探析一道電磁感應題

習題：如圖1，有一個質量為m、電阻為R、邊長為L的正方形線圈，進入磁感應強度為B、寬度為L的磁場，設ab邊、cd邊進入磁場時的速度分別為v1、v2，cd邊離開磁場時的速度為v3，則v2與v1+v32的大小關系是（ ）。

A.v2＞v1+v32

B.v2=v1+v32

C.v2＜v1+v32

D.無法確定



分析：當線圈進入磁場時，加速度a=Fm=-B2L2vmR=dvdt。

設B2L2mR=k，則-kv=dvdt，即dvv=-kdt。解此微分方程：∫1vdv=∫(-kdt)+C，即lnv=-kt+C。當t＝0時線圈剛進入磁場，v=v1，C=lnv1，即lnv-lnv1=-kt，lnvv1=-kt，得v=v1e-kt，如圖2。

下面求線圈進入磁場后的位移隨時間的變化規律（速度變化規律）：ds=vdt=v1e-ktdt，有s=∫s0ds=∫t0v1e-ktdt。更換自變量：設-kt=x，則s=∫x0v1exd(

-xk)=-v1k∫-kt0exdx，s=v1k·(1-e-kt)，這說明s與v1呈線性關系。

線圈從開始進入至完全進入磁場的位移為L，可以求得對應的時間：s=L=v1k(1-e-kt)，即e-kt=1-kLv1，-kt=ln(1-kLv1)，得t=-1kln(1-kLv1)，線圈完全進入磁場時的速度為v2=v1e-kt=

v1e-k(-1kln(1-kLv1))=

v1eln(1-kLv1)=

v1(1-kLv)=v1-kL。而k=B2L2mR，得v2=v1-B2L3mR，即Δvab=v1-v2=B2L3mR。同理可得v3=v2-B2L3mR，即Δvcd=v2-v3=B2L3mR，所以有v1-v2=v2-v3，即v2=v1+v32，故B選項正確。

探討1：當線圈的初速能夠穿過磁場，即v3＞0時，這時要求v3=v2-B2L3mR=(v1-B2L3mR)-B2L3mR=v1-2B2L3mR＞0，即v1＞2B2L3mR時才能夠保證線圈穿過磁場。

探討2：當v1＜B2L3mR，即v2=v1-B2L3mR＜0時，線圈不能穿過磁場，此時的運動狀態為：當t→∞時v2=v1e-kt=0，走過的路程s=v1k(1-e-kt)=v1k=mRv1B2L2＜L，即經過無窮時間后，線圈停滯在進入磁場的邊界上。

探討3：當B2L3mR＜v1＜2B2L3mR時，線圈停滯在出磁場的邊界上。

(責任編輯 黃春香）