“移動棒”替代動態(tài)圓

帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，總離不開作圓心畫軌跡求半徑，再利用洛侖茲力提供向心力解題，而與其相關的動態(tài)圓問題，由于研究對象帶電粒子數(shù)目多，每個帶電粒子有不同的圓軌道，造成學生作圖麻煩，運動規(guī)律難尋，大部分學生望而生畏。教學中，筆者采用“移動棒”替代動態(tài)圓，簡化了模型，方便了作圖，收到良好的效果。

【例1】 在xOy平面內(nèi)有許多電子(質(zhì)量為m，電荷量為e)，從坐標原點O不斷以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限，如圖1所示。現(xiàn)加上一個垂直于xOy平面向里的磁感應強度為B的勻強磁場，要求這些電子穿過該磁場后都能平行于x軸向x軸正方向運動，試求出符合條件的磁場的最小面積。

解析：帶電粒子從原點O以相同速率沿不同方向射入第一象限，由左手定則可判定所有的粒子均沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，所以我們首先應從y軸正方向的粒子入手，其運動軌跡圓2實線部分為磁場的上邊界（如圖2所示），圓心在x軸上的A點，當粒子水平飛出，其半徑PA方向與y軸方向平行，又由于所有的粒子的圓心在第四象限圓1的圓弧上，且要求帶電粒子經(jīng)過磁場后平行飛出，即棒PA的A點將沿圓1在第四象限的圓弧向下平移，棒PA所經(jīng)過的上端點為磁場的下邊界如圓3的實線弧PO部分。

由幾何知識可得：

Smin=2×(14πR2-12R2)=π-22(mv0eB)2。

點評：對于多個帶電粒子在磁場中以相同速率沿不同方向從同一點發(fā)射，其動態(tài)圓的圓心在同一個圓上，用左手定則判定帶電粒子的旋轉(zhuǎn)方向，從數(shù)學中圓的定義可把圓看為繞圓心轉(zhuǎn)動的旋轉(zhuǎn)棒，我們可以用棒替代圓進行此類問題的動態(tài)分析，關鍵點是移動棒沿哪部分運動，進而簡潔易操作尋其規(guī)律。

【例2】 如圖3所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上。在xOy平面內(nèi)有與y軸平行的勻強電場，在半徑為R的圓內(nèi)還有與xOy平面垂直的勻強磁場。在圓的左邊放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它沿x軸正方向發(fā)射出一束具有相同質(zhì)量m、電荷量q(q>0)和初速度v的帶電微粒。發(fā)射時，這束帶電微粒分布在0

(1)從A點射出的帶電微粒平行于x軸從C點進入有界磁場區(qū)域，并從坐標原點O沿y軸負方向離開，求電場強度和磁感應強度的大小和方向。

(2)請指出這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域，并說明理由。

(3)若這束帶電微粒初速度變?yōu)?v，那么它們與x軸相交的區(qū)域又在哪里？并說明理由。

解析：(1)略。（2）由題意可知帶電微粒在磁場中做勻速圓周運動的半徑r＝R，這束帶電微粒平行x軸進入圓形磁場，最上面的微粒的轉(zhuǎn)動半徑用棒PA表示，其余微粒可視為棒PA沿著磁場邊緣進行平移，則下端點為其圓心，不難看出動態(tài)圓的圓心在如圖4所示下面圓的虛線上，而虛線圓的圓心為坐標原點，所以這些微粒經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后都必經(jīng)原點位置射出。

（3）若這束帶電微粒初速度變?yōu)?v，則帶電微粒的轉(zhuǎn)動半徑為2R，等效于長度為2R的棒沿磁場邊緣平移可得動態(tài)圓如圖5虛線所示，靠近M點發(fā)射出來的帶電微粒在穿出磁場后會射向x軸正方向的無窮遠處；靠近N點發(fā)射出來的帶電微粒會在靠近原點之處穿出磁場；其他部分的帶電微粒在磁場中經(jīng)過一段半徑為2R的圓弧運動后，將在y軸的右方(x>0區(qū)域)離開。所以，這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域范圍是x>0。

點評：本例沿x軸方向射入的帶電微粒進入圓形有界磁場，當旋轉(zhuǎn)半徑等于有界磁場的圓半徑時，通過移動棒找到動態(tài)圓的圓心軌跡，分析可知此磁場對微粒將有磁聚焦作用，與例1相比綜合體現(xiàn)了帶電粒子在磁場中運動的可逆性原理。

(責任編輯 黃春香）