隧道水平凍結施工引起地表凍脹的歷時預測模型

蔡海兵 ，彭立敏鄭騰龍

（1.中南大學 土木工程學院，長沙 410075；2.安徽理工大學 土木建筑學院，安徽 淮南 232001）

1 引 言

地鐵隧道采用人工凍結法輔助施工時，在凍結壁形成過程中，隨著地層溫度的下降，土體溫度達到冰點，伴隨土中孔隙水和遷移水的結晶體、透鏡體、冰夾層等形成的冰侵入土體，引起土體體積膨脹，進而在地表產生凍脹現象[1]。地鐵隧道凍結施工期的凍脹現象將對工程周圍環境產生不良影響。因此，在隧道凍結工程設計階段，應根據具體工程性質，采用合理方法對可能引起的地表凍脹變形進行預估，以便于實際施工過程中采取適宜的凍結實施方案及相應的凍脹預防措施。

波蘭學者Litwiniszyn[2]基于砂箱模型試驗，為研究地下采礦過程中巖層與地表移動等問題而提出了隨機介質理論。該理論經過我國學者[3－5]多年的發展和完善，目前已成為我國城市地鐵隧道工程中地表變形預測的實用方法之一。如將地層凍結引起的地表凍脹變形看成是一隨機過程，該過程可以認為是巖土體開挖引起地表變形的逆過程，則隧道凍結施工引起的地表凍脹變形問題亦可以采用隨機介質理論進行預測分析。現有相關方面的研究主要為：陽軍生等[3]采用隨機介質理論，推導了隧道地層凍結引起的地面凍脹變形的計算公式；陶德敬等[6]應用隨機介質理論，對北京地鐵“復—八”線“大北窯——熱電廠”區間隧道凍結時的地表凍脹變形進行了計算分析；周太全等[7]針對南京地鐵某區間隧道凍結法施工工程，采用隨機介質理論對該工程的凍脹效應進行預測，具體分析了水平凍脹引起的地面隆起、曲率變形規律；李方政[8]采用隨機介質理論，以上海體育場穿越工程為研究背景，運用疊加法基本原理，推導出多管凍結的地層凍脹疊加法表達式。

上述研究得出了一些有意義的結論，但共同的不足之處是分析過程中均未考慮凍結過程，即凍結壁的形成過程：開始凍結時，低溫鹽水與凍結管周圍的地層產生劇烈的熱交換，在每個凍結管周圍很快形成近似圓柱形的凍結巖土柱，如圖1(a)；凍土柱進一步擴展，直至相鄰凍土柱相互交圈，在隧道周圍形成封閉的凍結壁，如圖1(b)；交圈后，原各凍結管的凍結鋒面連成向隧道內擴展的內凍結鋒面和向隧道外擴展的外凍結鋒面，且內、外凍結鋒面很快趨于平滑，如圖1(c)。

圖1 凍結壁形成過程 Fig.1 The formation process of frozen wall

本文考慮凍結過程，基于隨機介質理論，以圓形隧道全斷面水平凍結為例，建立隧道水平凍結施工引起地表凍脹位移的歷時預測模型。

2 單管凍結引起地表凍脹的計算模型

如圖2 所示，考慮隧道單根凍結管凍結的情況，凍結管編號記為1，該凍結管中心在εοη（x zο ）直角坐標系下的橫坐標為1x ，縱坐標為1z 。凍結巖土柱呈圓柱狀由凍結管向外擴展，經t 時刻后，凍土柱的外半徑發展至 R （ t ）。凍土柱在形成過程中發生的體積膨脹假定為凍土柱從半徑 R （ t ）均勻膨脹至RΔ，膨脹的圓環柱截面積記為Δ。根據隨機介質理論，對于平面問題，在εοη（xο z）直角坐標系下，隧道單管水平凍結情況下地表各點凍脹位移表達式為

因積分區域為圓環形，將直角坐標系轉換成 極坐標系會更有利于求解。坐標系分兩次轉換，如圖2(a)，首先將εοη（xο z）直角坐標系轉換成 ε1ο1η1直角坐標系，如圖2(b)，再將 ε1ο1η1直角坐標系轉換成 r1ο1θ1極坐標系。

