基于期權理論的鐵路貨運定價模型*

馮芬玲，李菲菲

(中南大學交通運輸工程學院，湖南長沙410075)

在鐵路貨運市場中，鐵路運輸企業通常提前較長時間(1年或半年)與一些客戶(貨主或協議客戶)簽訂運輸協議，如煤炭、礦石等大型企業。這些客戶(以下稱為協議客戶)采用協議價格，為鐵路部門提供穩定的大宗貨源，鐵路為協議客戶提供運力保證。對于剩余的運力，鐵路運輸企業直接在現貨市場中進行銷售。由于現貨市場價格是不斷變化的，使得交易穩定性很差，鐵路運輸企業不能及時出售運力的風險性就會很高;協議銷售能維持平穩的銷售情況，但在協議期內，協議客戶只能以固定的價格從鐵路運輸企業購買一定數量的運力，鐵路運輸企業也只能執行協議價格，雙方都不能在市場價格的波動中獲利，這對實現自身利益最大化是很不利的。期權是指一種合約，該合約賦予合約持有人在某一特定日期或該日期之前的任何時間以固定價格購進或售出一種資產的權利，該日期過后，期權權利失效，而鐵路貨物運輸在某一時段之后，未出售的產品價值也會歸零，可以看出，鐵路貨運協議銷售與期權是十分相似的，它們都是在特定的時期內以特定的價格進行交易，都具有很強的時效性特點，并且期權的價格是隨其標的物價格的波動而波動的，其標的物的價格又是由市場波動所決定的，這樣就可以有效地規避由于市場價格變動造成的不利影響，因此，將期權理論引入鐵路貨運市場中具有重要的意義。

目前關于期權契約等各種供應鏈契約的文獻很多，Ritchken［1］等最早在庫存研究中引入期權機制以對沖產品價格和數量波動的風險，此后，期權因其彈性被越來越多的學者所青睞而被應用到供應鏈協調的研究中，例如，Cachon［2］等通過期權契約以實現供應鏈中的信息共享;Seifert［3］等研究了期權價格為外生變量時具有風險偏好的買方的最優訂購決策;郭瓊［4－6］等建立了電子市場與傳統契約市場共存下的供應鏈各決策主體的決策模型;趙霞［7］等分析了現貨市場和期權合約市場同時存在時零售商的最優購買策略;劉晉［8］等研究了基于期權的供應鏈模型;佟斌［9］等建立了基于需求預測的兩階段生產和訂購模式下的集中決策型和合作型供應鏈中各決策主體的決策模型;馬成［10－11］等也對此進行了相關的研究。

但是將期權契約應用于貨運業，特別是鐵路貨運業的研究還不是很多，尤其是在國內還鮮有文獻涉獵。Rol［12］通過建立運力期權定價模型將期權契約應用于航空貨運業，趙明瑞［13－14］等對航空貨運的期權銷售模式進行了初探;雷麗彩［15］等構建了一個基于風險規避的航空貨運期權定價模型，這些對研究鐵路貨運業的期權定價模型有一定的參考作用，但鐵路貨運業有自己的特點，并不是完全類同于航空貨運業，所以，本文擬在前人研究的基礎上，根據鐵路貨運業自身的特性，在鐵路貨運市場中引入期權的概念，建立鐵路貨運業的期權定價模型，通過相應的數學推導分析，分別為協議客戶和鐵路運輸企業作出決策建議，以期實現鐵路運輸企業和協議客戶的雙贏。

1 鐵路貨運期權的設計

期權合約按照授予期權持有人權利的類別，可以分為看漲期權和看跌期權。其中看漲期權是指期權賦予持有人在到期日或到期日之前，以固定價格購買標的資產的權利。其賦予權利的特征是“購買”。由于本文中對鐵路貨運期權的設計是指賦予協議客戶以固定價格購買期權的權利，故只會出現看漲期權。

