做好概念教學(xué) 發(fā)展學(xué)生能力

我們知道，概念是思維的細(xì)胞，“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！”.所以我們要重視基本概念的教學(xué)，做好概念教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的能力，使每一個(gè)學(xué)生都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育.

試題回放：（南京市2011年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試第27題）如圖1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一個(gè)三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點(diǎn)．

(1)如圖2，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB邊的中線，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E.試說(shuō)明點(diǎn)E是△ABC的自相似點(diǎn)．

(2)在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．

①如圖3，利用尺規(guī)作出△ABC的自相似點(diǎn)P（寫(xiě)出作法并保留作圖痕跡）；

②若△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點(diǎn)，求該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．

解析：(1)∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠BEC=∠ACB，

∵在Rt △ABC中，CD是AB上的中線，∴AD=DC，∴∠A=∠ACD．

又∵∠ACD+∠DCB=90°，∠EBC+∠DCB=90°

∴∠ACD＝∠EBC，∠A＝∠EBC．

∴△BEC∽△ACB．

∴E是△ABC的自相似點(diǎn)． 

（2）①作圖略．作法：仿照?qǐng)D2.

（i）在∠ABC內(nèi)，作∠CBE＝∠A；

（ii）在∠ACB內(nèi)，作∠BCD＝∠ABC；BE交CD于點(diǎn)P．根據(jù)自相似點(diǎn)的定義可知點(diǎn)P為△ABC的自相似點(diǎn)．

②連接PC、PB．∵P為△ABC的自相似點(diǎn)，且∠A＜∠B＜∠C ∴△BCP∽△ABC．

∵P為△ABC的內(nèi)心，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB．

∴∠A＝∠PBC=12∠ABC;∠BCP=∠ABC，

∠BPC＝∠ACB=2∠BCP=2∠ABC．∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°．

∴12∠ABC +2∠ABC +∠ABC＝180°．

∴∠ABC=360°7．

∴這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為180°7、360°7、720°7．

賞析：這是一道源于課本三角形相似概念的新概念題，它的設(shè)問(wèn)由易到難，層層深入，對(duì)學(xué)生信息遷移能力、理解能力、面對(duì)新知識(shí)的自我學(xué)習(xí)能力進(jìn)行了很好地考查，與《課程標(biāo)準(zhǔn)》要求相符合，是一道以人為本的“叫好又叫座”的優(yōu)秀試題.

本題首先給出了一個(gè)新概念——自相似點(diǎn)，要求學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解這個(gè)概念的特征屬性，然后通過(guò)三個(gè)問(wèn)題反復(fù)體驗(yàn)，類(lèi)比體驗(yàn)自相似點(diǎn)的基本內(nèi)涵，應(yīng)用自相似點(diǎn)的性質(zhì)解決問(wèn)題.考查學(xué)生對(duì)該概念的理解程度.

問(wèn)題(1)要求學(xué)生根據(jù)新的概念進(jìn)行判斷，考查學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解能力.問(wèn)題(2)的第①問(wèn)將概念的深入理解、外延拓展，運(yùn)用于作圖，進(jìn)一步考查學(xué)生對(duì)概念內(nèi)涵的理解、掌握，問(wèn)題(2)的第②問(wèn)應(yīng)用概念的性質(zhì)解決問(wèn)題.由此可見(jiàn)，題目呈現(xiàn)的信息豐富，突出了對(duì)遷移信息的考查，整個(gè)過(guò)程體現(xiàn)了理解掌握新概念的學(xué)習(xí)過(guò)程，以及在這過(guò)程中考查學(xué)生類(lèi)比思想、操作、猜想論證和嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維能力.

思考：在教師的引導(dǎo)、啟發(fā)點(diǎn)撥下，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都有初步的經(jīng)歷和直接獲取經(jīng)驗(yàn)方法的過(guò)程，然后有一個(gè)獨(dú)立思考的體驗(yàn)的過(guò)程，這一過(guò)程是消化汲取的過(guò)程，不同學(xué)生的差距較大，加強(qiáng)對(duì)這個(gè)過(guò)程的考查有助于提高考試的效度.這對(duì)于教學(xué)和試題編制都有借鑒作用.

學(xué)生理解和掌握概念的方式有兩種，一種是概念的同化，它是利用學(xué)生已經(jīng)掌握的概念知識(shí)，以定義的方式揭示概念的本質(zhì)特征（這道中考題采取的方式就是這種）；另一種是概念的形成，它是在大量具體的問(wèn)題情境，利用化歸思想從中提取同類(lèi)事物的本質(zhì)特征，從而形成概念.由于學(xué)生（特別是低年級(jí)學(xué)生）認(rèn)知能力水平較低，知識(shí)經(jīng)驗(yàn)具體，采用概念同化的方式理解和掌握概念的難度較大.因此初中學(xué)生學(xué)習(xí)概念的方式應(yīng)更多地采用概念形成方式，即從典型、豐富的問(wèn)題情境出發(fā)，經(jīng)過(guò)學(xué)生自己的實(shí)踐活動(dòng)，從中歸納、概括了這一類(lèi)事物的共同的本質(zhì)特征，從而理解和掌握概念.

(責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）