圖2 單管凍結坐標系轉換圖 Fig.2 Coordinate system transformation of single pipe freezing

則εοη（x zο ）直角坐標系變換到111rο θ 極坐標系的轉換公式為

根據雙重積分的換元公式，在111rο θ 極坐標系下式（1）可寫為

圓環形積分區域Δ 的內半徑為 R （ t ），外半徑為RΔ，則上式又可變為

式中：x 為在εοη （x zο ）直角坐標系下地表各點的橫坐標；1x 、1z 為在εοη（x zο ）直角坐標系下凍結管中心的橫、縱坐標；1r、1θ 為在111rο θ 極坐標系下的極徑、極角；β 為凍土柱上覆巖土層的主要影響角。

對于平面問題，在111rο θ 極坐標系下，式（5）即為隧道單管水平凍結引起地表各點凍脹位移的表達式。

3 多管凍結引起地表凍脹的歷時預測模型

3.1 凍結壁交圈前的歷時預測模型

假定隧道采用單圈多管全斷面水平凍結，以n根凍結管均勻布置在同一設計圈徑上，各凍結管所處的土層性質相同，且不考慮凍結孔實際造孔過程中的偏斜影響，由凍結壁的形成過程（見圖1）可知，凍結壁交圈前，經t 時刻后，在隧道周邊形成n個外半徑為 R （ t ）的凍土柱，各凍土柱形成過程中發生的體積膨脹均為從半徑 R （ t ）均勻膨脹至RΔ，膨脹的各圓環柱截面積也均為Δ。如忽略相鄰凍結管凍結引起地表凍脹位移的相互影響，則在凍結壁交圈前，地表凍脹由多個凍土柱的疊加膨脹變形引起，此時地表凍脹位移可視為單管水平凍結引起地表凍脹位移的疊加問題。

記各凍結管的編號為1、2、…、n，則第i 根凍結管中心在εοη（xο z）直角坐標系下的橫坐標為 xi，縱坐標為 zi，其計算公式分別為

式中：h 為隧道中心距地表的距離，即隧道埋深；dR為凍結管布置圈半徑。

在計算第i 根凍結管水平凍結引起地表各點凍脹位移之前，都需要將εοη（x zο ）直角坐標系變換到iiirο θ 極坐標系，其轉換公式為

由式（5）可得在平面問題條件下第i 根凍結管水平凍結引起地表各點凍脹位移表達式為

根據疊加原理，則有凍結壁交圈前多管水平凍結引起的地表凍脹位移表達式為

3.2 凍結壁交圈后的歷時預測模型

隨著凍結時間的延長，隧道周邊各凍土柱進一步擴展，相鄰凍土柱相互交圈后即在隧道周邊形成圓環柱狀凍結壁，且凍結壁的內、外凍結鋒面很快趨于平滑。如圖3 所示，經t 時刻后，凍結壁已交圈，以隧道中心為圓心，凍結壁外鋒面半徑為 R （ t ），凍結壁擴展過程中的體積凍脹假定為從半徑 R （ t）均勻膨脹至RΔ，凍脹區域面積為Δ。凍結壁交圈后，地表凍脹則由整個凍結壁的膨脹變形引起，此時地表凍脹位移計算類似于單管水平凍結情況的求解方法。

圖3 凍結壁交圈后多管凍結坐標系轉換圖 Fig.3 Coordinate system transformation of multiple pipes freezing after the circle-crossing period of frozen wall

將εοη（x zο ）直角坐標系轉換成rο θ′ 極坐標系，則該兩坐標系之間的轉換公式為

根據雙重積分的換元公式，在rο θ′ 極坐標系下式（1）可寫為

凍脹區域Δ 的內半徑為 （ ）R t ，外半徑為RΔ，則上式又可變為

式中：r、θ 為在rο θ′ 極坐標系下的極徑、極角。

對于平面問題，在rο θ′ 極坐標系下，式（15）即為凍結壁交圈后多管水平凍結引起地表各點凍脹位移的表達式。

當隧道采用全斷面水平凍結法施工時，考慮凍結壁的形成過程，交圈前采用式（11）計算地表各點凍脹位移，交圈后則采用式（15）計算地表各點凍脹位移。

上述地表凍脹預測模型在應用過程中，當隧道埋深h、凍結管布置圈半徑 Rd、凍結管根數n 和巖土層主要影響角β 等參數已知，對于地表凍脹位移的計算還需確定的參數為t 時刻凍結外鋒面半徑R （ t ）、和凍土柱（交圈前）或凍結壁（交圈后）的凍脹區域外半徑RΔ，下述對該2 個參數的確定方法進行討論。