1．1 鐵路貨運期權的概念

根據上述期權的特性，提出鐵路貨運期權的概念并對其進行定義。本文中鐵路貨運期權是指以鐵路貨物運輸服務為標的資產的一種期權合約，鐵路運輸企業是期權的制定方，協議客戶是期權的購買方。如果到期日期權的執行價格高于現貨市場貨運價格，協議客戶會選擇執行期權;反之，協議客戶就會放棄執行期權而在現貨市場中購買運力。這種選擇權使得協議客戶有效規避了價格波動風險。而對于鐵路運輸企業來說，在協議客戶放棄執行期權時可以在現貨市場中進行銷售，并且可以收取一定的期權費用，從而可以將部分風險轉嫁給協議客戶，也有效實現了風險規避。本文假設鐵路運輸企業和協議客戶都是經濟人，在進行決策時都會在給定條件下做出自身利益最大化的理性選擇。

1．2 鐵路貨運期權的內容

根據金融市場中期權的概念，結合鐵路貨運市場的具體特點，鐵路貨運期權的內容至少應包括以下幾點。

(1)標的資產。標的資產是指期權合約中所指定的雙方要交易的商品，它可以是某種實物資產或金融資產，也可以是某種服務。鐵路貨運期權的標的資產就是鐵路的貨物運輸服務。

(2)執行價格。在期權合約中約定的、期權持有人據以購進或售出標的資產的固定價格，稱為執行價格。鐵路貨運期權中執行價格，就是指在貨運期權中事先規定的，協議客戶在行使其獲得相應的鐵路運輸服務的權利時，需要支付給鐵路運輸企業的運輸服務價格。

(3)數量。鐵路運力期權中應明確規定協議客戶有權以約定的價格即期權執行價格獲得的運輸服務的數量即貨物運輸噸數。

(4)期權到期日。鐵路運輸企業與協議客戶約定的期權到期的那一天稱為“到期日”。在那一天之后，期權失效。若協議客戶只能在到期日執行期權，則稱為歐式期權;若該期權可以在到期日或到期日之前的任何時間執行，則稱為美式期權。為了便于研究，本文規定協議客戶只能在到期日進行選擇，即貨運期權為歐式期權，且假定期權的行使期限為1月。

除了上述4項基本內容以外，鐵路貨運期權還有1個重要的因素就是期權價格，即協議客戶支付給鐵路運輸企業購買期權的費用。

2 基于期權設計的鐵路貨運定價分析

2．1 問題說明

根據上述鐵路貨運期權的內容，在引入期權的貨運市場中鐵路運輸企業和協議客戶的交易過程如圖1所示。

圖1 引入期權的貨運市場交易過程Fig．1 Trading process in freight market by the introduction of options

通過鐵路運力期權的設計，協議客戶和鐵路運輸企業均可以從市場的波動和價格的變化中獲利，但是，在鐵路運力期權的應用過程中有幾個很現實的問題需要解決:

(1)期權費用制定為多少比較合理?若定價太高，協議客戶可能會放棄購買期權而寧愿承擔現貨市場的風險，鐵路運輸企業也會失去大量的貨源;若定價太低，鐵路運輸企業可能不足以彌補在協議客戶執行期權時所遭受的損失。

(2)如何確定期權的執行價格?如果協議客戶認為在期權到期日的現貨市場價格會和期權執行價格相當甚至低于契約中規定的期權執行價格，那么協議客戶肯定不會購買該期權。

(3)對于協議客戶來講，購買運力期權的數量應該是多少合適，是不是越多越好?

因此，在貨運市場中引入期權時必須首先解決這3個問題，即期權費用、執行價格的確定以及協議客戶的最優期權購買數量。

本文利用動態規劃逆向推理的方法，首先根據金融市場中相關知識，利用二叉樹模型在對期權執行價格已知的情況下對鐵路運輸企業銷售的期權進行定價，然后基于鐵路運輸企業和協議客戶收益最大化的最優決策模型，解決期權執行價格制定和期權購買數量的問題。

2．2 研究假設

假設1:按照需求曲線，協議客戶的市場期望收益為市場需求D的函數，需求量D與現貨市場貨物的售價p一般是負相關的。因此，假設需求D=a－bp+ε，ε是分布函數為F(x)，密度函數為f(x)的隨機分布。

假設2:在t=0時，協議客戶不知道t=T時的現貨市場運力價格，但是知道現貨市場運力價格的分布。本文中假設現貨市場運力的價格將是兩種可能值中的一種，即上升到一定的百分比，或者下降到一定的百分比。

