受到上部荷載{ F}和基礎反力{ R} 的共同作用，利用板的剛度矩陣[ Kr]和節點位移列陣{ w} 來表示板的平衡方程為

樁-土體系的相互作用分析是利用樁-土體系的剛度矩陣 sp[ ]K 和樁-土節點位移頂部沉降{ }s 建立平衡方程：

根據變形協調條件即{ } { }w s= ，式（1）、（2）聯立可得

下面分別計算筏板的剛度矩陣[Kr]和樁-土體系的剛度矩陣[Ksp]。

筏板的剛度矩陣[Kr]由Mindlin 板的有限元法可得

圖1 樁筏基礎共同作用模型 Fig.1 Model for interaction of piled raft foundation

樁-土體系的剛度矩陣[Ksp]一般由柔度矩陣[Fsp]求逆后得到，[Fsp]可寫成子矩陣的形式：

式中：子矩陣 fpp、 fsp、 fps、 fss分別為樁頂面對樁頂面、樁頂面對土表面、土表面對樁頂面、土表面對土表面的相互作用關系矩陣，如圖2 所示。其中，L 表示樁長，S 表示樁間距。

圖2 樁-土體系相互作用 Fig.2 Pile and soil interaction

（1）樁頂面對樁頂面作用

圖2(a)所示為樁頂面對樁頂面的相互作用模型。樁頂作用荷載時自身頂部的沉降分析采用基于傳遞矩陣形式的層狀剪切位移法，樁-土可以出現相對滑動：

而兩根樁僅考慮“主動樁”對“被動樁”的影響時，由于“被動樁”的荷載-位移曲線基本上處于彈性狀態[14]，因此，假定“被動樁”與土之間不發生相對滑動。分別求解“主動樁”和“被動樁”的樁身控制方程便可以得到二者在任一層的位移和軸力：

（2）樁頂面對土表面作用

圖2(c)為樁頂面作用單位荷載引起的土表面沉降，為了簡化，將樁側剪應力以作用在樁軸線上的集中力代替，如圖3 所示。其中，i 為土節點，j 為樁節點，PPi為作用在樁j 上的荷載，F1、F2、Fi為樁側摩阻力，Fb為樁端樁端阻力。則子矩陣 [ fsp]中的柔度系數表示作用在樁j 頂面單位荷載引起的土單元i 中心的位移：

式中：r 為單元i、j 之間的水平距離；m 為樁側劃分的土層數；zb為樁底的深度；zi為樁側摩阻力作用點的深度；w(r， zb)、w(r， zi)分別為層狀地基內部樁底反力和樁側摩阻力作用時在土單元 i 的Burmister 位移基本解。

圖3 樁頂面對土表面作用 Fig.3 Pile and soil surface interaction

子矩陣ps[ ]f 中的各柔度系數可以通過Maxwell 相互作用原理求得

（3）土表面對土表面的剛度矩陣

土頂作用荷載時，子矩陣 [ fss]中的柔度系數為土單元i 在單位荷載下自身的沉降，為了避免應力集中，假設為均布荷載，采用多層地基表面作用軸對稱垂直荷載的Burmister 位移解；為作用在土單元j 上的單位荷載引起土單元i 上的位移，可以由土單元i 上的Burmister 位移解積分求得。此處為了避免復雜的積分運算，假設土單元j 上荷載均勻分布。

3 往復加卸載作用下樁筏基礎的沉降

采用本文方法分析往復加卸載作用下層狀地基中樁筏基礎的沉降，分析過程分為加載沉降和卸載回彈兩個方面。其中，沉降計算過程中所用到彈性模量由壓縮模量推算求得[19]：

式中： 2.5λ= ～3.5；12E-為地基土在100～200 kPa壓力作用時的壓縮模量。

第i 次往復加卸載次數下樁筏基礎的累積沉降iΔ 可表示為

式中：ssi和sri分別第i 次加卸載下樁筏基礎的加載沉降量和卸載回彈量。

N 次加卸載循環后總的累積沉降s 為

基于以上分析，利用層狀彈性地基的Burmister位移解，編寫了層狀地基Mindlin 板有限單元法程序，并進一步實現了層狀地基中柔性筏板-群樁共同作用計算程序。程序中每個單元的彎矩可以由高斯點處的應力值求得。將單元彎矩平均到該單元內所有的節點，在相同的節點編號處累加，得到每個節點處的彎矩。

4 算例驗證

算例中常用的符號：Es為土的彈性模量，vs為土的泊松比，Ep為樁的彈性模型，vp為樁的泊松比，ER為板的彈性模量，vR為板的泊松比，w 為板沉降，Mx為板沿x 方向的彎矩。

4.1 與有限元-邊界元混合法的比較

Mendonca 等[12]采用有限單元和邊界元混合法分析了彈性半空間地基上樁筏基礎，得到了均布豎向荷載（q）作用下4 根樁和9 根樁兩組群樁支撐下筏板的沉降和彎矩。