3.3 凍結外鋒面半徑的確定方法

在凍結壁交圈前，凍結外鋒面半徑 R （ t ）為單個凍土柱的半徑，在凍結壁交圈后，則為凍結壁外鋒面半徑。凍結壁交圈前、后凍結外鋒面半徑的確定問題即為單管凍結和多管凍結條件下溫度場分布規律的求解問題。人工凍結溫度場是一個有相變、移動邊界、內熱源以及邊界條件復雜的瞬態導熱問題，其精確求解過程較為復雜。

地鐵隧道凍結工程中，一般均需在凍結區域布設測溫孔，在凍結施工中可根據測溫孔內的測點溫度數據實時反演凍結溫度場。某特定時刻的凍結溫度場分布規律和凍結鋒面位置可由特魯巴克或巴霍爾金提出的穩態溫度場計算方法求得[9]。但這不便于凍結施工前的溫度場預測分析。

由現有考慮相變的單管凍結溫度場（二維熱傳導問題）和平板凍結溫度場（一維無限域熱傳導問題Neumann 解）的瞬態解析結果可知[10－11]，多管凍結交圈條件下凍結壁的擴展厚度（單管凍結條件下的凍土柱半徑）與凍結時間的平方根成正比，可采用下述公式表示：

式中：E （ t ）為凍結壁擴展厚度或凍土柱半徑（mm）；A 為待定常數；t 為凍結時間（d）。

凍結壁交圈后的溫度場可由平板凍結理論近似求解，該理論中常數A 由下式給出：

式中：α1、 α2為凍土、未凍土的熱擴散系數； k1、k2為凍土、未凍土的導熱系數；T0為土體初始溫度；Tc為凍結源溫度；Ψ 為單位容積土體的結冰潛熱；Φ（ y）為高斯誤差函數，且有：

凍結壁交圈前的溫度場可由單管凍結理論進行求解，該理論中常數A 的計算公式詳見蔣斌松等[10]的推導結果。可見當土體熱物理參數由室內試驗獲取后，常數A 可由解析方法求得。

常數A 也可通過凍結溫度場的現場實測數據進行回歸分析并按經驗取值，李方政[8]根據工程經驗，認為A 可取160；唐益群等[12]鑒于上海隧道一般位于第④層飽和淤泥質黏土層中，通過室內試驗得到該土層的常數A 可取152.5；陳湘生等[13]基于上海地區地鐵聯絡通道水平凍結溫度場實測數據，回歸分析得出常數A 取150。

在凍結壁交圈前，凍結壁擴展厚度 E （ t ）即為單管凍土柱半徑 R （ t ）；凍結壁交圈后，若已知凍結管布置圈徑 Rd，則凍結外鋒面半徑 R （ t ）、內鋒面半徑 R1（ t ）可按下式進行計算：

根據相關研究[13]，凍結壁軸面上凍土柱擴展速度一般比主面上要快10%～20%，則凍結壁交圈時間可用下述公式計算：

式中：jt 為凍結壁交圈時間（d）；l 為相鄰凍結管間距；k 為經驗系數，可取1.1～1.2。

3.4 凍脹區域外半徑的確定方法

工程中反映土體凍脹強弱的指標一般采用凍脹率，是指土體試樣在無側向變形、無縱向荷載條件下，經單向凍結，其縱向的高度增量與試樣原高度的比值，如下式：

式中：hε 為土體凍脹率； hΔ 為試樣縱向凍脹量；h為試樣原高度。

劉鴻緒[14]認為，土體凍結過程中某點的凍脹量是該點之下凍結土層凍脹率沿凍層厚度的積分，與凍脹力無直接聯系。據其原理，假定凍結壁向外均勻膨脹，考慮凍結過程，則有：

若考慮凍結過程，即凍結鋒面隨時間增長的發展過程，綜合式（19）、（20）和（23）可確定特定時刻t 的凍脹區域外半徑RΔ。

4 工程案例1

以某地鐵隧道全斷面水平凍結施工工程為例，該隧道斷面為圓形，隧道外半徑為3 m，埋深為 15 m，水平凍結管布置圈半徑為4 m，共布置凍結管20 根，凍結管直徑為160 mm，相鄰管間距為 1.25 m，土體凍脹率為1%，巖土層主要影響角度的正切值tan β 取0.8。