2．3 符號定義

設s0為t=0時現貨市場中單位運力的價格;su為到期日現貨市場價格上行時單位運力價格;sd為到期日現貨市場價格下行時單位運力價格;u為現貨市場單位運力價格上行乘數;d為現貨市場單位運力價格下行乘數;r為無風險利率;c0為鐵路貨運期權單位運力的期權費用;cu為現貨市場價格上行時鐵路貨運期權到期日價值;cd為現貨市場價格下行時鐵路貨運期權到期日價值;c為鐵路貨運期權的單位運力的期權執行價格;n為協議客戶的期權購買量;b0為鐵路提供單位運力的長期準備成本;b1為鐵路提供單位運力的短期生產成本;K為鐵路貨物運輸的總運輸能力;C為單位運力的固定生產成本。

2．4 模型的建立

2．4．1 二叉樹期權定價模型的建立

在利用二叉樹模型進行定價時需要建立在以下假設基礎之上。

假設1:在該模型中期權的執行價格為外生變量，期權費用是受期權執行價格影響的內生變量。

假設2:鐵路運輸企業和協議客戶都是現貨市場貨運價格的接受者，貨運價格受鐵路貨運市場收益率標準差的影響。

統計并對比護理干預前后兩組心理狀態的變化情況和疾病健康知識掌握能力。①根據患者焦慮、抑郁評分的變化評測其心理狀態,其中得分愈高提示焦慮情緒和抑郁狀態愈嚴重,焦慮總分為100分,抑郁總分為10分;②自擬調查問卷表并回收有效問卷,采用百分制進行得分統計,90分及以上為優,60-89分之間為良,低于60分為差。

假設3:協議客戶為風險規避型的，持有期權的期望報酬率為無風險利率。

假設4:鐵路貨運期權只能在到期日執行，即為歐式期權。

(1)單期二叉樹模型。期權的到期日價值受現貨市場價格和期權執行價格的影響，若到期日現貨市場的貨運價格高于期權執行價格，則期權的價值=現貨市場貨運價格－期權執行價格，若到期日現貨市場價格低于期權執行價格，則期權的價值為0，此時協議客戶放棄執行期權，用二叉樹可以表示為如圖2所示。

圖2 單期二叉樹Fig．2 Single－phase binary tree

協議客戶持有期權的期望報酬率=無風險利率=上行概率×價格上升百分比+下行概率×(－價格下降百分比)=上行概率×(上行乘數－1)+下行概率×(下行乘數+1)，即為

即期權費用c0=c0(c，s0)。

(2)多期二叉樹模型。單期的定價模型假設本來現貨市場單位運力的價格只有兩個可能，對于時間很短的貨運期權來說時可以接受的，若到期時間較長，如本文中1月的時間，就與事實相去甚遠。改善的辦法是把到期時間分割成多部分，就可以使期權價值更接近實際。從原理上看，與兩期模型一樣，從后向前逐級推進，只不過多了幾個層次。期數增加以后帶來的主要問題是現貨市場單位運力價格上升與下降的百分比確定問題。期數增加以后，要調整價格變化的升降幅度，以保證貨運市場年收益率的標準差不變。可以假設年收益率與升降百分比滿足以下的等式:

式中:e為自然常數，約等于2．718 3;σ為鐵路貨運市場收益率的標準差;t為以年表示的時間長度。

設:suu為現貨市場中單位運力價格在多個時期都上升;sdd為現貨市場中單位運力價格在多個時期都下降;sud為現貨市場中單位運力價格在一個時期上升，另一個時期下降;cuu為現貨市場單位運力價格都上升的鐵路期權價值;cud為現貨市場單位運力價格都下降的鐵路期權價值;cdd為現貨市場單位運力價格一個時期上升一個時期下降的期權價值。用二叉樹表示如圖3所示。

圖3 多期二叉樹Fig．3 Multi－ period binary tree

c0根據單期二叉樹模型從后向前逐級推進。以2期二叉樹模型為例:

同樣地，c0是關于期權執行價格c和現貨市場貨運價格s0的變量，即可以表示為c0(c，s0)。

2．4．2 執行價格以及期權購買量的確定

(1)問題描述。假設現貨市場運力價格為2種價格中的1種，上升為su的概率為P，下降為sd的概率為1－P。

鐵路運輸企業與協議客戶在進行交易時具體操作順序如下:

①鐵路運輸企業制定期權費用c0和期權執行價格 c。

②協議客戶根據鐵路運輸企業制定的期權定價政策(c0，c)，根據其對市場的預期收益效用函數，選擇最優運力訂購量n，并支付期權費用c0n。

③在期權的交易日，協議客戶根據現貨市場的價格和期權的執行價格來決定是否執行期權以及其在現貨市場的運力購買量。

④鐵路運輸企業支付長期準備成本和短期準備成本，并支付固定生產成本KC。

(2)模型建立。對協議客戶的最優期權購買量以及鐵路運輸企業最優期權執行價格的確定均需要分情況討論。

情況1:當t=T時，若現貨市場的運力價格為低價sd＜c，協議客戶選擇直接從現貨市場購買，放棄使用期權。

協議客戶的利潤函數為:

鐵路運輸企業的利潤函數為:

代入D=a－bp+ε，可得協議客戶和鐵路運輸企業利潤的期望值分別為:

情況2:當t=T時，若現貨市場的運價為高價su＞c，協議客戶盡量使用期權以減少運力成本。如果t=0時購買的期權數量大于t=T時的實際需求量，則只需要執行期權來滿足需求。如果t=0時購買的期權數量小于t=T時的實際需求量，則除了執行期權，還需要從現貨市場中購買運力以滿足需求。

協議客戶的利潤函數為:鐵路運輸企業的利潤函數為:

代入D=a－bp+ε，可得協議客戶和鐵路運輸企業的利潤的函數分別為:

則利潤的期望值分別為:

結合情況1和情況2，則協議客戶的利潤期望值為:

對E(Γ)求n的一階導數，可得:

則可得到協議客戶的最優期權購買量n滿足的條件為:

同樣，鐵路運輸企業的利潤期望值為:

對E(Π)求n的一階導數，可得:

結合式(18)和(20)可得鐵路運輸企業的最優期權執行價格:

3 算例分析

假設鐵路貨運市場提前1月制定期權價格與期權費用，協議客戶根據其定價政策選擇其最優期權訂購量，在現貨市場中根據現貨市場價格決定期權執行量。

假設在期權到期日存在現貨市場，且ε的分布為滿足［－200，+200］均勻分布，密度函數為:

分布函數為:

設長期生產成本為b0=160，短期生產成本b1=240，市場無風險利率r=4%，以兩期二叉樹模型為例，若期權制定前1天現貨市場運力價格s0=200，市場收益率標準差σ =0．4068，則上行乘數u=1．1246，下行乘數 d=0．8892，可以計算出上行概率 P=0．64，下行概率1 － P 為0．36，則在單期二叉樹樹模型中，su=220。

據此，根據式(21)可得最優期權執行價格c=180。可以看出:鐵路運輸企業制定的協議價格相比現貨市場的運力價格下降了18%，其大小與現貨市場運力價格、長期準備成本、短期準備成本相關。

為了使求得的期權費用更加精確，采用兩期二叉樹模型求解期權費用，如圖4所示。

圖4 兩期二叉樹求解過程Fig．1 Two－period binary tree sdution process

可以求得期權的費用c0=20。

總結求解最優期權訂購量的相關條件為:

c0=20，c=180，su=220，假定 D=a － bp+ε 中，a=1000，b=0．5，p=500，把上述條件代入公式(18)可得協議客戶最優期權訂購量為:n=750。

綜上所述，可得鐵路運輸企業的最優定價策略:c=180，c0=20;協議客戶的最優期權購買量n=750。

根據上述假定和結論，計算在鐵路運輸企業制定不同的價格政策時協議客戶的最優期權訂購量，其結果如表1所示。

表1 最優期權訂購量對定價政策的敏感性分析Table 1 Sensitivity analysis of the optimal quantity to pricing policy

從表1可以看出:在期權執行價格給定的情況下，隨著期權價格的升高，協議客戶的期權購買量逐漸減少;在期權價格給定的情況下，隨著期權執行價格的升高，協議客戶的期權購買量逐漸減少。這是因為:隨著期權成本的上升，期權執行價格的上升，協議客戶比較傾向直接在現貨市場中購買運力，而不是購買期權。

