三招定面積

在初中數(shù)學(xué)中，求斜三角形面積或者相關(guān)問題是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，求解的方法也比較復(fù)雜，常成為競賽或者中考?jí)狠S題.其實(shí)解決面積問題，只需三招，下面將結(jié)合實(shí)例分析.

【例】 如圖1，y=-33x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)P（a，12），且△ABP的面積與△ABC的面積相等，求a的值.

方法一、分割法

這種方法通常用x軸、y軸或者作x軸、y軸的平行線把一個(gè)三角形分成兩個(gè)三角形，這兩個(gè)三角形同底，而它們高的和是常數(shù)或者可以用同一個(gè)變量來表示，從而可以求出斜三角形的面積.

解：過點(diǎn)P作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)D，交直線AB于點(diǎn)E（如圖2）.

對(duì)直線y=-33x+1，令x=0，得y=1，則OB=1；令y=0，得x=3，則OA=3，所以AB=2，S△ABC=12AB×AC=2.因?yàn)?S△PAB=S△PEB+S△PEA，所以S△PEB+S△PEA=S△ABC=2，即12PE×BD+12PE×OD=12PE×OB=2

，把y=12代入y=-33x+1得x=32，PE=32-a，所以12×(32-a)×1=2，解得a=3-82.

類似地，△PBA的面積也可以豎直地進(jìn)行分割，以y軸為分割線把△PBA分割成△PBD和△ABD，解決問題的方法類似.

從兩種分割方法的比較中，不難發(fā)現(xiàn)，水平分割法求面積比較簡潔，討論類似問題時(shí)要注意適當(dāng)選用分割方法.

方法二、補(bǔ)形法

這種方法通常作輔助線，把原三角形補(bǔ)成面積易求的圖形，利用圖形面積差來解決問題，方法是補(bǔ)形后的圖形的底或高在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行.

解：連結(jié)OP（如圖3），因?yàn)镾△PBA=S△OAB+S△OBP-S△OAP，所以12×OA×OB+12OB×|Px|-12OA×|Py|=2（其中Px、Py分別表示點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)），即12×1×3+12×1×(-a)-12×3×12=2，解得a=3-82.

方法三、構(gòu)造法

原三角形是一個(gè)斜三角形，它的面積比較難求，所以可以考慮構(gòu)造一個(gè)與之面積相等的新三角形，而新三角形的面積是易于求解的，構(gòu)造的方法是：作原三角形底邊的平行線，利用同底等高的三角形面積相等來構(gòu)造新的三角形.

解：過點(diǎn)P作PD∥AB，交y軸于點(diǎn)D（如圖4）.

設(shè)PD：y=-33x+b，把點(diǎn)P（a，12）代入解析式，b=12+3a3，所以BD=12-3a3.而△PAB與△DAB同底等高，所以S△PAB=S△DAB=S△ABC=2，即12BD×OA=2，12(12-3a3)×3=2，解得a=3-82.

分割、補(bǔ)形或者構(gòu)造是求斜三角形面積的常見三種求法，細(xì)細(xì)體會(huì)三者的聯(lián)系和區(qū)別，將使我們對(duì)于問題的本質(zhì)認(rèn)識(shí)更加清晰，思維也就有了質(zhì)的飛躍.正如華羅庚先生所言：“不斷積累，飛躍必來，突破隨之.”

【牛刀小試】在直角坐標(biāo)系中(如圖5)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－3，－4)，線段OB繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與x軸的正半軸重合，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A．

(1)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使BC＋OC的值最小？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在x軸的上方，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAB的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PAB的最大面積．

解：（1）A（5，0），設(shè)y=ax（x-5），將點(diǎn)B（-3，-4）代入解析式得a=-16，所以經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的解析式為y=-16x2+56x.

（2）拋物線的對(duì)稱軸為直線x=52，點(diǎn)O關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，連結(jié)AB，交直線x=52于點(diǎn)C，此時(shí)BC+OC的值最小.

設(shè)AB：y=kx+b，把A（5，0）、B（-3，-4）代入解析式得

5k+b=0，-3k+b=-4，解得k=12，b=-52.

所以直線AB的解析式為y=12x-52.當(dāng)x=52時(shí)，y=-54，所以C（52，-54）.

（3）過點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)D.設(shè)P（m，-16m2+56m），則點(diǎn)D（m，12m-52），PD=(-16m2+56m)-(12m-52)=-16m2+13m+52.

因?yàn)?/p>

S△PAB=S△PAD+S△PBD=12PD×AE+12PD×BF=12PD(AE+BF)，

所以S△PAB=12×8×(-16m2+13m+52)=-23m2+43m+10=-23(m-1)2+323

，此時(shí)m=1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，23），△PAB的面積最大值為323.

(責(zé)任編輯 金 鈴）