按經驗取常數 150A= 、 1.1k= ，根據式（21），凍結壁的交圈時間為14.3 d。

凍結壁交圈前，單個凍土柱內半徑為凍結管半徑，即 R1=80 mm，根據式（16）計算凍土柱外半徑為 R （ t ）= 150tmm；凍結壁交圈后，根據式（19）和（20），可確定凍結壁外、內鋒面半徑。凍結壁交圈前、后凍脹區域外半徑根據式（23）計算。

地表計算區域選為 -2 0 m ≤ x≤ 20 m，根據Legendre-Gauss 積分方法，采用Maple 數學軟件編制計算程序，得到地表凍脹位移分布規律隨凍結時間的變化曲線如圖4 所示。

圖4 地表凍脹位移分布規律隨時間變化曲線 Fig.4 Variations of surface frost heave displacements distribution with time

由圖4 可知，對于任意時刻地表最大凍脹位移均發生在隧道中心正上部（距隧道中心水平距離 0 m），且隨著距隧道中心越遠，地表凍脹位移逐漸減小并最終趨于0。在凍結初期，地表凍脹現象不明顯，如凍結4 d 后，地表最大凍脹位移僅為4.3 mm，隨著凍結時間的延長，地表凍脹現象增強，各點的凍脹位移均逐漸增大，凍結40 d 后，地表最大凍脹位移達到29.6 mm，距隧道中心水平距離12 m 處的地表凍脹位移也達到9.3 mm。總的來說，隧道水平凍結施工中誘發的地表凍脹現象與凍結過程密切相關，隨著凍結時間延長，凍結壁變厚，地表凍脹位移逐漸增大。在現有隧道凍結施工凍脹效應的隨機介質理論分析成果中[6－7]，均未考慮凍結壁的發展過程，如直接將凍脹理論計算值與現場實測值進行比較，此舉不符合實際情況。

圖5 給出了距隧道中心水平距離分別為0、2、4、8、12、16、20 m 的地表各點凍脹位移隨凍結時間（共40 d）的變化曲線。

圖5 地表各點凍脹位移隨時間變化曲線 Fig.5 Variations of surface frost heave displacements with time

凍結壁的交圈時間經計算約為14 d，無論在凍結壁交圈前，還是在凍結壁交圈后，地表凍脹位移增長速度均隨著距隧道中心越遠而變小，且凍脹位移均隨時間呈增長趨勢。地表各點凍脹位移隨時間變化曲線反映出凍脹與凍結壁的交圈時間存在著密切的聯系，在凍結初期，凍結壁尚未交圈，凍脹位移增長速度較快，隧道中心正上部（ 0x= ）地表凍脹位移增長速度達到1.23 mm/d；凍結壁交圈之后，凍脹位移增長速度減緩，隧道中心正上部（ 0x= ）地表凍脹位移增長速度約為0.5 mm/d。地表凍脹與凍結壁交圈時間的關系分析結果與相關模型試驗結果一致[15]。

5 工程案例2

廣州地鐵3 號線天河客運站站后折返線隧道為五心圓拱雙線隧道，隧道寬為11.4 m，高為9.12 m，長為138.8 m，埋深為8～10 m，屬淺埋大斷面隧道。隧道施工采用全斷面凍結帷幕+CRD 暗挖工法，支護結構采用復合式襯砌。隧道水平凍結長度為 138.8 m，分南、北兩段施工。南、北端均在距隧道開挖邊界1 m 處沿五心圓拱線型各布置一圈凍結孔，每端共計46 個凍結孔，凍結孔間距為700～ 950 mm，如圖6 所示。設計凍結壁厚度為2.5 m，凍結壁平均溫度為-8 ℃，該工程為國內迄今采用人工凍結法施工最長的地鐵隧道工程。

圖6 隧道北端凍結孔設計圖（單位：mm） Fig.6 The freezing hole design at northern end of the tunnel (unit: mm)

該工程積極凍結期約為150 d，工程現場沿隧道中心線布置了若干個地表變形測點，監測得到了一系列地表凍脹位移數據[16]，測點位置處隧道埋深約為10 m，為便于后續理論計算結果與現場實測結果的對比分析，在本次隨機介質理論分析中，隧道埋深同樣取10 m。

該隧道凍結孔布置圈為五心圓拱線型，為計算方便起見，采用等代圓方法將其簡化成圓形，該方法雖具有一定的近似性，但基本可滿足工程精度要求。凍結孔布置圈寬度為13.4 m，高度為11.1 m，經計算簡化后的凍結孔圓形布置圈半徑為6.125 m。46 根凍結管均勻布置，相鄰管間距為0.836 m。工程實際選用凍結管為φ 108 mm×8 mm 的低碳鋼無縫鋼管。

