利用靜電場原理復現微小力值的實驗研究*

劉 明，林玉池，鄭葉龍，靳 展，劉 錚

(天津大學精密測試技術及儀器國家重點實驗室，天津300072)

隨著現代科學技術的深入發展，微小力值(≤10－5N)的計量在各個領域中占據著越來越重要的位置，涉及航空航天、儀器儀表、生物醫藥以及微納制造等領域。但是各國并沒有建立統一的微小力值的計量方法。

力值計量是保證力值準確傳遞的必要手段，通常，力值標準通過砝碼來復現。但是受最小力值砝碼的限制，目前國內可測量及溯源的，也就是可計量的最小力值為 mN［1－2］級，大約在 10－3N ～ 10－4N。當質量小于mg［3］級時，質量本身存在很大的不確定度，因此就需要尋找新的力值溯源方法。

美國國家標準與技術研究所(NIST)研發了一種基于電子單元的靜電力天平(EFB)［4－5］，在 10－6N量級內其分辨率可達到15 nN;英國的NPL(國家物理實驗室)也已經提出并致力于研究微力測量及溯源，并且已成功研發出在1 nN～10 nN范圍內可操作的力平衡系統以及相應的力值傳遞模型［6］，其分辨率可達50 pN;德國也已經研發了一種剛度可減小的靜電力系統結構［6］，測量范圍 7．6×10－13N ～10－5N，分辨率達 7．6×10－13N［7］。

國內在該領域還未展開深入的研究，全面、系統的研究微小力值測量成為當務之急。

1 原理分析及系統設計

法拉第認為:靜電場中每一段電通密度管，沿其軸線方向要受到縱張力，而在垂直于軸線的方向上則要受到側壓力［8］。同樣，靜電場中的帶電導體受到沿電場方向的電場力的作用，產生運動，說明靜電場能夠做功，即靜電場具有能量［9－10］。不規則形狀導體的電荷分布形態復雜，需要引入虛位移法求解靜電力值，即假定帶電體在廣義坐標系下發生一定的位移，由位移過程中電場能量的變化與外力及電場力做功之間的關系得出電場力值。

包含兩個導體的系統，其中一個導體作為參考，另一個導體發生假想的虛位移(dz)，這時系統的功能轉換過程如下:

其中dW(=Σφkdqk)是電源提供的能量，dWe表示靜電能量的增量，Fdz表示靜電力所做功。

對于常電位系統，各帶電體電位保持不變，已知

即靜電能量的增量等于電源提供能量之半，另一半用于機械做功。因而，

由此得廣義力

已知圓柱形電容器儲存的靜電能為

聯合(4)(5)可得，

即

本文設計了基于靜電場原理的微力值測量系統。系統框圖如圖1所示。

該系統由三部分組成，模塊一(電容梯度測量)、模塊二(平衡電壓監測)和模塊三(誤差補償、數據處理及力值計算)。系統的核心部分是一個變截面型的圓柱形電容器，測量電極和平衡質量塊分別懸掛于特殊設計的杠桿兩端，杠桿通過刀口支撐，可以繞支點轉動。測量時外電極通過三維可調底座以及二維調整架進行固定，相對于內電極可調同軸度以及垂直度等，內電極安裝于杠桿上，可調節初始平衡狀態。

圖1 測量系統示意圖

2 理論計算

系統設計的杠桿比例是1∶1的，根據杠桿原理可知，一端施加已知質量的物體產生微小力值使杠桿偏離平衡位置，另一端電容器極板間加電壓產生靜電力，當杠桿回到平衡時兩端的力是相等的，根據測量原理F=(U2dC/2)/dz=(U2/2)(dC/dz)，可以計算出待測微小力值。