4 結論

(1)鐵路運輸企業制定的協議價格與現貨市場價格、鐵路運輸企業的長期準備成本正相關，與鐵路運輸企業短期準備成本負相關。

(2)協議客戶的最優期權購買量與期權價格、期權執行價格負相關。

本文設計的模型僅考慮了鐵路運輸企業和協議客戶之間的供求關系，并沒有考慮實際市場中鐵路運輸企業與其他運輸方式之間的競爭。

［1］Ritchken P，Tapiero C．Contingent claims contracting for purchasing decision in inventory management［J］．Operation Research，1986，34(6):864 －870．

［2］Cachon G，Lariviere M．Contracting to assure supply:How to share demand forecasts in a supply chain［J］．Management Science，2001，47(5):629 －646．

［3］Seifert，Ralf W Thonemann，Ulrich W Hausman，et al．Optimal procurement strategies for online spot markets［J］．European J of Operational Research，2004，152(3):781 －799．

［4］郭 瓊，楊德禮．基于期權與現貨市場的供應鏈契約式協調的研究［J］．控制與決策，2006，21(11):1229－1234．GUO Qiong，YANG De-li．On supply chain coordination with contract based on option and spot market［J］．Control and Decision，2006，21(11)，1229 －1234．

［5］郭 瓊．基于期權契約的供應鏈協作模型的研究［D］．大連:大連理工大學，2006．GUO Qiong．Research on supply chain coordination with option contracts［D］．Dalian:Dalian University of Technology，2006．

［6］郭 瓊，遲國泰．基于期權的供應鏈契約式協調模型［J］．系統工程，2005，23(10):1 －6．GUO Qiong，CHI Guo-tai．Supply chain cooraination with option contract［J］．Systems Engineering，2005，23(10):1－6．

［7］趙 霞，黃培清．一種基于期權合約和現貨市場的零售商采購模型研究［J］．科學技術與工程，2009，9(4):1085－1088．ZHAO Xia，HUANG Pei-qing．Model for retailer’s procurement based on option contract and spot market［J］．Science Technology and Engineering，2009，9(4):1085 －1088．

［8］劉 晉，段 毅．基于期權的供應鏈伙伴關系管理［J］．統計與決策，2008(14):62－64．LIU Jin，DUAN Yi．Supply chain partnership management based on the options［J］．Statistics and Decision，2008(14):62－64．

［9］佟 斌，潘 新．基于需求預測的供應鏈期權式契約協調［J］．系統工程，2006，24(11):13 －18．TONG Bin，PAN Xin．Supply chain coordination with option contract under demand updating［J］．Systems Engineering，2006，24(11):13 －18．

［10］馬 成．基于期權契約的供應鏈協調問題研究［D］．合肥:合肥工業大學，2009．MA Cheng．Study on supply chain coordination based on option contracts［D］．Hefei:Hefei University of Industrial，2009．

［11］馬士華，胡劍陽．一種基于期權的供應鏈能力預訂模型［J］．管理工程學報，2004，18(1):8 －11．MA Shi-hua，HU Jian-yang．A model for supplier’s capacity ordering with options［J］．Journal Of Industrial Engineering and Engineering Management，2004，18(1):8－11．

［12］Rolf H．Capacity options for revenue management—theory and applications in the air cargo industry［D］．WHU Otto Beisheim School of Management，2006．

［13］趙明瑞，周 寒．航空貨運的期權銷售模式初探［J］．空運商務，2009(236):19－20．ZHAO Ming-rui，ZHOU Han．Study on the model of air cargo option．［J］．Air Transport Business，2009(236):19－20．

［14］王曉哲，楊靜蕾．期權理論下的貨運市場運力組織研究［J］．物流技術，2009，28(12):7 －9．WANG Xiao-zhe，YANG Jing-lei．Study on the transport capacity organization of the freight market based on option theory［J］．Logistics Technology，2009，28(12):7 －9．

［15］雷麗彩，周 晶．風險規避下的航空貨運期權定價Stackelberg博弈模型［J］．系統工程理論與實踐，2010，30(2):264 －271．LEI Li-cai，ZHOU Jing．Stackelberg game model of capacity options for air cargo under risk aversion［J］．Systems Engineering Theory ＆ Practice，2010，30(2):264 －271．