通過在工程施工現場鉆孔取樣，對具有代表性的土層進行了人工凍土物理力學性能試驗，試驗得到各層土的凍脹率如表1 所示[17]。

表1 土體凍脹率試驗值 Table 1 Experimental values of frost heave rate of soils

該隧道地表凍脹預測分析中，土體凍脹率取表中各土層凍脹率的均值，則為5%。土體主要影響角度的正切值取0.8。按經驗取常數 150A= 、k = 1.1。凍結鋒面半徑與凍脹區域外半徑的計算過程同于案例1。

采用已編制的計算程序，得到隧道中心正上部地表凍脹位移隨凍結時間（共150 d）的變化曲線，并與現場測試結果相對比，如圖7 所示。

圖7 隧道中心正上部地表凍脹位移隨時間變化曲線 Fig.7 Variations of surface frost heave displacements with time at the top of tunnel center

由圖可知，隧道中心正上部地表凍脹位移隨時間變化規律的理論計算和現場實測結果基本一致，在凍結初期，凍脹位移增長速度較快，凍結壁交圈前平均凍脹速度約為17.6 mm/d；而凍結后期，凍脹位移隨時間呈相對緩慢增長趨勢，凍結壁交圈后平均凍脹速度約為2.1 mm/d。各時間點的凍脹位移計算值和實測值也較為接近，凍結90 d，凍脹位移計算值為323.6 mm，實測值為335.7 mm，兩者相差12.1 mm 為分析過程中的最大差值，與凍脹位移值相比，該差值尚可忽略。經凍結150 d 后，該隧道中心正上部地表累計凍脹位移近400 mm。對比分析結果驗證了所提出的地表凍脹歷時預測模型的可靠性，且該計算模型用于工程實際具有相當的精確性。

在距隧道中心水平距離為20 m 的地表區域，計算得到凍脹位移分布規律隨凍結時間的變化曲線如圖8 所示，圖中僅列出90 d 的計算結果。

圖8 地表凍脹位移分布規律隨時間變化曲線 Fig.8 Variations of surface frost heave displacements distribution with time

由圖可知，距隧道中心越遠，地表凍脹位移逐漸減小，位移增長速度也逐步減緩。在距離隧道中心較近的地表區域，如 -5 m ≤ x ≤ 5 m，隨著凍結時間的延長，凍脹位移分布形狀由圓拱型逐漸過渡到近水平線型，說明在凍結后期，凍結壁厚度增大，凍土距地表漸淺，巨大的凍脹變形使得隧道中心地表區域產生近似均勻的隆起現象。

該隧道凍結施工期的地表凍脹量較大，主要由多種因素造成，如隧道斷面大、埋深超淺；凍土體積大、覆土淺；距離外部環境近，熱交換大，導致凍結時間過長；土層大部分為為細致黏土層，且地下水含量大，凍脹系數大等原因。

6 結 論

（1）在隧道多管水平凍結施工中，凍結壁交圈前，地表凍脹位移由多個獨立凍土柱的疊加凍脹效應引起，凍結壁交圈后，地表凍脹位移則由整個凍結壁的凍脹效應引起。據此，考慮凍結壁的形成過程，基于隨機介質理論，建立了地表凍脹位移的歷時預測模型。

（2）具體分析了計算模型中凍結外鋒面半徑和凍脹區域外半徑這2 個關鍵參數的取值方法。多管凍結交圈條件下凍結壁的擴展厚度（單管凍結條件下的凍土柱半徑）與凍結時間的平方根成正比，由此可通過解析或經驗方法確定凍結外鋒面半徑；土體凍結過程中某點的凍脹量是該點之下凍結土層凍脹率沿凍層厚度的積分，由此可根據土體凍脹率、凍結內、外鋒面半徑確定凍脹區域外半徑；巖土層主要影響角決定地表的凍脹范圍，其取值問題有待進一步研究。

（3）工程案例分析結果表明，該計算模型用于隧道水平凍結施工引起的地表凍脹位移預測，具有相當的精確性；隧道水平凍結施工中誘發的地表凍脹現象與凍結過程密切相關，隨著凍結時間延長，地表凍脹位移逐漸增大；地表凍脹與凍結壁的交圈時間存在著密切的聯系，凍結壁交圈前，凍脹位移增長速度較快，凍結壁交圈后，凍脹位移增長速度減緩。

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