非飽和土應力變量選取原則芻議

謝新宇 ，劉 斌 ，周 建

（1. 浙江大學 巖土工程研究所，杭州 310058；2. 浙江大學 軟弱土與環境土工教育部重點實驗室，杭州 310058）

1 引 言

在連續介質力學[1]中，本構方程或本構關系，是反映介質宏觀性質的數學模型，包括反映純力學行為的本構關系的Hooke 定律、Newton 黏性定律、Saint-Venant 理想塑性定律等和反映熱力學性質的Clapeyron 理想氣體狀態方程、Fourier 熱傳導方程等。本構方程是理性力學研究的重要內容之一，是物體受外部作用發生響應時建立閉合可解方程的必要條件，也是在一定初始條件和邊界條件下解決問題的基礎。狹義的本構方程是指應力-應變的關系式，在非飽和土的研究中也大都是指描述應力-應變關系的方程。由此可見，應力是非飽和土本構模型的重要組成部分，也是研究本構關系的基礎，正確選取非飽和土介質上的應力變量是建立本構方程的前提條件。隨著越來越多的學者加入到非飽和土的研究領域，非飽和土本構模型得到不斷發展，但一些學者在不斷地追求更精確、更全面的非飽和土本構模型同時，卻忽略了對非飽和土一些基本問題的斟酌，比如本構模型中應力變量選取問題，因為有的變量是不能直接應用于本構關系中的。這對后續學者的研究帶來了不利影響，也阻礙了非飽和土本構模型的進一步發展。

自1959 年Bishop[2]在挪威奧斯陸市第1 次提出非飽和土的有效應力開始，Bishop 等[3]、Bolzon 等[4]又對Bishop 有效應力進行改進，后來發展到以Fredlund 等[5]提出的凈法向應力（σ -ua，σ 為總應力，ua為土中的孔隙氣壓）和基質吸力（s= ua-uw，uw為土中的孔隙水壓）為代表的雙應力變量，再到現在Lu 等[6]提出的吸應力概念，非飽和土應力變量的選取一直是人們研究的熱點問題，遺憾的是目前還沒有一個統一的選取原則[7]，已有本構模型中應力變量選取的合理性也值得商榷。應力變量是建立正確本構模型的重要基礎，鑒于此，本文從土體微觀結構、能量守恒及力學平衡這3 個方面對非飽和土應力變量選取進行研究，提出非飽和土應力變量選取原則，在此基礎上對現有廣泛應用的應力變量進行分析，旨在為非飽和土本構理論研究提供合理的指導和依據。

2 應力變量選取原則

連續介質力學中應力變量指的是作用在物質內部單位面積上的力，它應與材料的性質無關，但對于土這種多孔、多相松散介質，由于孔隙壓力是一種特殊應力，它與土體性質有關，故土中的應力變量有別于一般固體力學，可能含有材料參數[8]。與飽和土一樣，本文用多孔介質力學中表征單元體積（REV，即Representative Elementary Volume）[9]的概念對應力變量進行闡述。REV 是可以代表材料力學、變形、滲透特性的最小單元，因此，應力變量也可定義為周邊環境對介質REV 單位表面積上的作用力。由于非飽和土是固-液-氣三相體，表征單元體積REV 也應由這3 相組成，故非飽和土的應力變量應是作用在三相體REV 單位表面積上的力。

本文根據應力變量的特性，提出了以下3 個原則判斷一個應力變量是否作用在非飽和土上。

2.1 從微觀結構角度分析

非飽和土中的應力變量是能夠反映非飽和土特性的變量，它們應該是作用在非飽和土REV 上的各種應力。在非飽和土中，存在著各種應力，如孔隙壓力、基質吸力、收縮膜張力、物理化學力等，它們作用的載體都不盡相同。比如傳統的非飽和土力學中常用到ua與uw，從連續介質力學的角度上看，這些變量都是定義在單相體上的，即是分別定義在土中氣和土中水單相體REV 上，如圖1 所示[10]。

圖1 非飽和土及單相體REV Fig.1 REV of unsaturated soil and single phase

而且傳統定義的孔隙壓力是一種非偏性力，即是各向同性的，如飽和土中的孔隙水壓力，但在非飽和土中，無論是孔隙氣壓或是孔隙液壓都可能作用在土顆粒局部區域上，從而形成偏性應力。因此，如果將這些變量視為是非飽和土的應力變量，則與前述的應力變量定義不符，即它們不是作用在非飽和土REV 上的應力。