針對本設計系統，電容梯度理論值設計為0.862 pf/mm，用已知質量進行計算，取當地重力加速度為9．8 N/kg，數據如表1所示。

表1 F－U理論數據表

3 仿真建模

根據系統設計原理以及電容器實際的尺寸，通過電磁場專用仿真軟件Maxwell對本系統進行仿真實驗，所建模型如圖2所示。

圖2 電容器模型

根據實驗中使用的電容器的尺寸，設置仿真模型尺寸及相關參數。內極板外徑15 mm，外極板內徑16 mm，極板長度為15 mm，兩極板材料選擇鋁，設定初始重疊長度8 mm，極板之間填充空氣為電介質，設定合適的求解域和邊界條件，對模型進行合理的網格劃分，設定合理的求解誤差限以及迭代次數，使有限劃分單元的計算結果盡量接近實際值。

選擇內、外電極之間的靜電力作為求解參數，然后依次向內、外極板間施加如下表所示電壓值，求解并記錄靜電力值。得到的仿真數據如表2所示。

表2 靜電力仿真值

通過上述數據，做出理論值與仿真值的對比曲線及相對誤差曲線如圖3所示。

圖3 理論值－仿真值對比曲線及誤差

理論計算曲線與仿真曲線趨勢相符，但是有一定的誤差(≤1．2%)，其主要來源是軟件所設置的網格劃分及邊界條件與理想狀態的偏差。Maxwell是通過有限元劃分原理實現仿真，它將實際物體模型劃分為有限數量的單元，通過電磁場理論由一套麥克斯韋方程組描述，對給定邊界條件下的麥克斯韋方程組及其演化出的微分方程進行求解，最終給出接近實際值的仿真結果，但是不同的網格劃分、邊界條件設定或者不同的模型建立方法，以及材料和介質的具體參數的設定，都會對有限元仿真結果產生一定的影響。

4 系統實驗

在實驗室環境下，使用自行設計加工的電容器以及平衡杠桿等裝置，搭建試驗系統，首先進行電容器電容梯度的測量［11－12］。將電容器內、外電極同軸安裝在圖1模塊一所示的測量支架上，給內電極一定的軸向位移，通過激光干涉儀測得位移變化量，隨著內、外電極的重疊長度發生變化，電容值會發生相應的變化，通過集成式電容測量電路AD7747測量電容值［13］，記錄其中一組數據如表3。

表3 電容梯度測量數據

實驗使用的電容器的電容梯度理論值為0．862 pf/mm，實際測量值與理論值之間存在一定的誤差，這主要是由于實際測量環境的相關因素變化引起的，例如空氣流動以及溫度、濕度的變化，使電介質的介電常數發生變化，引入試驗數據的誤差。空氣介電常數對電容梯度的影響曲線如圖4所示。

另外，電容器安裝時內、外電極可能不嚴格同軸，引入軸向偏差，從而影響電容測量值。

除上述影響因素外，電容器本身的邊緣效應帶來的非線性，也會使不同位置處測得的電容梯度有所差別;測量導線與裝置之間引入的雜散電容也是一個影響因素。

取上述8組測量值的平均值0．852 pf/mm作為實驗電容器的電容梯度值。

圖4 空氣相對介電常數變化對電容梯度的影響

圖5 軸向偏差對電容梯度的影響

在搭建好的實驗平臺上，在微力施加端加已知質量塊，杠桿偏離初始平衡位置，然后向內、外電極施加可調電壓，在靜電力作用下杠桿發生轉動，通過激光干涉儀監測平衡位置，此時記錄平衡電壓值，實驗數據記錄如表4所示。

表4 實驗數據

圖6 對比曲線及誤差曲線

從圖6可以看出，理論曲線與實驗曲線基本吻合，說明了系統原理的正確性以及實驗的可行性。但是仍存在一定的誤差。誤差來源主要有以下幾方面:

首先，電容器的實際值與理論值之間存在誤差(原因如前所述);其次，機械結構部件之間存在一定的摩擦力會耗費一定的靜電力;另外，隔振效果不理想、實驗室環境不穩定等都會造成結果誤差。

5 結論

本文提供了一種采用靜電場原理實現的微小力值的高精度測量方法，論證了原理的正確性;同時搭建了實驗平臺并且進行了相關實驗，進一步驗證了方案的可行性。根據文中針對于誤差產生原因的分析，可以進一步的完善系統結構及改進實驗環境。

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