用零點分斷法判別曲線方程類型
2012-01-01 00:00:00張興益
中學教學參考·理科版 2012年4期
研究一個二元二次方程所表示的曲線類型，需要進行分類討論，而在實際操作中，不少學生往往分類不全、顧此失彼．本文結合數軸，介紹一個零點分斷法，可快速地解決此類問題．
我們知道，一個二元二次方程所表示的曲線類型取決于各項系數及常數項，因此，判別曲線方程類型的關鍵應是確定不同曲線的參數臨界值，而參數臨界值即參數的零點可用這樣的方法來確定：
（1）分別令二次項系數、一次項系數及常數項為0，求得參數臨界值；
（2）令x2及y2的系數相等，求得參數臨界值.
然后把這些參數的臨界值，也即參數的零點標在數軸上，結合數軸進行分類討論．這樣用零點分斷法，能使分類完整又互斥、直觀又簡便．以下幾例，可見一斑．
【例1】 已知方程mx2+2y2=m+1(m∈R)，對于不同范圍里的m值，試指出其所代表的圖形．
解:m的零點值為0、2、-1．將它們標在數軸上，如圖1．
（1）當m＜1時，表示焦點在x
軸上的雙曲線；
（2）當m=-1時，表示兩條相交
直線y=±22x；
（3）當-1＜m＜0時，表示焦點在y軸上的雙曲線；
（4）當m=0時，表示兩條平行直線y=±22；
（5）當0＜m＜2時，表示焦點在x軸上的橢圓；
（6）當m=2時，表示圓x2+y2=32；
（7）當m＞2時，表示焦點在y軸上的橢圓．
【例2】 如圖2，已知A、B是圓x2+y2=1上的動點，∠AOB=120°，C(a，0)(a≥0且a≠1)是定點，當點A在圓上運動時，指出△ABC外接圓圓心M的軌跡方程并討論方程表示的曲線類型與a的取值關系．
解:連結MA、MC、MO、MB，則MA=MC=MB，
MO垂直平分線段AB．所以∠AOM=60°．設M(x，y)，
則|OM|=x2+y2，|MA|=|MC|=(x-a)2+y2，
|OA|=1．
在△OAM中，由余弦定理得|MA|2=|OM|2
+|OA|2-2|OM|·|OA|·cos∠AOM，代入整理，得
x2+y2=2ax+1-a2，
即(1-4a2)x2+y2-4a(1-a2)x=(1-a2)2．
注意到a≥0且a≠1，令1-4a2=0，得a=12；
令1-4a2=1，得a=0；令-4a(1-a2)=0
，得a=0．將它們標在數軸上，如圖3．
（1）當a=0時，方程表示圓x2+y2=1；
（2）當0＜a＜12時，方程表示橢圓的一部
分(x＞a2-12a)；
（3）當a=12時，方程表示拋物線y2=32x+916；
（4）當a＞12且a≠1時，方程表示雙曲線的一部分(x＞a2-12a)．
【例3】 已知向量OA=(2，0)，OC=AB=(0，1)，動點M到定直線y=1的距離等于d，并且滿足OM·AM=k(CM·BM-d2)，其中O是坐標原點，k是參數．求動點M的軌跡方程，并判斷曲線類型．
解:設M(x，y)，則OM=(x，y)，AM=(x-2，y)，CM=(x，y-1)，BM=(x-2，y-1)，d=|y-1|．結合OM·AM=k(CM·BM-d2)，可得
(1-k)x2+2(k-1)x+y2=0．
令1-k=0，得k=1；令1-k=1，得k=0．將它們標在數軸上，如圖4．
（1）當k＜0時，軌跡表示焦點在平行
于y軸的直線上的橢圓；
（2）當k=0時，軌跡表示一個圓；
（3）當0＜k＜1時，軌跡表示焦點在x
軸上的橢圓；
（4）當k=1時，軌跡表示直線y=0；
（5）當k＞1時，軌跡表示焦點在平行于y軸的直線上的雙曲線．
【例4】
如圖5，給出定點A(a，0)(a＞0)和直線l:x=-1．B是直線l上的動點，∠BOA的角平分線交AB于點C．求點C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關系．
解:由題
可求得點C的軌跡方程為(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0 （0≤x＜a)
．
令各系數分別為0，得a=1、0；令1-a=1+a
，得a=0．并注意到a＞0，
根據圖6，有
（1）當0＜a＜1時，軌跡為橢圓弧；
（2）當a=1時，軌跡為拋物線段
y2=x(0≤x＜1)；
（3）當a＞1時，軌跡為雙曲線一
支的弧段．
【例5】 已知常數a＞0向量c=(0，a)，i=(1，0)，經過原點以c+λi為方向向量的直線與過定點A(0，a)，以i-2λc為方向向量的直線相交于點P，其中λ∈R.試問：是否存在兩個定點E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出E、F的坐標；若不存在，說明理由.
解:設P(x，y)，易得P點滿足的條件為：2a2x+y2-ay=0.因a＞0，故得a的零點值為22.所以：
（1）當0＜a＜22時，P點的軌跡為橢圓，其焦點E(1212-a2，a2)，F(-1212-a2，a2) 為所求的兩定點；
（2）當a=22時，P點的軌跡為圓，此時不存在符合條件的定點E、F；
（3）當a＞22時，P點的軌跡為橢圓，其焦點E(0，12a+12a2-12)，F(0，12a-12a2-12)
為所求的兩定點.
(責任編輯 金 鈴）