圖2 是飽和土和非飽和土中應力變量的對比圖（為簡化起見，圖中未標出剪應力，且只考慮孔隙壓力和骨架作用力）。

圖2 非飽和土及飽和土應力變量 Fig.2 Stress variables of unsaturated soil and saturated soil

由圖2(b)可見，飽和土中作用在REV 表面的應力變量有孔隙水壓力uw、外力p 以及由控制土體強度和變形的粒間作用力fi經過面積歸一化而得到的有效應力σ′，即σ′=∑ fi/A；在圖2(a)所示的非飽和土受力簡圖中，由于氣相的存在，在REV 表面分布有大小為uai、uwi的孔隙氣壓和孔隙水壓，其對應的作用面積分別為Aai、Awi。若要將孔隙水壓力和孔隙氣壓力視為應力變量，則需將其進行轉換，即將這些在作用在相對小尺度單相體REV 上的應力變量轉化到非飽和土REV 上，于是得到孔隙氣應力aσ =∑uaiAai/A、孔隙水應力wσ =∑uwiAwi/A、有效應力σ′、外力p 等應力變量。

因此，在判斷非飽和土應力變量時，必須考慮該應力變量所作用的介質，要將非飽和土中存在的各種作用力經過一定的轉換作用到非飽和土REV上來。

2.2 從能量守恒角度分析

應力變量是1 個應力，連續介質力學中應力也等于物體產生單位體積或面積變化而消耗的能量。因此，應力的變化伴隨能量的變化。自然界中，能量不會憑空產生，也無法憑空消失。所以，所選取的應力變量必須符合能量守恒定律。如果只考慮物體的“純力學”行為，不包含熱能、化學能、電磁能等其他形式的非機械能，則能量守恒規律表述為：介質動能加內能隨時間的變化率等于外力的功率，這可從介質運動方程直接推出[1]：

式中：d/dt 為物質導數；ρ 為介質的質量密度；v為介質所占區域存在的速度場；∑為應力張量；b為單位質量的體積力。

Houlsby[11]將外力輸入功率引起的土體變形和孔隙流體運動表示為

式中：ijσ′為非飽和土有效應力；ijε˙為應變率；，iu′ 為孔隙壓力梯度；iw 為滲流場速度。

Houlsby 假設土顆粒和孔隙流體均為不可壓縮，認為非飽和土在飽和度很高或是很低時孔隙中的流體相對于土顆粒是靜止的，由此化簡得到了非飽和土的功率平衡方程：

可見通過能量守恒原理而確定的應力變量才能反映非飽和土的力學特性。這里需要特別注意的是，非飽和土的應力變量反映的必須是非飽和土單位體積或面積變化而產生的能量，而不能是其他介質的能量，如ua、uw等，這些變量只是反映單相體單位體積或面積變化而產生的能量，因此，不能視為非飽和土的應力變量。

2.3 從力學平衡角度分析

連續介質力學中，單相體上的受力情況如圖3所示[1]。作用在單相體表面的應力就為應力變量，包括法向應力和剪應力，共有6 個不同的應力變量。

圖3 單相體REV 應力變量 Fig.3 Stress variables of single phase REV

傳統的非飽和土力學模型中[12]，共有包括凈法向應力（σ -ua）、基質吸力s 和剪應力τ 在內的7個應力變量。與飽和土相比，增加了基質吸力和凈法向應力這2 個變量，這些應力變量共同作用在非飽和土REV 表面，且滿足力學平衡，如圖4 所示。

圖4 傳統的非飽和土REV 應力變量 Fig.4 Traditional stress variables of unsaturated soil REV

但在非飽和土多相體中，并不僅僅只有基質吸力和凈法向應力對非飽和土的力學特性有影響，表面張力及其他物理化學應力等對其也有較大影響。為集中、全面地分析非飽和土的應力變量，必須在一個統一的參照物上進行分析，換句話說，應該把所有的應力轉換到非飽和土REV 表面上，這可以通過轉換參數X 把非飽和土中存在的各種應力轉換到其REV 的尺度上。

這些作用在非飽和土REV 上的應力變量必須滿足力學平衡，平衡方程如下：

式中：pi為包括體積力、孔隙壓力、界面張力、外力、物理化學力（如范德華力、電層力等）等在內的非飽和土中各種應力；Χikl為pi對應的轉換參數，其將作用在微觀介質上的非飽和土內部應力轉換為非飽和土REV 表面上的各種應力變量。

2.4 討論

從上述分析可以看到，較為合理地判斷某變量是否是非飽和土中的應力變量應該從微觀結構、能量守恒、力學平衡3 方面進行分析，三者缺一不可，只有同時滿足3 方面的變量才能視為是非飽和土的應力變量。

