向量問題在高考題中的體現

高考題注重知識間的聯系及知識網絡的融合與交匯，進而考查學生靈活運用知識的能力.而向量恰好具有代數和幾何的雙重形式，具有很強的數形結合的工具性，因此高考考查中經常會出現它的影子.

一、平面向量的基礎知識的體現

以平面向量的基礎知識出題主要是突出向量的加減運算、模、夾角等問題，題目小、巧、活，難度不大，容易得分.

【例1】 已知向量a，b，c

滿足|a｜＝1，|a-b|=|b|，(a-c)·(b-c)=0，若對每一個確定的b，|c|的最大值和最小值分別為m，n，則對任意的向量b，m+n的最小值為 ．

分析：剛接觸這題時，學生往往感到無從下手，其實向量本身就具有代數和幾何的雙重身份，因而可以利用坐標系將向量轉化為代數計算.

解：令a=(1，0)，由|a-b|=|b|得a·b=12，從而b表示的點的軌跡為直線x=12.

設c=(x，y)，b=(12，b)，由(a-c)·(b-c)=0得(x-34)2+(y-b2)2=b24+516，



所以m+n=2916+b24，故m+n的最小值為32.

回顧：這類題主要是考查學生對平面向量的基本知識的了解與運算能力.從閱卷情況來看學生的失分率極高，學生失分的主要原因是對向量的理解與運用能力欠缺.所以我們應該強調讓學生進行一些向量的基本運算，同時積累一定的數形結合的思想，以便幫助他們打開解題的思路.

二、平面向量與三角函數結合的體現

將三角函數變換與平面向量的數量積進行有機結合，不僅考查三角變換，而且深化了向量的運算，同時也拓寬了三角與向量的命題范圍.

【例2】 已知向量m=(1，1)，向量n與向量m的夾角為3π4，且m·n=1.

若向量n與向量q=(1，0)的夾角為π2，向量p=(cosA，2cos2C2)，其中A、B、C為△ABC的三個內角，且A、B、C依次成等差數列，求|n+p|的取值范圍.

解：由向量n與向量q＝（1，0）的夾角為π2得n=(0，-1)，

因為A、B、C依次成等差數列，所以B=π3，A+C=2π3，所以0＜A＜2π3.

∵n+p=(cosA，2cos2C2-1)=(cosA，cosC)，

∴|n+p|2=cos2A+cos2C=1+12［cos2A+cos(4π3-2A)］=1+12cos(2A+π3)，

因為0＜A＜2π3，所以π3

＜2A+π3＜5π3，

所以12≤1+12cos(2A+π3)＜54，即|n+p|2∈［12，54)，

所以|n+p|∈［22，52）.

三、平面向量與解析幾何結合的體現

向量本身就可以用坐標表示，而解析幾何正好是用代數方法研究幾何問題，向量與解析幾何有著極其密切的聯系，它們都有共同的特征：幾何、數量特征.

【例3】 過點C(0，1)的橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)

的離心率為32.該橢圓與x軸交于兩點A(a，0)，B(-a，0)，過點C的直線l與橢圓交于另一個點D，并與x軸交于P點.直線AC與直線BD交于點Q.

當直線l過橢圓右焦點時，求線段CD的長.

解：由已知得b=1，ca=32，解得a=2.所以橢圓方程為x24+y2=1.

橢圓的右焦點為(3，0)，此時直線l的方程為y=-33x+1，代入橢圓方程得

7x2-83x=0，解得x1=0，x2=837，所以點D的坐標為(837，-17).

故|CD|=(837-0)2+(-17-1)2=167.

回顧：由b=1，e=32，可得a=2，c=3是解決問題的關鍵，可易求CD長，而P點運動時，求點D的坐標，才能得點Q的坐標.

當然，向量知識還可以和其他諸多知識交匯，只要我們不斷積累，認真總結，抓住向量的本質，就能達到觸類旁通的學習效果.

(責任編輯 金 鈴）