如何判定直線是圓的切線

圓是初中幾何中最重要的一章，而切線一節(jié)又是圓這一章中最重要的一節(jié)，考試中經(jīng)常有判定直線是圓的切線這樣的問題，那么如何判定直線是圓的切線呢？

一、 切線的判定方法

1.和圓只有一個公共點的直線是圓的切線.

2.和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.

3.經(jīng)過半徑外端且與半徑垂直的直線是圓的切線.

判定切線有三種方法，在幾何的證題中常用的是后兩種方法，用后兩種方法判定切線時，往往需添加輔助線.

二、 添輔助線的規(guī)律

1.如果已知直線經(jīng)過圓上一點，那么連結(jié)這點和圓心，得到輔助半徑，再證明所作半徑與這條直線垂直即可.簡記為：連半徑，證垂直.

【例1】 如圖1，等腰△ABC，以腰AB為直徑作⊙O交底邊BC于P，PE⊥AC于E，求證：PE是⊙O的切線.

分析：欲證PE是⊙O的切線，知PE與⊙O有交點，故只需“連半徑，證垂直”即可. 

證明：連結(jié)ＯＰ.

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

∵OB＝OP，∴∠B＝∠OPB，

∴∠OPB＝∠C.∴OP∥AC.

∵PE⊥AC，∴OP⊥PE，即PE為⊙O的切線.

你還有其他證明方法嗎？（請學(xué)生自己證明） 

練習：已知：AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A為切點，BP與⊙O交與點C，D為AP的中點.求證：CD是⊙O的切線.（如圖2）

2.如果已知條件中，不知直線與圓是否有交點，那么，過圓心作直線的垂線段為輔助線，再證明垂線段的長等于半徑的長即可.簡記為：作垂直，證半徑.

【例2】 如圖3，同心圓O ，大圓的弦AB＝CD，且AB是小圓的切線，切點為E.求證：CD是小圓的切線.

分析：要證CD為小圓的切線，而不知CD是否與小圓有交點，故應(yīng)“作垂直，證半徑”.

證明：連結(jié)OE，過O作OF⊥CD于點F， 

∵OE為半徑，AB是小圓⊙O的切線，

∴ OE⊥AB.

∵OF⊥CD，AB=CD，

∴OF=OE.∵OF⊥CD，

∴ CD是小圓的切線.

練習：在直角梯形中，和底邊不垂直的腰等于兩底的和.求證：以這一腰為直徑的圓和另一腰相切.

“ 圓的切線的判定”是“與圓有關(guān)位置”中的重要內(nèi)容，它既是教學(xué)的重點，又是教學(xué)的難點，更是中考的熱點.希望同學(xué)們根據(jù)具體問題具體分析，選擇合適的判定方法.

(責任編輯 金 鈴）