應力變量作為非飽和土本構關系中的重要組成部分，不但對非飽和土的力學特性影響很大，對描述非飽和土的狀態也有著重要意義，由于非飽和土的應力變量一般可以視為應力狀態變量，如有效應力等，現有研究中就常將非飽和土應力變量與應力狀態變量相混淆，這在很大程度上導致了本構模型中應力變量選擇極為混亂的現狀。

Fung[13]對狀態變量做了如下定義：當已知某個系統、某一研究目標下的所有特性信息時，就可以確定該系統所處的狀態，比如對于某一靜止狀態下的均質彈性體，要對其熱力學狀態進行完整的描述，這就需要知道其化學成分的含量、天然狀態下的幾何特征、應力場、應變場、表示物質冷熱程度的物理量。這些物理量就是物質的狀態變量。

若用上述的應力變量選取原則進行判別可發現，傳統的非飽和土理論研究中，一些變量雖然不是作用在非飽和土上的應力變量，但對非飽和土變形、強度及流動特性等狀態的描述具有重要作用，如孔隙壓力等，這些變量便是應力狀態變量，研究中不能忽視對它的判別，不能將其與應力變量混為一談。

下面結合本文研究成果對近些年來非飽和土本構模型中選取的一些應力變量進行分析。

3 現有非飽和土應力變量分析

對于非飽和土本構模型中變量的選取，不同的學者有著不同的選擇，大體上主要有凈法向應力（σ -ua）、s、有效應力σ′等。有的學者定義了非飽和土有效應力，并作為唯一的應力變量描述非飽和土的特性，其目的是與傳統的飽和土有效應力原理相結合，使非飽和土與飽和土之間能很好地銜接，便于工程設計及應用；但也有的學者認為，單應力變量不能很好地反映非飽和土的真實性狀，尤其是變形特性，因此，建議采用多應力變量對非飽和土特性進行研究，這樣描述的非飽和土特性與實際較吻合，由此引出的問題是本構關系中需要增加許多新的破壞準則、狀態方程等，應用起來較為繁瑣。

3.1 基質吸力

非飽和土總吸力包括基質吸力和滲透吸力兩部分，實際工程中總吸力處于較低的水平，當總吸力較低時，基質吸力起控制作用，因此，長期以來對非飽和土吸力的研究主要側重于基質吸力的研究。

（1）s 是非飽和土內部毛細管彎液面處空氣壓力與水壓力的差值（ua-uw），單位與應力單位（kPa）相同，因此，許多學者將其定義為作用在非飽和土上的應力變量。s 由非飽和土中存在的氣-液收縮膜引起，而不是非飽和土REV，此外組成s 的孔隙壓力也都是定義在單相體上的應力。因此，從微觀結構角度看，s 沒有作用在非飽和土REV 上，不能視為是非飽和土的應力變量。

（2）從能量角度上來看，由前面Houlsby[11]提出的功率守恒方程發現，若s 是應力變量，則其對應的應變一定要是（+），這樣才能滿足功率守恒方程，而現有研究中，只有少數學者將s與其共軛應變對應起來（如Wheeler 等[14]）。另外還應特別注意，功率守恒建立的是非飽和土的能量平衡，而s 只是反映孔隙流體單位體積變化而產生的能量差或收縮膜單位體積變化的能量變化，因此，從能量的角度來看，s 未能反映非飽和土的能量變化，不滿足應力變量的選取原則。

（3）從力學平衡上看，傳統的非飽和土力學將

s 和凈法向應力視為應力變量作用在非飽和土上，從而建立7 個變量間的力學平衡，該平衡是將基質吸力視為非偏性應力作用在非飽和土REV 上，然而組成s 的孔隙壓力雖是非偏性應力，但孔壓作用在骨架部分、非對稱的接觸面上，它對土體變形、強度的影響并不能體現出非偏性應力的特性，因此，將s 直接作用于非飽和土REV 上建立力學平衡是不合理的，需要經過一定的轉換才能參與建立非飽和土力學平衡。Lu[10]也同樣認為，s 不是應力變量，必須引入一個尺度轉換函數Χ，將s 轉換為作用在非飽和土REV 上的吸應力sσ ，才能參與建立力學平衡，如圖5 所示。

圖5 考慮吸應力的非飽和土REV 應力變量 Fig.5 Stress variables of unsaturated soil REV that considering suction stress

綜上所述，s 不能視為是非飽和土的應力變量，如果要在本構關系中使用，就要通過一定的轉換，如Lu[10]提出的尺度轉換，使其作用在非飽和土REV上。但試驗研究結果表明，s 對土變形和強度等力學特性有著很大的影響，可見它是一個重要的應力狀態變量。