圖5 為4 根樁支撐的樁筏基礎（如圖4 所示）沉降隨Kst的變化規律，表明樁筏基礎中心點處沉降隨板剛度的增加逐漸減小，且當Kst＞0.1 之后沉降基本相同。筏板從完全柔性變化到完全剛性，樁筏基礎中心點的垂直位移(wEs/GB)減小了0.48，占柔性樁筏基礎共同作用的36%。

圖4 4 樁支撐的樁筏基礎 Fig.4 Raft foundation of four piles group

圖5 筏板中心點的垂直位移 Fig.5 Vertical displacement of the central point of the raft

圖6 樁筏基礎布置圖 Fig.6 Layout of the raft and piles

下面對比柔性筏板下9 根樁的沉降（w）和彎矩（Mx）分布，群樁布置及相關參數如圖6 所示。由圖7 可知，柔性板下無論是剛性樁還是柔性樁的群樁基礎的沉降計算結果與有限元-邊界元混合法解均比較一致。顯然剛性樁支撐時樁節點處的位移明顯比柔性樁時小。但兩種不同剛度的樁支撐使得樁筏基礎在非樁節點處的最大差異沉降僅為0.2 mm，這表明板的剛度對樁筏基礎相互作用的總體剛度矩陣的貢獻不可忽視。

圖7 沿CD 的豎向位移分布圖 Fig.7 Vertical displacements along the section CD

圖8 為剛柔性樁支撐下的樁筏基礎沿EF 的彎矩（Mx），本文方法計算結果與Mendonca 等[12]相比，僅在個別節點處差異比較大，整體分布規律基本一致。兩者均在靠近板邊界的樁節點的彎矩最大，且最大值相差不大，但在靠近板中心的樁節點的彎矩明顯大于柔性樁。

圖8 沿EF 的彎矩圖 Fig.8 Bending moments along EF

4.2 與有限元法的比較

圖9 雙層地基方形板的豎向位移 Fig.9 Vertical displacements along two-layered soil borad

Ta 等[20]進一步分析了10×10 根樁支承下的大型樁筏基礎，考慮其對稱性只取其1/4 部分，如圖10 所示。地基土采用Gibson 土，板分兩種情況，剛性板ER/Es(2l)= 100 000 和柔性板ER/Es(2l)= 100。

本文將Gibson 土劃分為50 層的層狀地基，每一層地基為均質地基。圖11(a)、(b)分別為沿剛性板和柔性板樁筏基礎的斷面A′ - A′和B ′ - B′的彎矩。對比這2 幅圖可知，柔性板明顯比剛性板時的彎矩小，但波動更大。剛性板中心處的彎矩遠大于其邊界處的值，表明板的剛度越大，越能發揮板的支撐效果，將沉降較大的中心處的荷載轉移到四周。

圖10 10×10 樁筏基礎1/4 布置圖 Fig.10 Quarter layout of 10×10 piled raft foundation

圖11 沿斷面 A′ - A′和 B ′ - B′的彎矩 Fig.11 Bending moments along section A′ - A′and B ′ - B′

5 離心模型試驗驗證

文獻[21]對3×3 群樁樁筏基礎進行了6 次加卸載循環離心模型試驗，群樁布置圖見圖12。離心加速度采用100 g，鋁合金模型樁外徑為1 cm，壁厚為0.2 cm，筏板采用鋁合金板制作。轉換為樁長為35 m、直徑為1 m 的原型樁，板厚為2 m、邊長為13 m，樁的間距為5 m。將地基土在一維固結儀上進行往復加載試驗，表1 給出了室內試驗得到的往復加載過程中各土樣壓縮模量和一維回彈模量的變化，此處選取 3.5λ = 轉化為相應的彈性模量。為了便于理解和分析，將離心模型試驗數據轉化到對應原型尺度下進行闡述。采用本文方法計算得到6 次加卸載樁筏基礎的沉降如表2 所示，最終累積沉降計算值為59.9 mm，與試驗值70.4 mm 相差14.91%，滿足實際工程中精度要求。

圖12 3×3 群樁的布置 Fig.12 Layout of 3×3 pile group

表1 壓縮模量和一維回彈模量隨加載次數變化規律 Table 1 Variations of compression modulus and one-dimension resilient modulus with the number of loading and unloading

表2 計算值與實測值的對比 Table 2 Comparisons between computation and test values

6 結 語

（1）基于層狀剪切位移法和“被動樁”的遮攔效應提出了柔性筏板-群樁共同作用分析方法，適用于大規模群樁支撐的柔性筏板和剛性筏板兩種問題；進一步借助往復荷載作用下地基壓縮模量的衰減特性提出樁筏基礎的長期沉降分析方法。

（2）柔性筏板-群樁和剛性筏板-群樁共同作用的研究表明兩者具有不同的特性：柔性筏板內彎矩僅與其附近的樁土支撐作用相關，從筏板中心到其邊界處彎矩呈波浪形變化；而剛性筏板由于剛度較大，從筏板中心到其邊界處的彎矩變化具有連續性，且逐漸增大。

（3）開展加卸載往復荷載作用下剛性筏板-群樁的沉降分析，并與離心模型試驗結果進行對比驗證，結果表明本文方法可根據有限次加卸載累積沉降預測樁筏基礎的長期沉降。

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