敏感問題問卷調查Warner模型與卡片參數P的設計

孫 萍，趙東方

（1.烏魯木齊職業大學，烏魯木齊 830002；2.華中師范大學 數學與統計學學院，武漢430079）

0 引言

敏感性問題是指與個人（或單位）的隱私（或私人利益）有關而不便向外界透漏的問題。例如，是否存在行賄、受賄情況，考生是否存在考試作弊，個體工商戶是否偷稅、漏稅，是否為同性戀者等。對于這些敏感性問題，若采用直接問答的形式，被調查者就會產生抵觸情緒，拒絕回答，或者，接受調查但不愿據實回答。

抽樣調查中，經常會遇到敏感性問題的調查工作，由于涉及到被調查者的隱私問題，很難得到被調查者的配合，因此造成了調查的困難、以及調查結果的不準確。

1965年，S.L.Warner設計了一種隨機問答方法，巧妙的解決了這個問題[1]。1969年，B.G.Greenberg改進了S.L.Warnerder的方法[2]。現在，S.L.Warner的隨機調查法得到了廣泛的應用[3][4]。

1 S.L.Warner隨機問卷調查模型

隨機問答法的具體步驟如下：

第1步：調查問卷的卡片，每張卡片只問下列問題之一

問題1：你屬于集合A

問題2：你不屬于集合A

假設問題1共有a張卡片，問題2共有b張卡片，要求：p=a/(a+b)≠1/2，其中，p叫做卡片參數。

第2步：被調查者隨機抽取一張卡片，卡片上只有一個問題，被調查者只回答“Yes”，或者“No”，然后，將卡片放回卡片盒。

在整個調查過程中，調查人不知道被調查者回答的是哪個問題，只知道回答結果Yes或No，這樣，被調查者就有很大的可能說真話。

第3步：假設調查了n個人，m個人回答“Yes”，根據全概率公式：

于是，我們就可以得到百分比α的估計值。

【案例1】某地調查個體工商戶偷稅漏稅問題

問題1：我偷過稅

問題2：我從不偷稅

卡片設計：卡片參數p=1/6，即，6張卡片有一張是問題1，其余5張是問題2。

調查過程：被調查者隨機抽取一張卡片，看見問題后，將卡片保密放回卡片盒，然后告訴調查人，Yes或No。

調查結果：隨機調查100個個體戶，共有75人回答“Yes”，根據公式計算可得：

于是，我們可以認為，某地可能有1/8=12.5%的個體戶偷過稅。

2 B.G.Greenburg的改進模型

S.L.Warner的隨機調查法，其中兩個問題都與敏感性話題直接相關，很容易引起被調查者的戒備，所以，B.G.Greenburg建議，用其它一個毫不相干的問題代替問題2。

調查問卷的卡片，只問下列問題之一

問題1：你屬于集合A

問題2：你屬于集合B

假設，屬于集合A的人群的百分比為αA（待求指標），屬于集合B的人群的百分比αB（已知指標），問題1共有a張卡片，問題2共有b張卡片，p=a/(a+b)，被調查者共有n人，其中m人回答Yes，那么就有：

從中解出αA：

【案例2】某高中調查學生談戀愛比例

問題1：我談過戀愛

問題2：我的身份證尾數是奇數

相對于問題1，αA待求；相對于問題2，αB=1/2。

卡片參數：p=9/10，即，10張卡片中有9張是問題1。

被調查者n=100，其中，23人回答Yes，即，m=23，根據公式計算：

于是，我們可以認為，這所高中大約有20%的學生談過戀愛。

3 卡片參數 p的討論

3.1 S.L.Warner模型的卡片參數 p的討論

在S.L.Warner模型中，待求百分比α=1/(2p-1)(p-1+m/n)p≠1/2，其中，卡片參數p的取值，必須使得0≤α≤1，下面，我們畫出α的圖形：

圖1 m/n＜0.5的圖形

圖2 m/n＞0.5的圖形

圖中p軸上方水平線對應α=1。

通過觀察圖形，我們看到0≤α≤1的條件并不總是得到滿足，特別是在p=0.5附近，這個條件完全被破壞，于是，為了確保0≤α≤1成立，我們就要考慮卡片參數p的取值范圍。

總的原則：p的取值要遠離0.5。

若取p＜0.5，由，可以得到，，即，根據所調查的問題的背景知識，卡片參數p應該盡可能的小。例如，已知患艾滋病的人群比例比較小，可以取p=1/9、p=1/10等等（此時，10張卡片有一張是問題1：你有艾滋病？）。

若取p＞0.5，由，可以得到，，即，根據所調查的問題的背景知識，卡片參數p應該盡可能的大。例如，已知有某種壞習慣的人群比例比較大，可以取p=7/10、p=9/10等等（此時，10張卡片有9張是問題1：你有×××壞習慣？）。

3.2 B.G.Greenberg改進模型卡片參數p的討論

即，卡片參數p應該盡可能大一點。

總結：卡片參數p的取值范圍，總的設計原則是，（1）在S.L.Warner模型中，p的取值應該遠離0.5；（2）在B.G.Greenberg的改進模型中，p的取值應該盡可能靠近1。

[1]Warner,S.L.Randomized Response:A Survey Technique for Elimi?nating Evasive Answer Bias[J].Journal of the American Statistical As?sociation,1965,(60).

[2]Greenberg,B.G.,et al.The Unrelated Question Randomized Re?sponse Model:Theoretical Framework[J].Journal of the American Sta?tistical Association,1969,64(326).

[3]M.Ostapczuk,M.Moshagen,Z.Zhao,J.Musch.Assessing Sensitive Attributes Using the Randomized-response-technique:Evidence for the Importance of Response Symmetry[J].Journal of Educational and Behavioral Statistics,2009,(34).

[4]M.Ostapczuk,J.Musch,M.Moshagen.A Randomized-response In?vestigation of the Education Effect in Attitudes towards Foreigners[J].European Journal of Social Psychology,2009,(39).

[5]趙東方.數學實驗與數學模型[M].武漢：華中師范大學出版社，2003.

[6]趙東方.數學模型與計算[M].北京：科學出版社，2007.