3.2 凈法向應力

凈法向應力定義為總應力與孔隙氣壓的差值，即σ -ua，該應力變量廣泛地應用于非飽和土的等吸力試驗研究中。Fredlund[15]指出，土體飽和度為100%時，土中的孔隙氣壓等于孔隙水壓，此時基質吸力為0，有效應力為σ -uw，故使用凈法向應力能使飽和土與非飽和土間有很好的過渡，而且使用凈法向應力可以使總應力的變化與孔隙水壓力的變化區別開來，便于分析。大多數實際工程問題中，孔隙氣壓等于大氣壓力，氣壓力表量測的讀數為0，即孔隙氣壓為0，凈法向應力即為總應力，問題能得到簡化。因此，凈法向應力被大多數學者選用作為非飽和土的一個應力變量，現對其進行分析。

（1）從微觀結構的角度來看，凈法向應力中既有作用在單相氣體上的孔隙氣壓，又有作用在非飽和土上的外部應力，僅用簡單的數學關系將兩者組合勢必會引起應力作用尺度上的矛盾，因此，不能判斷其作用在非飽和土REV 上，也不能視為是非飽和土的應力變量。

（2）從能量的角度上來看，由Houlsby 功率守恒方程得到，凈法向應力與應變（ijε˙）共軛，可以滿足功率守恒方程，但同樣由于孔隙氣體單位體積變化產生的能量不能與非飽和土單位體積變化產生的能量簡單疊加，從而反映非飽和土的能量，因此，從能量的角度上看將凈法向應力視為非飽和土的應力變量是不合理的。

（3）從力學平衡的角度上看，傳統非飽和土力學簡單地將總應力與孔隙氣壓力進行代數組合，將其視為非偏性應力作用在非飽和土上建立力學平衡。但實際上，凈法向應力中的孔隙氣壓力并不是均勻作用于土顆粒周圍的，孔隙氣壓的偏向性使其不能簡單、均勻地作用于非飽和土REV 表面，故凈法向應力和基質吸力一樣，不能直接參與建立力學平衡。要使之成為非飽和土的應力變量，需要對其作一定的轉換或與其他變量組合（如有效應力）。

由上述分析可以看出，常用的凈法向應力也不是非飽和土的應力變量，不能直接用于本構方程中。各種試驗結果表明，凈法向應力實際上也是對非飽和土應力狀態有重要影響的應力狀態變量。

3.3 有效應力

自非飽和土概念提出以來，一直有許多學者致力于非飽和土有效應力的研究（Croney 等[16]，Bishop 等[3]，Aitchison[17]，謝定義等[18]，Lu 等[19]），他們希望將非飽和土中的有效應力與傳統的Terzaghi 有效應力原理相結合起來，這樣可以不用引入新的強度準則和狀態方程，大大減小了設計和應用的難度。不過Jennings 等[20]及隨后的許多學者也發現，單用非飽和土有效應力不能很好地反映非飽和土的強度特性和變形特性，尤其是部分非飽和土的濕陷性。下面對有效應力是否可以作為應力變量進行判別，以此分析用有效應力來研究非飽和土本構關系是否正確。

（1）從微觀結構上分析，現有的非飽和土有效應力表達形式主要由2 項組成，一項是凈法向應力；一項是關于基質吸力的函數，如Bishop 有效應力、謝定義提出的有效應力、Lu 有效應力等均如下表示：

他們將作用在非飽和土表面及內部的各類應力（如孔隙壓力、收縮膜張力、物理化學力、外力等）通過與相應參數（與飽和度Sr或體積含水量vθ 有關）耦合或是面積歸一化后相加而得到有效應力，這類有效應力是以非飽和土為載體而進行研究的，因此，是作用在非飽和土REV 上，這是有效應力成為非飽和土應力變量的前提。

（2）從能量守恒上分析，利用Houlsby 功率守恒方程可以證明有效應力可以與應變（ijε˙）共軛，而且有效應力中雖然有反映單相體或者收縮膜等單位體積或面積變化而產生能量的孔隙壓力和基質吸力等，但這些變量都經過一定的參數轉化，使得它們的組合能用來表示非飽和土的能量，因此，滿足能量守恒的原則。

（3）從力學平衡上分析，非飽和土有效應力如同飽和土中的有效應力，代表的是作用在非飽和土上能控制土體強度和變形特性的應力，是非偏性的，滿足建立力學平衡的條件，因此，可以視為非飽和土的應力變量。

