問渠哪得清如許,為有源頭活水來

人教版高一數學（下）第117頁例5可敘述為真命題（后面稱結論）:A、B、P三點共線OP = mOA+ nOB，m+n=1.它反映了共線三點與平面向量間的內在聯系（即直線的向量式），以它為依托的近年高考試題，不僅問題立意新穎，內容與內涵豐富，更體現了知識間的動態生成性，下面舉例說明.

【題1】 （2007年全國高考卷Ⅱ（理）5）在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若AD=2DB，CD=13CA+λCB，則λ=（ ）. 

A．23 B.13 C.- 13 D.-23 

分析: 由結論得13+λ＝1，所以λ=23.

【題2】 （2007年江西卷（理）15）如圖1，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若AB=mAM，AC=nAN，則m+n的值為 .

解法1：∵BO=OC，AB=mAM，AC=nAN，

∴AO=12(AB+AC)=m2AM+n2AN.①

設OM=λON，

則AM-AO=λ(AN-AO)，得AM=(1-λ)AO+λAN.②

由①②得（1m+λ-12）AB=(1-λ2+λn)AC.

又A、B、C不共線，所以有1m+λ-12=0，1-λ2+λn=0，

消去λ得m+n=2.

解法2:(利用結論)由已知得AO=m2AM+n2AN，又O、M、N共線，所以m2+n2=1，即m+n=2.

評析: 題1、題2屬平面向量基礎性問題，題1即例5，題2是例5的變式拓展，題2中過點O的直線MN在平面ABC內旋轉與直線AB、AC相交于任何位置，其結果不變.還可由特例“當MN與BC重合時，m=n=1”得解.

【題3】 （2006年陜西卷（理）21）如圖2，三定點A（2，1），B（0，-1），C（-2，1），三動點D、E、M滿足AD= tAB， BE=tBC，DM=tDE，t∈［0，1］.

求動點M的軌跡方程. 

解：設M（x，y），則OM=（x，y），OA=（2，1），

OB=（0，-1），OC=（-2，1）.

∵AD=tAB，∴OD=（1-t）OA+tOB，

OE=（1-t）OB+tOC，OM =（1-t）OD+ tOE，

∴OM=(1-t)2OA+2t（1-t）OB+ t2OC=（2（1-2 t），(1-2 t )2），

∴x=2(1-2t)2，y=(1-2t)，消去t得y=14x2，x∈［-2，2］.

評析:題3的條件AD=tAB，BE=tBC，DM=tDE與課本例5的條件如出一轍(題3多兩個)，是例5的變式，與題2有驚人的相似之處.題2是動直線過定點，動點M、N分別分線段AB、AC的定比和不變;題3是動線段DE的兩個端點在定線段上運動，動線段上的點M分線段DE的定比不變，所以可用同一方法來解決.

啟示: 1.對于選擇題和填空題除了運用概念、定理、法則和公式等基礎知識外，還常用一些“半成品”結論，使問題解決高效、準確，如題1、2；題3盡管不能直接用結論，但可用證明結論的思路突破障礙.三道題均可用同一思路(共線→向量關系→已知與未知向量關系→結果)來解決，可以說是解決這類問題的一種通法.

2.向量是新編入高中數學教材的內容之一，它與函數、不等式、方程、解析幾何、立體幾何和復數等知識內容的和諧相容性，處理問題方法上的直觀性與靈活性越來越體現出向量的工具性作用.

3.變式教學是數學教學中扎實基礎，培養和提高能力的有效途徑之一.對課本例習題縱橫向的開發和運用是最直接、最方便、最豐富的可再生資源，適度開發能讓學生從不同角度去理解并掌握概念命題，把握思想，明確方法.我們常探討高考試題的出處與背景，其目的是追根求源，回歸課本，重視基礎.特別是在復習中盡量避免抱定資料不放手，要以課本為藍本與資料進行有機整合，找準知識最佳結合點，編擬派生出一道道具有思考價值的有效問題.

(責任編輯 金 鈴）