一道試題的講評
2012-01-01 00:00:00尹伯陽
中學教學參考·理科版 2012年4期
在2011年的高考前，我給學生進行高考模擬卷的講評.其中有一道題目的講評過程是這樣的：
老師：首先認真審題，解題信息就在題目當中.解題的成敗，審題是起了決定性的作用的.再看一遍題目.
題目：若對于任意角θ，都有cosθa+sinθb=1，那么下列不等式中恒成立的是（ ）.
A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1
C.1a2+1b2≤1
D.1a2+1b2≥1
試題來源：本題是2011年上海普陀區模擬考試試題，是由前幾年的一道高考試題改編而成.
選題意圖（對應知識點）：運用消元的方法解決不等關系.本題可以有多種解決方法，體現思維的發散性和靈活性.
老師：題目當中，條件與結論有什么異同點？解題的方向就是化異為同.
學生：條件與結論當中都有字母a與b，這是共同點 ，條件是等式而結論是不等式，這是不同點.還有條件當中有三角函數，結論中沒有.
老師:怎么樣把三角函數消去呢？
學生：用“正弦函數與余弦函數的平方和等于1”來消.（思考后，還沒有得出解決方法.）
老師：解法一：由柯西不等式(a21+a22)(b21+b22)≥(a1b2+a2b2)2得：
1=(1a·cosθ+1b·sinθ)2≤(1a2+1b2)·(cos2θ+sin2θ)=1a2+1b2
，所以選D.
體會1：應用“正弦與余弦平方和等于1”來消元是比較常見的思考，柯西不等式在上教版課本向量這一章出現，但是用得較少，一般同學們不熟悉.
學生：我真的就是不知道.
老師：對于課本上的知識，應當搞清楚來龍去脈.比如柯西不等式，課本上是利用兩個向量積的模不大于模的積來證明推導的.
解法二：由向量模的性質|a·b|≤|a|·｜b｜，
令a=(1a，1b)，b=(cosθ，sinθ)，那么代入上式就有
1=(1a·cosθ+1b·sinθ)2=|a·b|2≤(|a·b|)2=(1a2+1b2)·(cos2θ+sin2θ)=1a2+1b2.
體會2：向量模的性質，是一個重要的結論，可以用來解決不等的問題.
學生：這個看得懂，但還是不太容易想到.
老師：除了用“正弦與余弦平方和等于1”來消元外，是不是還可以用正弦函數的最大值為1來消元啊.
學生思考后，提出新的解決方案.
解法三：由三角函數輔助角公式：a·cosθ+b·sinθ=a2+b2·sin(θ+φ)，
得1a·cosθ+1b·sinθ=1a2+1b2·sin(θ+φ)≤1a2+1b2
，于是1a2+1b2≥1
，所以選D.
老師：解決得比較好.
體會3： 先用三角函數輔助角公式化簡，然后利用正弦函數的有界性得解.請繼續思考，看一看問題的幾何背景.
解法四：由條件知：單位圓上一點（cosθ，sinθ）在直線1a·x+1b·y=1上，所以圓心（0，0）到直線的距離不大于1. 根據點到直線的距離公式也可以得出1a2+1b2≥1，所以選D.
體會4：數形結合，產生聯想.遇問題要想一想它的幾何背景 .
學生：還有沒有其他更加簡單的方法呢？
老師：簡單與不簡單其實是相對的，考試的時候你能夠想到的方法就是最好的方法.
解法五：由條件知，過單位圓上一點(cosθ，sinθ)在兩個坐標軸截距分別是a和b的直線是1a·x+1b·y=1
， 通過作過單位圓上一點的切線和過接近原點的一點作與單位圓相交的直線.看兩幅圖像，觀察截距應該滿足的條件，利用排除法，也可以得出D的結果.
體會5：作圖像，用特殊值利用排除法快速求解，是選擇題填空題常用的一種解題方法.
很多學生通過這一次講評，覺得收獲很大.一是提高了學習的積極性，有了興趣，有了信心.二是學會了思考問題的方法，就是觀察條件和結論的異同點，想方設法化異為同.
(責任編輯 黃桂堅）
