例談構造法求遞推數列的通項公式
2012-01-01 00:00:00陳祖文
中學教學參考·理科版 2012年4期
數列問題歷年來都是高考命題的熱點，由于所給的遞推形式千變萬化，從而使其通項公式成為教學難點，本文主要談談如何構造輔助數列去求解析幾何類常見數列的遞推公式.
一、an=a·an-1+b型
形如an=a·an-1+b(a，b為常數且a≠0，1，b≠0)的數列，求解此類線性關系的數列的通項公式一般可用待定系數法，通過化歸，轉化為新的等比數列an+t=a(an-1+t)，最后通過新的等比數列進行求解和轉化.
【例1】 已知數列｛an｝中，a1=2，an+1=(2-1)(an+2)，求數列｛an｝的通項公式.
解：設an+1+t=(2-1)(an+t)，所以t=1，所以an+1+1=(2-1)(an+1)，即an+1+1an+1=2-1，所以數列｛an+1｝是以a1+1=2+1=3為首項，以2-1為公比的等比數列，所以通項公式為an+1=3×(2-1)n-1，從而an=3×(2-1)n-1-1.
評析：根據an+1、an的線性關系，用待定系數法構造一個新的等比數列，最終求出通項公式.這種類型的遞推關系在高考中是比較常見的，屬于常規題.
二、an+1=a·an+f(n)型
若a=1，用累加法進行求解；若a≠1，則對f(n)進行分類：
1.當f(n)=pn+q時，將原式變形為an+1+A(n+1)+B=a(an+An+B)，根據待定系數法和系數對比得：A=pa-1，B=qa-1+p(a-1)2
，從而構造一個新的等比數列｛an+An+B｝，首項為a1+A+B，公比為a，從而求出an=(a1+A+B)·an-1-An-B.
2.當f(n)=pn2+qn+r時，將原式變形為an+1+A(n+1)2+B(n+1)+C=a(an+An2+Bn+C)，從而構造一個新的等比數列｛an+An2+Bn+C｝，余下步驟同上.
【例2】 設數列{an}中，a1=1，an+1=3a+2n+1，求數列{an}的通項公式.
解：設an+1+A(n+1)+B=3(an+An+B)，∴an+1=3an+2An+2B-A，與原式系數對比得：A=1，B=1，∴an+1+(n+1)+1=3(an+n+1)，數列{an+n+1}是以a1+1×1+1=3為首項，3為公比的等比數列，∴
an+n+1=3×3n-1，即an=3×3n-1-n-1=3n-n-1.
【例3】 數列{an}中，a1=1，an+1=2an-n2+3n(n∈N*)，求數列{an}的通項公式.
解：設an+1-A(n+1)2+B(n+1)=2(an-An2+Bn)，∴an+1=2an-An2+(2A+B)n+A-B，系數對比得：A=1，B=1，所以an+1-(n+1)2+(n+1)=2(an-n2+n)，數列{an-n2+n}是以a1-12+1=1為首項，公比為2的等比數列，∴an-n2+n=1×2n-1，即an=2n-1+n2-n.
評析：此類題目通過待定系數法巧妙確定參數A、B的值，把遞推關系式加以轉化和化歸為熟悉的等比數列問題，再用相應的等比數列性質來求解通項公式.
三、an=can-1+d·bn型
此類遞推類型的通項公式，一般可以通過左右兩邊同時除以bn或同時加上λbn+1，使其化歸為求由形如an+1=a·an+f(n)確定的數列的通項公式.
【例4】 設數列{an}中，a1=1，an+1=3an+2n，求{an}的通項公式.
解法1：∵a1=1，an+1=3an+2n，兩邊除以2n+1得an+12n+1＝
32×an2n+12
，令bn=an2n，所以bn+1=32bn+12，再利用上面“an=a·an-1+b型”進行求解.
解法2：設an+1+λ2n+1=3(an+λ2n)，展開得an+1=3an+2n，系數對比得λ=1，所以an+1+2n+1=3(an+2n)，數列{an+2n}是以a1+21=1+2=3為首項，3為公比的等比數列，∴an+2n=3×3n-1=3n，即an=3n-2n.
四、an+1=c·anan+d型
此類型是兩邊取倒數，運算中注意新數列的首項、公差或公比的變化.
【例5】 數列{an}滿足an≠0，且an=3an-1an-1+3(n≥2)，a1=12，求其通項公式an.
解：∵an=3an-1an-1+3(n≥2)，兩邊取倒數得1an=1an-1+13，所以數列{1an}是以1a1=2為首項，13為公差的等差數列，∴1an=2+(n-1)×13，即an=3n+5.
評析：在學習數列中，常會遇到一些用常規方法很難解決的分式問題，對于此類問題，若能根據題目所給的條件巧取倒數，再求解，往往會立竿見影，事半功倍.
五、an+1=c·apn(c＞0，an＞0)型
這種類型一般是兩邊取對數，得：lgan+1=plgan+lgc .
【例6】 設正項數列{an}，其中a1=1，且an=2a2n-1(n≥2)，求數列{an}的通項公式.
解：兩邊取對數得：log2an=2log2an-1+log22=2log2an-1+1，∴log2an+1=2(log2an-1+1).設bn=log2an+1，∴bn=2bn-1，所以數列{bn}是以b1=log2a1+1=log21+1=1為首項，公比為2的等比數列，故bn=1×2n-1=2n-1，即log2an+1=2n-1，log2an=2n-1-1，∴an=22n-1-1.
評析：本題解決的關鍵是等式兩邊同時取對數，從而將原來的次冪降低，而對數底數的選取可以因題而靈活處理，像本題也可以取以10為底的對數.
六、an+1=λan+μan-1(λ、μ是不為零的常數）型
此類型可變形為an+1+p·an=k(an+p·an-1)，則數列{an+1+p·an}是公比為k的等比數列，就把問題轉為類型一.
【例7】 已知數列{an}滿足a1=1，a2=2，an+1=an+an+12，n∈N*.
(1) 令bn=an+1-an，證明{bn}是等比數列;
(2) 求{an}的通項公式.
解：(1)由已知得：an+2-an+1=-12(an+1-an)，∴bn+1=-12bn，即數列{bn}是以b1=a2-a1=2-1=1為首項，公比為-12的等比數列.
(2)由(1)知，bn=an+1-an=(-12)n-1，
當n≥2時，
(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-1-an-2)+(an-an-1)
=a1+b1+b2+…+bn-2+bn-1
=1+(-12)0+(-12)1+…+(-12)n-3+(-12)n-2
=1+1-(-12)n-1
1-(-12)
=1+23［1-(-12)n-1］
=53-23(-12)n-1；
當n=1時，
53-23(-12)1-1=1=a1.
所以an=53-23(-12)n-1(n∈N*).
用構造法求數列遞推式的通項公式的類型較多，本文結合一些例子總結了常見的幾種類型，旨在對此類知識歸納總結，為數列內容的復習提供一些幫助.
(責任編輯 金 鈴）