可見，有效應力可以作為非飽和土的應力變量并應用于本構方程中，而且有效應力影響著非飽和土的狀態，同時也是一個應力狀態變量。但現已確定的非飽和土有效應力還不足以全面反映非飽和土特性，因此，Kohgo 等[21]，Jommi 等[22]，Bolzon 等[4]，Gallipoli 等[23]，Wheeler 等[24]，Sun 等[25]，姚仰平等[26]將有效應力作為第1 應力變量，將與s 有關的函數作為第2 應力變量，利用雙應力變量來描述非飽和土特性。

3.4 吸應力

Lu 等[6]將土體骨架中由于顆粒間的物理化學作用產生的力稱為吸應力，包括黏結力、范德華力、毛管張力、負孔隙水壓力等，從微觀角度分析了非飽和土表征單元體積中存在的作用力，提出了一個尺度轉換函數，將s 轉換為作用在非飽和土上的應力變量——吸應力，具體表達式為[19]

式中：sσ 可以通過Van Genuchten[27]提出的土-水特征曲線表達式求出；α 是孔隙的幾何參數，數值上為進氣壓力值的倒數；β 為孔隙流體的參數，數值大小與孔隙分布有關。土顆粒越細，α 和β 的值越小。

由于sσ 是將非飽和土上存在的各種力通過尺度轉換作用到非飽和土REV 上，故在微觀上是合理的。將式（3）進行一定的變換可得：

式中：第1、2 項是水、氣在土中徑流而耗散的能量；第3 項是氣相壓縮所需的能量；后2 項即是兩對共軛的變量。

鑒于Lu 提出的 σs是關于飽和度的函數，由式（7）可知，（-/Sr）可視為吸應力的共軛應變，故滿足Houlsby 功率守恒方程，且吸應力作用在非飽和土上，代表的是非飽和土單位體積變化產生的能量；最后，吸應力是s 經過尺度轉換后形成的對非飽和土特性有重要影響的非偏性應力，可直接作用在非飽和土單元上，參與建立力學平衡方程。由此可以判斷，吸應力可以作為非飽和土的一個應力變量。

3.5 討論

通過對現有非飽和土模型所選取的應力變量分析發現，由于現有研究還沒有明確提出應力變量的選取原則，致使一些應力變量的選取還不夠準確。非飽和土應力變量必須作用在非飽和土表征單元體積REV 上且應滿足力學平衡，而且反映的是單位非飽和土體積或面積變化的產生能量，一個變量只有完全符合這些選取原則時才能被定義為非飽和土的應力變量。一些變量（如凈法向應力、基質吸力等）雖能滿足功率平衡的要求，但沒有作用在非飽和土REV 上，不能反映非飽和土的能量，這樣的變量也不能作為應力變量。當然，這些變量雖然不能直接用于本構模型的建立，但在反映非飽和土狀態時卻有很大作用，因此，同樣不能忽視對這些應力狀態變量的研究。

總之研究非飽和土時，一定要注意選取變量的類型及選取的原則，分清應力變量與應力狀態變量的關系，這樣才不會錯選應力變量。

4 結 論

（1）現有非飽和土本構模型中應力變量沒有統一的選取標準。文中由微觀結構、能量守衡及力學平衡3 方面確定了非飽和土應力變量的選取原則。經分析發現，凈法向應力和基質吸力不是非飽和土的應力變量，而是應力狀態變量。

（2）非飽和土有效應力（Bishop、謝定義、Lu等）和Lu 提出的吸應力將作用在非飽和土外部及內部的應力進行一定的變換從而作用于非飽和土REV 上，可以作為非飽和土的應力變量應用到本構模型中去；

（3）從現有的非飽和土本構模型來看，謝定義、Lu 等提出的非飽和土有效應力能很好地符合上述應力變量選取原則，且得出的非飽和土強度特性與實際情況較為吻合，但對變形問題還無法進行詳細闡述，故一些學者建議選取多個應力變量，以更全面地反映非飽和土特性。但作者以為，不能因此認為有效應力在全面描述非飽和土特性時是無力的，反而應對現有有效應力的研究進行思考，就如謝定義在文獻[8]中所提出的一些觀點，總是存在有能反映非飽和土強度、變形特性的有效應力，就如同飽和土一樣，可以發現一個簡單應力變量來描述不同飽和度土體的特性。

（4）應力變量選取的正確與否決定著非飽和土本構關系研究是否合理，應該加以重視。本文提出的應力變量選取原則還不是十分嚴格，但通過這3個原則可以初步判斷應力變量選取的合理性，可適當借鑒。本文旨在提出非飽和土本構研究中應力變量選取的問題并加以討論，希望能引起研究者的注意，并通過不斷研究，提出一個完善的非飽和土本構模型應力變量選取準則。

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